Stabilit´ e m´ etrique des ombres

Stabilit´e m´etrique des ombres

Nous allons ici ´etablir le th´eor`eme2.2.17 qui est un r´esultat quantifi´e de continuit´e de l’ap-plication µ‘! S⌫(µ). Pour ce faire nous citerons un `a un les ´el´ements n´ecessaires pour aboutir, en page 50, `a la d´emonstration du th´eor`eme. Ce th´eor`eme est important pour la construction des transports ombr´es qui viendra ensuite. Nous l’avons ´etabli dans [Jui16b] ainsi que ses pro-longements, le th´eor`eme 2.2.25 et son corollaire [Jui16b, Corollary 2.32]. Ce dernier est une version quantitative de la continuit´e de (µ, ⌫)‘! RG(µ, ⌫), d´ej`a obtenue au th´eor`eme 1.5.14en s’appuyant sur la propri´et´e de monotonie gauche.

Th´eor`eme 2.2.17 (Stabilit´e des ombres). Soit µ, µ^Õ œ M+ deux mesures de mˆeme masse. Supposons que ⌫œ M+ v´erifie µ∞C,+⌫et que, de mˆeme, µ^Õ∞C,+⌫. Alors,

W1(S⌫(µ), S⌫(µ^Õ))6 W1(µ, µ^Õ). (2.3) Pour ce lemme non trivial, il faut plus que la compr´ehension attentive de l’exemple 2.2.9. Donnons les ingr´edients menant `a la d´emonstration page50.

Lemme 2.2.18 ([Jui16b, Lemma 2.33]). Soit n un entier et µ, µÕ deux mesures obtenues comme la somme de n atomes de mˆeme masse. Supposons de plus µ∞stoµ^Õ. Alors, si ⌫œ M+ v´erifie µ∞C,+⌫et µÕ∞C,+⌫on trouve encore l’ordre stochastique pour les ombres : S⌫(µ)∞stoS^⌫(µÕ). D´efinition 2.2.19. Soit µ, ⌫œ M+des mesures de mˆeme masse, m > 0. On d´efinit les minimums et maximums stochastiques de µ et ⌫ de la fa¸con suivante :

max

sto (µ, ⌫) = max(Gµ, G_⌫)# [0,m] et min

sto(µ, ⌫) = min(Gµ, G_⌫)# [0,m]. Les exemples suivants r´esultent de ce que (Gµ, G⌫) ⇠ Q(µ, ⌫).

Exemple 2.2.20. i) Si µ et ⌫ sont des probabilit´es et (X, Y) ⇠ Q(µ, ⌫), alors max

sto (µ, ⌫) and min

sto (µ, ⌫) sont les lois de max(X, Y) et min(X, Y). ii) Si µ = Pn

i=1 xi et ⌫ = Pn

i=1 yi o`u les suites (xi)i,(yi)i sont croissantes, alors max

sto (µ, ⌫) =Pn

i=1 max(xi,yi) et min

sto(µ, ⌫) =Pn

i=1 min(xi,yi). Le lemme suivant r´esulte simplement de la proposition1.2.15. Lemme 2.2.21. Soit µ et ⌫ des ´el´ements de P1(R). On a

W1(µ, ⌫) = W1(µ, min sto(µ, ⌫)) + W1(min sto(µ, ⌫), ⌫) = W1(µ, max sto (µ, ⌫)) + W1(max sto (µ, ⌫), ⌫).

Lemme 2.2.22 (Ajout de masse en±1). Soit des mesures µ, ⌫ satisfaisant `a µ ∞C,+,sto ⌫. Pour tout aœ R il existe ⌫Õ o`u ⌫Õ est concentr´ee sur ] -1, a] et µ ∞C,+ ⌫+ ⌫^Õ. De plus, sans aucune hypoth`ese sur µ, pour tout a, bœ R, il existe ⌫Õ avec ⌫Õ(]a, b[) = 0 et µ∞C,+⌫^Õ. Lemme 2.2.23 (Rˆole jou´e par la portion de ⌫ qui est proche de±1). Soit µ et ⌫ des ´el´ements deM+ tels que µ∞C,+ ⌫. Soit (⌫n)n telle que inf(Spt ⌫n)!n +1. Alors, la suite S⌫+⌫n(µ) tend vers S⌫(µ)œ M+.

Les hypoth`eses sup(Spt ⌫n)!n -1 ou ⌫n([an, b<sub>n</sub>]) = 0 avec -an, b<sub>n</sub>!n +1 conduisent `

a la mˆeme conclusion.

Proposition 2.2.24. Supposons que (µn)n est croissante dans l’ordre convexe avec µn ∞C

µ∞C,+⌫pour tout nœ N. Alors les suites (µn)n et (S⌫(µn))n convergent toutes les deux dans (M+, W1). Si µ₁ et S₁ d´esignent leurs limites, la mesure S₁ est alors l’ombre de µ₁ sur ⌫ : S^⌫(limnµn) = limnS^⌫(µn).

D´emonstration du th´eor`eme2.2.17. 1. On suppose tout d’abord que µ et µÕ sont des sommes d’atomes de mˆeme masse. On suppose ´egalement min

sto(µ, µÕ)∞C,+⌫ et on note ˜µ= min

sto(µ, µÕ). La mesure ˜µest du mˆeme type que µ et µÕ. On applique maintenant Lemma2.2.18s´epar´ement aux couples (µ, ˜µ) et (µÕ, ˜µ). `A l’aide de la proposition1.2.15et du lemme2.2.21on trouve ainsi

W1(µ, µ^Õ) = W1(µ, ˜µ) + W1(µ^Õ, ˜µ)

= W1(S^⌫(µ), S^⌫(˜µ)) + W1(S^⌫(µ^Õ), S^⌫(˜µ)) > W1(S⌫(µ), S⌫(µ^Õ)).

2. Nous allons maintenant nous d´efaire de l’hypoth`ese ˜µ∞C,+ ⌫ faite au-dessus. On a tou-jours ˜µ∞C,+,sto ⌫si bien qu’il existe une suite (⌫n)n comme dans le lemme 2.2.22, c’est-`a-dire telle ˜µ ∞C,+ ⌫+ ⌫n et sup Spt ⌫n tend vers -1. Le calcul fait en (1.) reste valable et donne W(S⌫+⌫n(µ), S⌫+⌫n(µÕ))6 W(µ, µÕ). Finalement `a l’aide du lemme2.2.23, on obtient (2.3).

3. La seconde hypoth`ese `a lever est celle sur le type, atomique, des mesures µ et ⌫. Pour ce faire on approche les mesures par des suites de terme µn =P2n

k=12¹n xk et µÕ

n =P2n k=12¹n xÕ

k telles que celle construite `a la page41. Pour ces mesures on a, avec (2.) l’in´egalit´e W(S⌫(µn), S⌫(µÕ

n))6 W(µn, µ_n^Õ). Puisque les suites sont croissantes pour ∞C et convergent vers µ et µ^Õ, on peut finalement obtenir (2.3) avec la proposition2.2.24en passant `a la limite.

2.3. D ´EFINITION DES COUPLAGES OMBR ´ES 51

Le th´eor`eme suivant est une continuation (d´emontr´ee au Theorem 2.31 de [Jui16b]) du th´eo-r`eme2.2.17. Un majoration de la distance entre RG(µ, ⌫) et RG(µÕ, ⌫^Õ) est ´egalement possible en introduisant une (semi-)distance ad hoc Z (voir [Jui16b, Definition 2.28 et Corollary 2.32] pour cet ´enonc´e).

Th´eor`eme 2.2.25. Soit µ, µÕ, ⌫, ⌫^Õ des mesures de M+. On suppose µ ∞C,+ ⌫ et µÕ ∞C,+ ⌫^Õ ainsi que Masse(µ) = Masse(µÕ) et Masse(⌫) = Masse(⌫^Õ). On a alors W1(S⌫(µ), S⌫^Õ(µ^Õ)) 6 W1(µ, µÕ) + 2W1(⌫, ⌫Õ).

2.3 D´efinition des couplages ombr´es

Le principe de la remarque1.2.19a valeur de d´efinition pour Q et RG : un couplage (X, Y) est enti`erement d´efini par la famille de mesures (Loi(Y|X6 x))xœR. Informellement, cela permet de d´e-finir ⇡x,.= Loi(Y|X = x) pour presque tout xœ R (pour µ) et ainsi de retrouver ⇡. En fait, les me-sures ⇡]-1,x],.=P(X 6 x) Loi(Y|X 6 x) sont des mesures croissantes pour ∞+ dont la masse est P(X 6 x) et on peut assimiler ⇡x,.au taux d’accroissement limite h-1!

⇡_]-1,x],.- ⇡]-1,x-h],.

" lorsque h tend vers z´ero.

Le mˆeme principe fonctionne pour le couplage rideau droit RD en utilisant (Loi(Y|X> x))xœR

et (Loi(Y|X> x))xœR. On semble donc libre de param´etrer µ de la fa¸con que l’on souhaite. Cette intuition est `a l’origine des couplages ombr´es. Pour ces derniers on parcourt µ de fa¸con croissante pour∞+`a l’aide d’un param´etrage (^µ_[0,↵],.)_↵œ[0,1]de limite µ = ^µ_[0,1],.et on y associe l’ombre de ces mesures sur ⌫, constituant ainsi un deuxi`eme param´etrage, de ⌫ cette fois, (^⌫<sub>[0,↵],.</sub>)<sub>↵œ[0,1]</sub>. Il s’av`ere, ce qui n’est pas ´evident, que ces deux param´etrages am`enent une unique mesure ⇡ = ^⇡<sub>[0,1],.,.</sub>, elle-mˆeme param´etr´ee par ( ^⇡<sub>[0,↵],.,.</sub>)<sub>↵œ[0,1]</sub> o`u ^⇡_[0,↵],.,. a pour marges ^µ_[0,↵],. et ^

⌫_[0,↵],.. Ces notations paraissent certainement barbares au lecteur ; le syst`eme conduisant `a ce choix est expliqu´e `a la suite de cette introduction.

Revisitons maintenant le transport rideau par notre nouvelle approche, donnant de la consis-tence `a notre pr´e-approche de la page 47. On consid`ere pour tout ↵œ [0, 1] la mesure la plus `a gauche (voir la d´efinition 1.2.16) de masse ↵ sous µ que nous notons ^µ<sub>[0,↵],.</sub>. Nous introduisons ensuite ^⌫<sub>[0,↵],.</sub> = S⌫(^µ<sub>[0,↵],.</sub>). On trouve alors une unique famille croissante ( ^⇡<sub>[0,↵],.,.</sub>)<sub>↵œ[0,1]</sub> avec ^⇡<sub>[0,↵],.,.</sub> œ Mart(^µ[0,↵],.,^⌫<sub>[0,↵],.</sub>). La mesure ^⇡<sub>[0,1],.,.</sub> est alors le transport rideau gauche RG(µ, ⌫). Notons qu’avec ^µ[0,↵],. = Sµ(↵ m) on retrouve, `a la place, la construction du trans-port rideau centr´e comme `a la d´efinition 2.2.16. Un des param´etrages naturels consid´er´es plus tard est ^µ[0,↵],.= ↵µ qui donne naissance au couplage soleil (voir la d´efinition2.3.6).

Les avantages de travailler avec ↵ plutˆot qu’avec x sont les suivants : on connaˆıt la masse des mesures, c’est ↵, et on n’a pas besoin de traiter les atomes di↵´eremment des autres points, on peut envisager de nouveaux param´etrages. Notre nouveau paradigme est donc :« Loi(U, X, Y) est, sous certaines conditions, enti`erement d´efinie par les familles Loi(X|U6 ↵) et Loi(Y|U 6 ↵) ». Fonctionnement des notations On continuera `a considerer µ et ⌫ comme les marges de ⇡ œ Marg(µ, ⌫). La plupart du temps il s’agira d’un transport martingale mais nous aurons aussi `a l’esprit le transport quantile comme mod`ele. Par ailleurs µ, ⌫ et ⇡ seront la plupart du temps des mesures de probabilit´e. Les mesures accentu´ees ^µ,⌫^ et ^⇡ signaleront respectivement des ´el´ements de Marg( , µ), Marg( , ⌫) et Marg( , ⇡) o`u est la mesure de Lebesgue restreinte `a [0, 1]. Ainsi ^⇡est elle une mesure surR ◊ R2.

On utilisera en principe le triplet de lettres (↵, x, y) œ [0, 1] ◊ R ◊ R avec parfois u `a la place de ↵. Rappelons, comme premier exemple que (⇡<sub>x,·</sub>)<sub>xœR</sub> est la famille de mesures sur R correspondant `a la d´esint´egration ⇡(dxdy) = µ(dx)⇡x,.(dy). De fa¸con analogue on a (^µ_↵,·)↵œ[0,1], (^µ_·,x)_xœR et (^⌫_·,y)_yœR avec ^µ(d↵ dx) = (d↵)^µ_↵,.(dx), ^µ(d↵ dx) = µ(dx)^µ_.,x(d↵) et ^⌫(d↵ dy) = ⌫(dy)^⌫_.,y(d↵). On utilise aussi ( ^⇡_↵,·,·)↵œ[0,1]et ( ^⇡_↵,x,·)↵,xœ[0,1]◊R pour la d´esin-t´egration ^⇡(d↵ dx dy) = ^µ(d↵ dx) ^⇡_↵,x,·(dy) = (d↵) ^⇡_↵,.,.(dx dy).

param´etrage ^✓ d´esint´egration yy ^ ✓_[0,↵],·(A) = ^✓([0, ↵]◊ A) %% (^✓_↵,·)_↵œ[0,1] int´egration 99 primitive // (^✓_[0,↵],·)_↵œ[0,1] ee d´eriv´ee oo

Figure 2.2 – Triangle de d´esint´egration

Nous avons ´egalement une notation pour les mesures o`u le param`etre de conditionnement est partiellement int´egr´e, donnant lieu `a des« marginales partielles ». Des exemples en sont ^⇡[0,↵],·,·

et ^µ[0,↵],·, qui sont des mesures de masse ↵. Pour ↵ = 1 on retrouve ⇡ = ^⇡[0,1],·,·et µ = ^µ[0,1],·. On appelle param´etrage en pseudo-quantiles de µ tout ´el´ement de ^µœ Marg( , µ). L’ensemble des param´etrages en pseudo-quantile des transports de Mart(µ, ⌫) respectant le param´etrage en pseudo-quantile ^µde µ est alors

[

Mart(^µ, ⌫) = ^⇡œ Marg(^µ, ⌫) :^Ryd ^⇡_↵,x,·= x, pour ^µ-presque tout (↵, x) .

Le triangle de la figure 2.2 indique les trois mani`eres ´equivalentes de param´etrer ✓, o`u ✓ repr´esente l’une des mesures µ, ⌫ ou ⇡. Si ✓ = ⇡ alors Aµ R2, sinon Aµ R.