En raison du th´eor`eme de Kellerer et du probl`eme3.3.4les constructions aboutissant `a des martingales markoviennes pr´esentent un int´erˆet certain. Dans [Jui16a, Theorem 5] nous expri-mons les conditions n´ecessaires et suffisantes pour que RC((µt)tœT) soit markovien. L’´enonc´e est compliqu´e et difficilement m´emorisable si bien que nous pr´ef´erons pr´esenter seulement le r´esultat analogue pour les processus quantile, `a savoir le th´eor`eme3.4.4paru dans le mˆeme article.
Pour (µt)tœT) donn´e, la mesure quantile Q = Q((µt)tœT) est la loi du processus (Gµt))tœT d´efini sur (]0, 1[, ). Nous observons que, pour tout s < t la mesure Qs,test le transport quantile Q(µs, µt). Dans certains cas seulement cette mesure est markovienne.
Th´eor`eme 3.4.4 (Q markovien et « X »s, [Jui16a, Proposition 3]). La mesure quantile Q est markovienne si et seulement si pour tout s 6 t 6 u et ↵ < ↵Õ œ]0, 1[, la conjonction des conditions suivantes
Gµs(↵) < Gµs(↵Õ) Gµt(↵) = Gµt(↵Õ)
implique Gµu(↵) = Gµu(↵Õ). Autrement dit, la condition peut se traduire comme « Gµt(↵) = Gµt(↵Õ) implique {Gµs(↵) = Gµs(↵Õ) ou Gµu(↵) = Gµu(↵Õ)}».
La condition pour que Q soit markovien peut se m´emoriser en disant que deux trajectoires associ´ees `a ↵ < ↵Õ ne forment jamais de« X ». Voir la figure4.1pour une illustration d’un pro-cessus Q non-markovien : sur le sh´ema de gauche les trajectoires bleues rejoignent les trajectoires rouges puis s’en s´eparent.
3.5 Martingales construites `a l’aide du couplage rideau gauche RG
Il est tentant de penser que la construction canonique d’un transport martingale que nous avons obtenue avec RG au chapitre1 se d´ecline dans une version (loi de) processus canonique.
En rapport avec le th´eor`eme de Kellerer, cela l’est d’autant plus qu’on peut esp´erer obtenir une martingale markovienne. Dans [Jui18], nous avons fait l’essai de concat´ener des transports rideau gauches `a partir de marges extraites du PCOC (µt)tœT auquel on souhaite associer une martingale. Nous rendons compte ici des th´eor`emes principaux. Une d´emarche analogue a ´et´e propos´ee par Henry-Labord`ere, Tan et Touzi dans [HTT16].
Dans les th´eor`emes `a venir les peacocks seront des familles de mesures de P1(R) index´ees sur [0, 1]. On note Subdiv([a, b]) l’ensemble des subdivisions de [a, b]. Le pas de |R| de R = {a = r0< r1<· · · < rm< rm+1= b} est maxm
k=0|rk+1- rk|. Pour une subdivision Rœ Subdiv([0, 1]) donn´ee nous associons `a (µt)tœ[0,1]une mesure P{R}œ Mart((µÂtÊR))tœ[0,1] o`u ÂtÊR= max(rk œ R: rk6 t, k 6 m). C’est l’unique mesure qui, `a la fois
i est markovienne, ii v´erifie Prk,rk+1
{R} = RG(µrk, µrk+1), o`u on pr´ecise que Prk,rk+1
{R} est le transport (P{R})rk,rk+1 = (proj{rk,rk+1})#P{R}.
Puisque P{R} est une loi de martingale dont les marges sont constantes par morceaux, on pour noter que le processus le sera aussi sur chacun des intervalles [rk, rk+1[ et [rm, 1].
Nous appelons mesure rideau gauche limite toute valeur d’adh´erence obtenue lorsque |R| tend vers z´ero, c’est-`a-dire toute limite d’une suite (P[Rn])nœNú o`u |Rn|! 0. Cette notion d´epend de la topologie choisie, dans cette section la topologie fini-dimensionnelle ou celle de Skorohod.
Remarque 3.5.1. Des fa¸cons di↵´erentes d’associer une mesure `a une famille (µt)tœ[0,1] et une subdivision R sont introduites plus loin. Par exemple, le processus P[R]introduit `a la page 70n’est pas constant par morceaux.
On peut ais´ement montrer qu’une martingale c`adl`ag est associ´ee `a un PCOC continu `a droite et poss´edant une limite `a gauche (pour la topologie faible). Notons que tous les PCOC poss`edent une limite `a gauche en tout point. Pour voir cela on peut consid´erer la fonction croissante t‘! R Ô
1+ x2dµt(x) ou la famille (U[µt])tœ[0,1] des fonctions potentielles.
Th´eor`eme 3.5.2 ([Jui18, Theorem A]). Soit (µt)tœ[0,1] un PCOC continu `a droite. Pour la topologie fini-dimensionnelle l’ensemble des mesures rideau gauche limites est non vide. Cet en-semble contient au moins une mesure P pertinente, c’est `a dire v´erifiant Pœ Mart((µt)tœ[0,1]) et associ´ee `a un processus c`adl`ag.
Pour la topologie de Skorohod les mesures rideau gauche limites sont toutes pertinentes (mais il n’est pas d´emontr´e que l’ensemble est non-vide).
Le second r´esultat concerne les PCOC dont les marges sont des mesures uniformes. La figure
3.4illustre les ´etapes de construction du processus de loi P{R}pour f lin´eaire et R ´equir´epartie. Th´eor`eme 3.5.3 ([Jui18, Theorem B]). Soit µt la mesure uniforme sur [-f(t), f(t)], o`u f est strictement positive, croissante et continue sur [0, 1]. Il existe une unique mesure rideau gauche limite associ´ee `a (µt)tœ[0,1] et celle-ci est markovienne.
Le processus associ´e est continu par morceaux, croissant entre les sauts (`a incr´ements n´egatifs) vers -f(t) `a l’instant t. Les sauts d´ependent seulement du temps et non de la position. Ils se produisent avec intensit´e 2-1d log(f(t))/dt.
Pour f(t) = exp(2t)/2, les sauts se produisent en suivant une processus de Poisson standard.
Le troisi`eme r´esultat concerne des mesures atomiques. On obtient de nouveau l’unicit´e du processus limite.
Th´eor`eme 3.5.4 ([Jui18, Theorem C]). Soit (µt)tœ[0,1]un PCOC du type
µt=
n
X
i=1
3.5. PROCESSUS RIDEAU GAUCHE LIMITES 69
Figure 3.4 – Composition de transports rideau gauches entre mesures uniformes.
o`u t‘! (x1, . . . , xn, a1, . . . , an)(t) est analytique r´eelle et satisfait de plus `a a1(t), . . . , an(t) > 0 et x1(t) < . . . < xn(t).
Alors, il existe une unique mesure rideau gauche limite associ´ee `a (µt)tœ[0,1] et celle-ci est mar-kovienne.
Comme ´enonc´e dans le th´eor`eme suivant, il n’y a pas unicit´e du processus limite et la limite peut ˆetre markovienne ou non. La figure3.5repr´esente le processus contre-exemple d´ecrit dans [Jui18,§6]. Il pr´esente la particularit´e de poss´eder des marges µttoutes continues. Sur la figure, les trajectoires x1et x2partent s´epar´ement, puis fusionnent, et enfin se s´eparent de nouveau.
t= 0 t= 1 t= 2 x2 x1= x2 x1 x2 x1 t0 t1 R´egion de stockage
Figure 3.5 – Processus rideau limite non-markovien associ´e `a un PCOC de marges absolument continues.
Th´eor`eme 3.5.5 ([Jui18, Theorem D]). Il existe un PCOC (µt)tœ[0,1] et un processus rideau gauche limite (Xt)tœ[0,1] associ´e `a (µt)tœ[0,1] tel que Loi(Xt) = µt pour tout t, mais (Xt)tœ[0,1]
n’est pas markovien. De plus, nous connaissons deux exemples o`u les mesures de la famille (µt)tœ[0,1] peuvent ˆetre choisies toutes discr`etes ou toutes continues.
3.6 La mesure Markov-quantile MQ
Nous avons vu au th´eor`eme 3.4.4 que Q(µt)tœR n’est pas (la mesure d’)un processus mar-kovien. Dans cette section nous rendons compte de travaux e↵ectu´es dans [BouJ18+] faisant apparaitre MQ, la version markovinfi´ee du processus quantile. Le processus MQ conserve des propri´et´es de Q mais il est en plus markovien. Commen¸cons par consid´erer la markovinification d’un processus en g´en´eral.