Discussion et conclusions

Dans les travaux présentés dans ce chapitre, l’objectif principal a été centré autour de la modélisation des instabilités plastiques dans les matériaux métalliques. Deux approches ont essentiellement été retenues pour la modélisation du comportement élasto-plastique : la première est micromécanique tandis que la seconde est phénoménologique. Bien qu’une multitude de critères d’instabilités plastiques locales existent dans la littérature, comme le montre la bibliographie abondante sur ce sujet, nous avons choisi le critère de bifurcation de Rice qui est aussi relié à la perte d’ellipticité du problème aux limites correspondant. Ce choix a déjà été motivé dans les précédentes sections par plusieurs arguments, rappelons juste quelques avantages jugés importants : (i) ce critère est complètement tridimensionnel, contrairement à la plupart des approches bidimensionnelles, ce qui ne restreint pas la normale à la bande de localisation à rester dans le plan, (ii) il est intrinsèque, au sens où il ne dépend d’aucun paramètre d’ajustement, comme c’est l’exemple de la taille de défaut initial dans le critère de Marciniak–Kuczynski, et (iii) enfin, ses fondements théoriques solides permettent d’expliquer les phénomènes d’instabilité observés par des concepts mathématiques clairs et compréhensibles (e.g., bifurcation, perte d’ellipticité, etc.).

Il est à noter que la mise en œuvre numérique des développements relatifs à l’approche micromécanique a été effectuée dans une plateforme logicielle modulaire, en dehors de l’environnement des éléments finis, contenant les différents programmes associés aux lois de comportement : monocristal, polycristal avec différents schémas de transition d’échelles etc. En contraste, pour l’approche phénoménologique tous les développements ont été intégrés à l’environnement éléments finis du code Abaqus standard (implicite).

Dans le cadre de ce travail, les thèses de J.P. Lorrain et G. Franz ont été co-encadrées par l’auteur sur la partie utilisant l’approche micromécanique, et celles de B. Haddag et G. Altmeyer (en cours) sur la partie privilégiant l’approche phénoménologique. Dans ce contexte collaboratif, il convient de situer brièvement les points forts de la contribution de l’auteur à ces différents développements.

Approche micromécanique :

• Mise en place d’un outil numérique de modélisation élasto-plastique monocristalline et polycristalline dans le cadre des grandes déformations. Un effort important a été consacré à l’implantation numérique de ces modèles dans une plateforme logicielle modulaire en adoptant, pour les schémas d’intégration temporelle et les différents algorithmes mis en jeu dans les schémas de transitions d’échelles, des compromis alliant précision des simulations et robustesse et efficacité des calculs.

• Dans le cadre de la modélisation du comportement du monocristal, une nouvelle technique de sélection des systèmes de glissement actifs a été proposée et implantée. Cette méthode, qui revient à une forme de régularisation de la loi de Schmid, a été validée par comparaison à des résultats de référence. Son intérêt

essentiel est d’augmenter de façon significative l’efficacité des simulations en évitant l’analyse combinatoire classique très coûteuse en temps de calcul.

• Dans l’objectif de prédiction de la localisation des déformations en relation avec les CLF, le critère de bifurcation de Rice a été couplé avec les modélisations monocristalline et polycristalline. Dans ce processus, il est essentiel d’expliciter les modules tangents pertinents dans chaque situation pour la construction du tenseur acoustique. En effet, l’analyse de localisation se réduisant à une étude spectrale de cet opérateur, il convient de le calculer le plus précisément possible.

Approche phénoménologique :

• Couplage du modèle microstructural avancé de Teodosiu–Hu à l’endommagement dans le cadre de la mécanique de l’endommagement continu et du principe d’équivalence en déformation. Par cohérence, un effort a d’abord été consacré à la réécriture du modèle de Teodosiu dans le cadre des matériaux standard généralisés, pour ensuite en effectuer le couplage à l’endommagement dans le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles, comme c’est fait usuellement.

• Implantation numérique du modèle couplé à l’endommagement dans le code Abaqus avec des schémas d’intégration temporelle implicites. Dans ce processus, assez technique dû au grand nombre de variables mises en jeu, des astuces numériques ont été adoptées pour réduire la taille des systèmes linéaires impliqués dans le processus itératif de résolution. De même, les différents modules tangents analytique et algorithmique ont été déduits et exprimés de façon très précise.

• Pour l’analyse de la localisation des déformations plastiques, ces modèles couplés à l’endommagement ont été combinés au critère de bifurcation de Rice. Comme pour l’approche micromécanique, les modules tangents pertinents à la construction du tenseur acoustique ont été explicitement écrits pour chacun des modèles de comportement avec ou sans couplage à l’endommagement. Les différents tenseurs acoustiques obtenus ont été analysés pour tracer des CLF directes et séquentielles. Pour clore ce chapitre, la discussion qui va suivre va être orientée autour (i) des travaux obtenus jusque là et leur intérêt et originalité par rapport aux travaux de la littérature, (ii) des développements qui sont en cours et pour lesquels on a déjà des résultats jugés prometteurs, et (iii) des pistes de continuation possible et des perspectives ouvertes par ces travaux.

Par rapport aux résultats obtenus jusqu’ici, nos premières investigations ont concerné l’approche micromécanique. L’analyse de localisation a d’abord été appliquée au monocristal. Il est à noter que bien que le comportement adopté pour le monocristal suit le cadre de modélisation introduit dans Iwakuma et Nemat-Nasser (1984) dans plusieurs aspects relatifs à la cinématique des grandes déformations et au choix de dérivée objective, plusieurs améliorations lui ont néanmoins été apportées. En particulier, notre approche ne restreint pas le nombre de systèmes de glissement actifs à seulement deux, utilise une nouvelle technique de sélection des systèmes actifs, et adopte une matrice d’écrouissage qui tient compte des avancées récentes dans le domaine et qui se base sur les densités de dislocations et leur évolution prenant en compte les mécanismes de stockage et d’annihilation. Ceci a permis d’étudier l’effet de ces paramètres physiques et microstructuraux, d’une part, sur la perte de ductilité du monocristal et d’autre part, après transition d’échelle, sur la limite de formabilité du polycristal. L’outil de prédiction ainsi obtenu pourrait être utilisé avantageusement par des sidérurgistes dans le processus de conception et d’élaboration de nouveaux aciers à propriétés de ductilité améliorées. Concernant le polycristal, outre l’analyse de l’impact des aspects microstructuraux sur la formabilité des aciers, les CLF obtenues en trajets de déformation directs ou séquentiels ont permis des comparaisons intéressantes avec le modèle de CLF d’ArcelorMittal. Pour aller plus loin dans la validation des CLF par comparaison à des essais

expérimentaux, il faudrait certainement améliorer la stratégie d’identification qui devrait se faire jusqu’à des niveaux de déformation importants et inclure une large gamme de trajets de chargement. Enfin pour situer nos travaux par rapport à ceux de la littérature, il est intéressant de souligner qu’en contraste avec l’utilisation très répandue de l’approche de Marciniak– Kuczynski (M–K), peu d’applications de la théorie de perte d’ellipticité de Rice ont été tentées en mise en forme des tôles pour les quantifier en termes de formabilité via des CLF. De même, l’usage d’un modèle polycristallin en grandes déformations basé sur un schéma autocohérent pour des prédictions de localisation en mise en forme n’est pas courant, et même avec l’approche M–K, la seule contribution qui a utilisé un schéma autocohérent a été publiée très récemment par Signorelli et al. (2009). Les précédentes contributions utilisant des modèles micromécaniques en conjonction avec l’approche M–K ont été restreintes au schéma de transition d’échelles de Taylor.

Concernant la prédiction de la localisation par l’approche complémentaire utilisant des modèles de comportement phénoménologiques, la même démarche nous a permis de construire les modules pertinents à l’analyse de bifurcation. De la même façon qu’avant, les effets des paramètres de la loi de comportement sur la formabilité des aciers peuvent être analysés. Nous en avons étudié, en particulier, ceux relatifs à la loi d’endommagement qui donnent des résultats cohérents par rapport à la forme de la loi d’évolution de ce mécanisme d’adoucissement. Si certains de ces paramètres pouvaient être reliés à la physique, alors comme pour l’approche micromécanique, on pourrait s’en servir utilement dans l’amélioration de ductilité des nouvelles nuances d’acier dès le stade de leur conception. Un autre aspect intéressant est celui relatif aux phénomènes transitoires d’écrouissage qui apparaissent lors de changements de trajets de déformation. En effet, les premiers résultats obtenus montrent que le choix du modèle d’écrouissage peut avoir un impact sur la prédiction de formabilité en présence de ces phénomènes. Ainsi, l’usage d’un modèle avancé qui arrive à bien reproduire ces phénomènes transitoires caractéristiques peut contribuer à une meilleure prédiction de CLF complexes (i.e., obtenues après changements de trajets de déformation). Par rapport aux travaux de la littérature sur le sujet, notre approche se distingue par l’adoption du critère de Rice sous une forme complètement tridimensionnelle sans restriction à des conditions de contraintes ou déformations planes, ce qui permet de prendre en compte les effets possibles dans l’épaisseur, comme par exemple l’orientation hors plan de la bande de localisation (voir, par exemple, Barbe et al. (2009)). De même, le cadre général des grandes déformations nous permet, d’une part, de prendre en compte les effets des termes convectifs de contraintes, qui apparaissent dans le tenseur acoustique à travers le module tangent, et d’autre part, d’aller jusqu’aux applications en mise en forme par la construction de CLF en trajets directs ou séquentiels. Il est aussi important de signaler qu’il n’y a pas eu dans la littérature de tentative de couplage à l’endommagement du modèle microstructural de Teodosiu–Hu, ce dernier étant déjà suffisamment complexe et élaboré dans sa forme non couplée. Enfin, notons que bien que ces théories d’instabilité ne soient pas nouvelles, ces efforts ayant consisté à les revisiter, pour les adapter aux nouveaux matériaux, et les actualiser par les développements les plus récents en termes de modélisation du comportement ainsi que par les avancées algorithmiques et d’efficacité de simulation permise par la puissance actuelle des calculateurs constituent des prolongements intéressants des travaux de la littérature et présentent par eux-mêmes un intérêt pratique et théorique certain.

En ce qui concerne les développements actuellement en cours, nous sommes en train d’étudier par une approche couplée, théorique et numérique, d’autres critères alternatifs de prédiction de striction diffuse ou localisée. Ces travaux, qui se font dans le cadre de la thèse de G. Altmeyer, ont pour objectif de comparer dans un premier temps les critères existants et de les classifier par catégories selon leurs bases physique ou théorique. Ensuite, des comparaisons en termes de caractère conservatif de prédiction seront faites, sur des bases

théoriques, permettant une classification des critères du plus pessimiste au plus optimiste. Un apport intéressant consiste aussi en la reformulation de tous ces critères dans le cadre d’un formalisme unifié, prenant en compte les avancées récentes en termes de modélisation du comportement et avec extension aux grandes déformations. Il est aussi prévu de faire des rapprochements entre certains de ces critères pour montrer des implications possibles ou de voir si dans certains cas limites, certains critères ne deviendraient pas des cas particuliers d’autres. Un exemple de cela est le critère de stabilité, basé sur la méthode de perturbation linéaire et qui peut s’appliquer à des comportements sensibles à la vitesse de déformation (Molinari et Clifton (1987)), qui a été montré tendre vers le critère de Rice (Barbier et al. (1998)) dans la limite d’un paramètre de sensibilité à la vitesse tendant vers zéro (i.e., lorsque l’on retrouve un comportement élasto-plastique). De façon similaire, nous avons établi des résultats originaux concernant des rapprochements entre le critère de défaut initial de Marciniak–Kuczynski (M–K) et celui de bifurcation de Rice. De même, nous poursuivons des développements nouveaux consistant à étendre, d’une part, le modèle M–K au cadre tridimensionnel, et d’autre part, à en étudier précisément les limitations connues. En effet, les principaux inconvénients reconnus de ce modèle, que sont la nature arbitraire de la taille du défaut et, dans une bien moindre mesure, le critère d’arrêt retenu, ne permettent de vraies validations par rapport à l’expérimental que si leur impact sur les prédictions est bien quantifié et maîtrisé. Des travaux assez anciens (Azrin et Backofen (1970)) avaient d’ailleurs révélé que la taille du défaut initial nécessaire à détecter une localisation avec l’approche M– K était bien supérieure à ce que l’on pouvait mesurer expérimentalement ; cette question avait aussi été discutée par Needleman (1976). Ainsi, il faut éviter les situations où la localisation est uniquement pilotée de manière artificielle par l’imperfection postulée. Cette méthode peut aussi être mise en parallèle avec celle bien connue en flambage plastique, qui permet de transformer le point de bifurcation en un point limite moyennant l’usage d’un défaut géométrique initial. En revanche, il est bien établi que cette méthode doit être utilisée avec précaution en gardant une taille de défaut faible et orienté selon un mode particulier, par exemple le mode d’Euler obtenu par une analyse préliminaire linéaire de flambage.

En ce qui concerne les perspectives ouvertes par ces travaux, on peut déjà noter celle qui consiste à aller beaucoup plus loin dans les comparaisons avec les résultats expérimentaux de CLF. Ceci a un double objectif : d’une part, la validation de critères de prédiction de localisation, et d’autre part, la sélection parmi les nombreux critères alternatifs ceux qui sont les plus aptes à reproduire les résultats expérimentaux en fonction des matériaux considérés. Une comparaison rigoureuse et cohérente se heurte néanmoins à un certain nombre de difficultés qu’il conviendrait d’abord de résoudre. Une partie de ces limitations est liée à l’identification des modèles d’écrouissage et d’endommagement jusqu’à des niveaux de déformation importants et donc au delà des déformations communément utilisées lors de l’identification sur la base d’essais mécaniques simples (homogènes). Des stratégies impliquant des essais hétérogènes et permettant d’identifier jusqu’à des grandes déformations tout en utilisant une gamme assez variée de trajets de déformation seraient un prérequis dans la perspective de telles comparaisons. Une autre partie des difficultés est liée aux procédures expérimentales elles-mêmes. En effet, comme signalé par plusieurs auteurs (voir, par exemple, Vacher (2003)), la mesure expérimentale de la limite de formabilité est une notion quelque peu subjective. Dans cette même référence, qui fournie une analyse critique de la mesure expérimentale de CLF, il est également souligné que lors de ces essais, le trajet de déformation d’un point donné n’est pas toujours rectiligne. L’utilisation des techniques optiques et des corrélations d’images ont permis des progrès importants dans ce domaine, mais comme dans les approches de modélisation théorique de cette problématique, il y a aussi plusieurs critères possibles de détection expérimentale du point de localisation, d’où la création de commissions au niveau national et européen pour tenter de standardiser les modes

opératoires. Devant l’extrême délicatesse de cette tâche, où le point de localisation peut être choisi sur une plage relativement large, il est préconisé de s’assurer au moins de la bonne reproductibilité des essais, du choix d’une même base de mesure extensométrique et de l’adoption d’un critère de striction unique. Enfin, parallèlement à cette perspective concernant la confrontation avec des résultats expérimentaux, d’autres perspectives sur le plan de la modélisation sont aussi intéressantes à poursuivre. Par exemple, dans le cadre d’approches phénoménologiques du comportement, il serait intéressant de continuer à investiguer d’autres phénomènes déstabilisants qui ont tendance à promouvoir la localisation. Dans le cas d’une règle d’écoulement plastique associée, l’analyse de l’effet d’un adoucissement dû à l’endommagement sur la perte d’unicité (bifurcation) d’un matériau élasto-plastique, comme discuté par Nguyen et Bui (1974), peut être poursuivie en considérant d’autres principes d’équivalence lors du couplage voire des descriptions anisotropes d’endommagement. Comme alternative aux lois standard, on pourrait aussi étudier les effets dus, respectivement, à une déviation par rapport à la règle de normalité, à l’adoption d’un modèle dilatant ou sensible à la pression hydrostatique, ou à l’utilisation de la théorie de déformation en relation avec la formation de points de vertex sur la surface de plasticité.

1.5. Références bibliographiques

1. 3DS report. Selection and identification of elastoplastic models for the materials used in the benchmarks. 18-Months Progress Report, Inter-regional IMS contract ‘‘Digital Die Design Systems (3DS)’’, IMS 1999 000051, 2001.

2. R.K. Abu Al-Rub, G.Z. Voyiadjis. On the coupling of anisotropic damage and plasticity models for ductile materials. Int. J. Sol. Struct., 40, 2611–2643, 2003.

3. H. Altenbach, J.J. Skrzypek (Eds.). Creep and damage in materials and structures. Springer, Wien, New York (CISM Courses and Lectures No. 399), 1999.

4. J.L. Alves. Simulação numérica do processo de estampagem de chapas metálicas: Modelação mecânica e métodos numéricos. Ph.D. Thesis, University of Minho, Portugal, 2003.

5. L. Anand, M. Kothari. A computational procedure for rate-independent crystal plasticity.

J. Mech. Phys. Sol., 44, 525–558, 1996.

6. H. Aretz. Numerical analysis of diffuse and localized necking in orthotropic sheet metals.

Int. J. Plasticity, 23, 798–840, 2007.

7. H. Aretz. A simple isotropic-distortional hardening model and its application in elastic-plastic analysis of localized necking in orthotropic sheet metals. Int. J. Plasticity, 24, 1457–1480, 2008.

8. M. Arminjon. A regular form of the Schmid law. Application to the ambiguity problem.

Textures and Microstructures, 14/18, 1121–1128, 1991.

9. R. Arrieux. Determination and use of the forming limit stress diagrams in sheet metal forming. J. Mat. Proc. Tech., 53, 47–56, 1995.

10. R. Arrieux, C. Bedrin, M. Boivin. Determination of the strain-path influence on the forming limit diagrams from the limit stress curve. C.I.R.P. Ann., 34/1, 205–208, 1985. 11. R.J. Asaro. Geometrical effects in the inhomogeneous deformation of ductile single

crystals. Acta Metall., 27, 445–453, 1979.

12. R.J. Asaro. Crystal plasticity. J. Appl. Mech., 50, 921–934, 1983a.

13. R.J. Asaro. Micromechanics of crystals and polycrystals. Adv. Appl. Mech., 23, 1–115, 1983b.

14. R.J. Asaro, D.M. Barnett. The non-uniform transformation strain problem for an anisotropic ellipsoidal inclusion. J. Mech. Phys. Sol., 23, 77–83, 1975.

15. R.J. Asaro, A. Needleman. Texture development and strain hardening in rate dependent polycrystals. Acta metall., 33, 923–953, 1985.

16. R.J. Asaro, J.R. Rice. Strain localization in ductile single crystals. J. Mech. Phys. Sol., 25, 309–338, 1977.

17. M. Azrin, W.A. Backofen. The deformation and failure of a biaxial stretched sheet.

Metall. Trans., 1, 2857–2865, 1970.

18. A. Barata Da Rocha, 1989. Theoretical forming limit diagrams of anisotropic sheets – Linear and non-linear strain paths. In: Forming Limit Diagrams: Concepts Methods and

Applications, eds. R.H. Wagoner, K.S. Chan, S.P. Keeler, 183–201, 1989.

19. F. Barbe, R. Quey, A. Musienko, G. Cailletaud. Three-dimensional characterization of strain localization bands in high-resolution elastoplastic polycrystals. Mech. Res. Comm., 36, 762–768, 2009.

20. G. Barbier, A. Benallal, V. Cano. Relation théorique entre la méthode de perturbation linéaire et l’analyse de bifurcation pour la prédiction de la localisation des déformations.

C. R. Acad. Sci. Série II b, 326, 153–158, 1998.

21. F. Barlat. Forming limit diagrams – Predictions based on some microstructural aspects of materials. In: Forming Limit Diagrams: Concepts Methods and Applications, eds. R.H. Wagoner, K.S. Chan, S.P. Keeler, 275–301, 1989.

22. B. Baudelet. Prediction of forming limit diagrams for deep drawing. Agard Lecture Series, 137, 1–22, 1984.

23. A. Benallal. A note on ill-posedness for rate-dependent problems and its relation to the rate-independent case. Comput. Mech., 42, 261–269, 2008.

24. A. Benallal, D. Bigoni. Effects of temperature and thermo-mechanical couplings on material instabilities and strain localization of inelastic materials. J. Mech. Phys. Sol., 52, 725–753, 2004.

25. A. Benallal, R. Billardon, I. Doghri. Integration algorithm and the corresponding consistent tangent operator for fully coupled elastoplastic and damage equations. Comm.

Appl. Numer. Methods, 4, 731–740, 1988.

26. A. Benallal, R. Billardon, J. Lemaitre. Continuum damage mechanics and local approach to fracture: numerical procedures. Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 92, 141–155, 1991.

27. A. Benallal, C. Comi. On localization in saturated porous continua. C. R. Acad. Sci. Série

II b, 847–853, 2000.

28. M. Berveiller, O. Fassi-Fehri, A. Hihi. The problem of two plastic and heterogeneous inclusions in an anisotropic medium. Int. J. Eng. Sci., 25, 691–709, 1987.

29. M. Berveiller, A. Zaoui. An extension of the self-consistent scheme to plastically-flowing polycrystals. J. Mech. Phys. Sol., 26, 325–344, 1979.

30. M. Berveiller, A. Zaoui. Modeling of the plastic behaviour of inhomogeneous media. J.

Eng. Mat. Tech., 106, 295–299, 1984.

31. R.D. Bharagava, H.C. Radhakrishna. Elliptic inclusions in orthotropic medium. J. Phys.

Soc. Japan, 19, 396–405, 1964.

32. D. Bigoni, T. Hueckel. Uniqueness and localization – I. Associative and non-associative