branche fondamentale
2.5. Extension du critère aux modèles à gradients
2.5.2. Stabilité de l’évolution quasi statique
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 0 2 2 0 2 , , ,1 , est une énergie élastique,
fonction croissante / 0 0 1 0, 1 1 c c w V g w w V w g g g g g α α α α α α α α α ⎧ ∇ ∇ = + ∇ + ∇ − ⎪ ⎪ = − ∇ ⎨ ⎪ = ′ = ′ = = ⎪⎩ u u u (2.210)
Dans Karma et al. (2001), Henry et Levine (2004), la fonction g est
( ) ( )
34 3
g α = − α α . Le potentiel de dissipation est simplement
( )
22
D α =ηα , ce qui donne comme équations locales :
( )
( ) ( )( ( ) )
0 , 0 , 0 c g w V c g w w α ηα α α α ∇ ⎧−∇ ⋅ = ⎪ ⎨ ′ ′ + − ∆ + ∇ − = ⎪⎩ u Fu u (2.211)2.5.2. Stabilité de l’évolution quasi statique
On étudie ici la stabilité de l’évolution quasi statique de systèmes mécaniques gouvernés par l’équation de Biot étendue et soumis à des forces externes F
(
q q, ,λ)
composées d’une partie conservative Fc(
q,λ)
, admettant comme énergie potentielle Pc(
q,λ)
, et d’une partie dissipative Fd(
q,λ)
, admettant comme potentiel de dissipation Pd(
q,λ)
, de sorte que :( ) ( ) ( )
( )
,( ) ( )
,( )
, , , , , , , , , c d c c d d λ λ λ λ λ λ λ ⎧ = + ⎪ ⎨ = − = − ⎪⎩ q q q q q q q q q q F F F F P F P (2.212)Cespotentielsserontregroupésaveclesnotations suivantes :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
, , , , c d λ λ λ λ ⎧ = + ⎪ ⎨ = + ⎪⎩ q q q q q q W W D D P P (2.213)où W
(
q,λ)
et D(
q,λ)
représentent, respectivement, l’énergie potentielle totale et le potentiel de dissipation global du système. Avec ces notations, l’équation d’évolution quasi statique de Biot (2.192) peut se réécrire de la façon équivalente suivante :( ) ( )
( )
, , 0 , , 0 , = (t) λ λ λ λ ⎧ + = ⎪ ⎨ = ⎪⎩ q q q q 0 q q W D (2.214)Pour un trajet de chargement λ
( )
t donné, la résolution de l’équation différentielle (2.214) nous donne une évolution quasi statique fondamentale notée 0( )
t
q dont l’étude de stabilité sera faite en suivant deux approches complémentaires. Pour cette étude de stabilité de modèles standard généralisés gouvernés par l’équation (2.214), nous allons distinguer le cas visco-élastique, qui sera traité par la méthode de linéarisation, des cas visco-plastique et élasto-plastique qui seront traités par une technique d’estimations directes.
Avec ou sans la présence de gradients dans le modèle de comportement, on a vu que l’équation de Biot (2.214) est celle qui gouverne l’évolution quasi statique de tels matériaux. On peut expliciter un peu plus cette équation en termes des paramètres q=
(
u α,)
selon le cas.Dans le cas visco-élastique, cette équation s’explicite en général comme :
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
, , , , 0 0 , , , , , , , , 0 , , = (t) λ λ λ λ λ λ ⎧ + = ⎪⎪ + = ⎨ ⎪ = ⎪⎩ u u α α u α u α 0 u α u α 0 q u α W D W D (2.215)Pour de tels matériaux visco-élastiques, la linéarisation de l’équation d’évolution (2.214) ou (2.215) nous donne une équation linéarisée de la forme :
( ) ( ) ( )
0 * 0 * * 0
,qq⋅ +q ,qq ⋅q =0, q t =q t −q t
W D (2.216)
Comme dans les sections précédentes, pour un potentiel de dissipation quadratique et convexe, on montre qu’une condition suffisante de stabilité asymptotique est donnée par la définie positivité de la seconde variation de l’énergie potentielle totale du système.
Dans le cas de matériaux visco-plastiques ou élasto-plastiques, le paramètre u n’étant pas un mécanisme dissipatif, l’équation d’évolution (2.214) s’explicite comme :
( )
( ) ( )
( ) ( )
, , , 0 0 , , , , , 0 , , = (t) λ λ λ λ λ ⎧ = ⎪⎪ + = ⎨ ⎪ = ⎪⎩ u α α u α 0 u α α 0 q u α W W D (2.217)Dans ce cas, une démonstration complète et détaillée, que nous donnons dans [P5], montre que la définie positivité de la seconde variation de l’énergie potentielle totale du système, aux points courants de son évolution, assure la stabilité d’une évolution quasi statique visco-plastique ou élasto-visco-plastique.
Ce critère unifié de stabilité quasi statique (visco-élastique, visco-plastique ou élasto-plastique) peut se mettre sous la forme générale :
( )[ ]
2 0 0
, , , 0, , t 0
δ W W= qq q λ δ δq q > ∀δq 0≠ ∀ ≥ (2.218)
2.6. Discussion et conclusions
Les travaux présentés dans ce chapitre avaient pour objectif principal d’étudier les problèmes de stabilité et de bifurcation rencontrés dans les solides standard dissipatifs (visco-élastiques, visco-plastiques et élasto-plastiques). Ces instabilités de type ‘structure’, qui apparaissent essentiellement dans des structures élancées, sont appelées communément ‘flambage’. Les différentes approches utilisant la théorie de stabilité ou celle de bifurcation (perte d’unicité du problème en vitesses) ont été d’abord rappelées, d’une part, pour mettre clairement en évidence la distinction entre stabilité et bifurcation et, d’autre part, pour en montrer les limitations et les problèmes associés restés ouverts. Ceci a permis aussi de motiver nos propres développements sur le sujet et d’établir ensuite clairement le lien avec les résultats existants connus.
En ce qui concerne les travaux disponibles sur ces sujets, les plus avancés sont certainement ceux relatifs au flambage des structures élastiques où la théorie est considérée comme bien perfectionnée. Pour le flambage plastique, le problème est bien plus complexe qu’en élasticité. La raison principale est liée à la nécessité de prendre en compte la possibilité de décharge élastique dans certaines parties de la structure, qui peut survenir au moment de la bifurcation. Ainsi le flambage plastique peut conduire à résoudre des problèmes de type ‘frontière libre’. En ce qui concerne la prédiction de la charge critique de flambage plastique, les critères les plus opérationnels sont ceux proposés par Hill, basés sur l’approche de bifurcation. La méthode du module tangent, qui en est issue, a fait néanmoins l’objet de
beaucoup de débat dans la littérature, car les premiers résultats obtenus avec la théorie incrémentale de la plasticité sont apparus comme une sorte de paradoxe. En effet dans certaines situations, la théorie de déformation permettait d’avoir des prédictions plus conformes aux résultats expérimentaux. Les travaux ultérieurs, qui ont fait des analyses de flambage avec des modèles basés sur la plasticité cristalline, montrent clairement que la forme de la surface de plasticité au point d’écoulement courant, en relation avec la formation de points de vertex, est un ingrédient essentiel dans la prédiction du flambage plastique.
L’une des motivations de notre étude de stabilité de l’évolution quasi statique de solides élasto-plastiques était liée à ces différences de prédiction observées avec la méthode du module tangent en relation avec le choix de la théorie appropriée de plasticité. En effet, les résultats que nous obtenons représentent une contribution intéressante à ce débat et donnent une interprétation complémentaire aux différences de prédiction obtenues avec la méthode de bifurcation du module tangent. Une autre motivation de ce retour sur la question de stabilité des solides à comportement indépendant du temps physique est que dans les travaux de la littérature, les études ont uniquement concerné l’état d’équilibre alors que bien souvent la réponse à un trajet de chargement représente une évolution quasi statique, même si cette dernière est constituée d’une succession d’états d’équilibre.
Le volet le plus original de nos travaux sur ces sujets est sûrement celui relatif aux matériaux sensibles à la vitesse de déformation. Pour de tels matériaux, dont la réponse à une sollicitation est en partie différée dans le temps, très peu de résultats existent dans la littérature. Les causes de ce contraste sont multiples. D’abord la première raison est qu’une analyse de bifurcation, en suivant la démarche de Hill, montre très vite que ces matériaux ne bifurquent pas à des charges réalistes, car les modules de flambage sont complètement pilotés par l’élasticité. D’un autre côté, si la théorie de bifurcation n’est pas opérationnelle, poser le problème en termes de stabilité se heurte à l’autre difficulté liée à l’absence d’équilibres dans ces matériaux qui évoluent par fluage même si le chargement est maintenu constant. Ceci nous a amené à poser le problème comme celui de la stabilité des évolutions quasi statiques de ces solides. Peu d’études existent sur la stabilité de réponses évolutives, probablement à cause des difficultés mathématiques relatives aux équations différentielles non autonomes. Mis à part le cas d’une dépendance périodique en temps, peu de résultats généraux existent pour la stabilité d’une équation différentielle non autonome, y compris dans le cas linéaire. Ceci nous a conduits à faire une étude approfondie sur les travaux concernant les équations différentielles non autonomes, ce qui nous a permis de faire une synthèse assez exhaustive et de proposer des critères pouvant être appliqués en mécanique. Les exemples et contre-exemples trouvés dans la littérature étant insuffisants pour montrer certaines limitations, nous avons dû construire par nous-mêmes d’autres contre-exemples permettant d’abandonner définitivement certaines idées reçues concernant les conditions d’instabilité dans le cas non autonome et de mieux préciser les conditions de stabilité associées. Enfin, même si les résultats de stabilité obtenus pour des équations différentielles non autonomes sont moins optimaux que ceux de la théorie de Lyapunov relatifs à la stabilité d’équations différentielles à coefficients constants, ils permettent néanmoins d’établir des résultats nouveaux concernant notamment la stabilité asymptotique de solides visco-élastiques.
Dans le cas de potentiels de dissipation insuffisamment réguliers, ce qui est le cas de la visco-plasticité et de la plasticité, nous avons utilisé une approche complémentaire à celle de linéarisation pour en étudier la stabilité. En particulier, lorsque le potentiel de dissipation est non différentiable mais convexe, une technique par estimations directes nous a permis d’établir une condition de stabilité de l’évolution quasi statique. Cette condition porte sur la définie positivité de la seconde variation de l’énergie totale du système aux points courants de son évolution. On a montré que ce critère est valable en visco-plasticité et en élasto-plasticité, et que lorsque le potentiel de dissipation est quadratique, cas des modèles visco-élastiques,
nous obtenons un résultat plus fort de stabilité asymptotique. Il est remarquable aussi de trouver que dans le cas particulier où la déformation est le seul mécanisme dissipatif, ce qui est le cas du modèle visco-élastique de Kelvin–Voigt, la stabilité asymptotique de l’évolution quasi statique est assurée sous la condition de stabilité élastique.
L’analogie observée du critère de stabilité de la seconde variation de l’énergie avec le critère de non-bifurcation de Hill nous a conduits à comparer de plus près les modules respectifs mis en jeu, afin de donner une interprétation aux résultats nouvellement établis. Cette comparaison peut être faite pour des matériaux élasto-plastiques. On montre que dans le cas le plus général, le critère que nous établissons, portant sur la seconde variation de l’énergie, est plus conservatif que le critère du module tangent de Hill. Ceci est dû au fait que dans notre critère, la condition de définie positivité de la même forme quadratique est exigée sur un espace plus grand de variation des paramètres internes. Rappelons que dans le critère du module tangent de Hill, l’espace de variation des variables internes est donné par l’espace vectoriel engendré par le cône des normales extérieures aux convexe de plasticité. Ainsi, on voit clairement que si le cône des normales engendre tout l’espace de variation des paramètres internes, alors ces deux critères coïncident. En d’autres termes, le critère de stabilité de l’évolution que nous obtenons s’identifie au critère du module tangent de Hill si le cône des normales engendre tout l’espace. Ceci est le cas notamment avec des systèmes mécaniques discrets et dans des problèmes où l’état de contrainte et de déformation est unidimensionnel, comme c’est le cas des poutres. C’est aussi le cas en présence de points de vertex sur la surface de plasticité, ce qui est le cas avec des modèles polycristallins ou avec des théories de plasticité permettant de reproduire ces effets, telle que la théorie de déformation.
Enfin, dans des travaux plus récents, nous avons étendu ce critère de stabilité de la seconde variation de l’énergie à des modèles à gradients. Une version étendue de l’équation différentielle de Biot a d’abord été considérée, montrant sa validité même lorsque des gradients d’ordre supérieur sont présents. En effet, ces gradients peuvent être inclus dans les expressions des potentiels d’énergie et de dissipation, tout en préservant la forme générale des équations d’évolution écrites sous forme globale condensée. Dans ces conditions, le critère unifié de positivité de la seconde variation de l’énergie pour la stabilité de l’évolution quasi statique est établi de nouveau, et sa validité est montrée pour des modèles de comportement visco-élastiques, visco-plastiques et élasto-plastiques.
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