branche fondamentale
2.3.1.3. Critères par la méthode directe
0 0 ( ) * * ( ) * 0 ( ) ( ( ), ) t t t P t t t ≥ eα − −
∫
ke −τ τ τ dτ z z g z (2.83)On peut choisir t0 = , la suite de la démonstration s’obtient exactement en suivant les étapes 0 de la démonstration du théorème d’instabilité de Lyapunov (voir, e.g., Girardot (1997)).
Notons que la condition suffisante d’instabilité donnée par la proposition 2.2 est beaucoup trop restrictive, si bien qu’elle est souvent non opérationnelle dans la pratique. En effet, elle exige que toutes les valeurs propres de BS( )t soient uniformément minorées par une constante strictement positive. Ceci implique que toutes les solutions non nulles de l’équation linéarisée divergent, alors que dans la définition de l’instabilité une seule solution non bornée suffit, il n’y a pas besoin qu’elles le soient toutes.
Même si cette analyse est quelque peu grossière, il est difficile de l’affiner dans le cas général, comme le montrent les exemples 2.2 et 2.4. Néanmoins, avec des conditions supplémentaires sur les vecteurs propres, on peut établir une condition suffisante d’instabilité moins restrictive donnée par la proposition suivante :
Proposition 2.3 Si la matrice ( )B t possède une valeur propre de partie réelle supérieure à une certaine constante strictement positive ; si de plus, le vecteur propre associé à cette valeur propre est constant alors l’origine est instable pour le système non linéaire (2.78).
En effet, supposons que µ( )t =µ1( )t +iµ2( )t soit une valeur propre de B( )t avec un vecteur propre constant z . Dans ce cas, une solution triviale de (2.78) passant par *0 *
0 0 (z , )t est donnée par : 0 0 * * 1 * 0 ( ) exp ( ) ( ) ( ) ( ( ), ) t t t t t ⎡ µ τ τd ⎤ t − τ τ τ τd = ⎢ ⎥ + ⋅ ⋅ ⎢ ⎥ ⎣
∫
⎦∫
z z Z Z g z (2.84)où ( )Z t est une matrice fondamentale de la partie linéaire du système (2.78). Avec P un majorant de µM( )t , il existe k ≥1 tel que Z( )t ⋅Z−1( )τ ≤keP t(−τ) pour 0≤ ≤τ t. Si α >0 est le minorant de µ1( )t , alors on obtient la minoration suivante :
0 0 ( ) * * ( ) * 0 ( ) ( ( ), ) t t t P t t t ≥ eα − −
∫
ke −τ τ τ dτ z z g z (2.85)En remarquant que la norme z peut être choisie arbitrairement petite, il suffit de suivre à ce *0
stade les étapes de la démonstration du théorème d’instabilité de Lyapunov pour conclure à l’instabilité du système non linéaire (2.78).
2.3.1.3. Critères par la méthode directe
On va donner dans cette section quelques résultats de stabilité en utilisant l’approche directe de Lyapunov. On a montré précédemment que l’on pouvait toujours se ramener à l’étude de stabilité de l’origine (solution zéro) d’un système non autonome de la forme :
* *
( , )t
=
z F z (2.86)
avec F fonction définie et continue sur Ω = ×U I où I =[0,+∞ et [ U un ouvert de R n
suffisamment régulière pour qu’à toute donnée initiale au voisinage de l’origine il existe une unique solution définie sur I et dépendant continûment des conditions initiales.
Dans la suite, nous allons introduire une fonction V( , )z* t à valeurs scalaires, définie et continue sur U′×I où U ′ est un voisinage de zéro contenu dans U, et vérifiant ( , )V 0 t =0 sur I . Introduisons quelques définitions relatives aux fonctions de signe défini ou semi-défini.
Une fonction V( , )z* t ci-dessus, continue telle que ( , )V 0 t ≡0 est dite semi-définie positive, respectivement, semi-définie négative si ∀( , )z* t ∈ ×U′ I : V( , )z* t ≥0, respectivement, V( , )z* t ≤0.
Une fonction W z( )* continue sur U ′, telle que W( )0 =0 est dite définie positive, respectivement, définie négative si *
{ }
\
U ′
∀ ∈z 0 : W( )z* >0, respectivement, W( )z* <0. Une fonction V( , )z* t vue ci-dessus, continue telle que ( , )V 0 t ≡0 est dite définie positive s’il existe une fonction W z( )* définie positive, telle que ∀( , )z* t ∈ ×U′ I : V( , )z* t ≥W( )z . *
Elle sera dite définie négative s’il existe une fonction W z( )* définie négative, telle que *
( , )t U′ I
∀ z ∈ × : V( , )z* t ≤W( )z . *
Si V( , )z* t est pourvue de dérivées partielles premières continues dans U′×I, alors l’étude de sa variation le long des trajectoires z*( )t de l’équation différentielle (2.86) peut aisément se faire en étudiant le signe de :
* * * ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) dV V t t V t t t t dt t ∂ = + ⋅ ∂ z grad z F z (2.87)
Pour le calcul de cette dérivée, notée V( , )z* t , on n’a pas besoin de connaître les solutions de (2.86), car on y remplace z par * *
( , )t F z .
Théorème 2.5 S’il existe une fonction scalaire V( , )z* t possédant des dérivées partielles premières continues sur un domaine U′×I , telle que ( , )V 0 t ≡0, et V( , )z* t est définie positive sur U′×I tandis que sa dérivée V( , )z* t y est semi-définie négative, alors la solution
* =
z 0 de (2.86) est stable.
Le domaine U ′ ci-dessus peut être n’importe quel voisinage de l’origine contenu dans U où F est définie. Une fonction *
( , )
V z t vérifiant les hypothèses du théorème 2.5 est appelée fonction de Lyapunov faible.
Théorème 2.6 S’il existe une fonction scalaire V( , )z* t possédant des dérivées partielles premières continues sur un domaine U′×I, telle que V( , )0 t ≡0, V( , )z* t est définie positive sur U′×I tandis que sa dérivée V( , )z* t y est définie négative, si de plus V( , )z* t →0 lorsque
*→
z 0 , uniformément pour t∈I, alors la solution z*=0 de (2.86) est uniformément
asymptotiquement stable.
La définition de stabilité uniforme est détaillée dans Abed-Meraim (1999). Une fonction *
( , )
V z t vérifiant toutes les hypothèses du théorème 2.6 sauf la dernière, est appelée fonction de Lyapunov forte. Une autre variante du théorème 2.6 faisant moins d’hypothèses sur V mais avec une hypothèse sur F est donnée par le corollaire suivant :
Corollaire 2.1 Si * ( , )t
F z est bornée, et s’il existe une fonction de Lyapunov forte ( * ( , )
V z t
définie positive sur U′×I tandis que sa dérivée * ( , )
V z t y est définie négative), alors la solution z* =0 de l’équation (2.86) est asymptotiquement stable.
Par bornée, on entend que la fonction F vérifie : il existe b>0 et M >0 tel que *
( , )t <M
F z pour z* ≤b et t∈I . Les théorèmes 2.5 et 2.6 se trouvent dans le mémoire de Lyapunov (1907) ; le corollaire 2.1 est une extension de Marackov (1940).
Pour ce qui est d’une condition suffisante d’instabilité, on dispose du théorème suivant :
Théorème 2.7 S’il existe une fonction scalaire V( , )z* t possédant des dérivées partielles premières continues sur un domaine U′×I , telle que V( , )z* t →0 lorsque z*→0 ,
uniformément pour t∈I, si V( , )z* t est de signe défini et s’il existe T >0 tel que pour tout t≥T et tout η positif aussi petit que l’on veut, on peut trouver au moins un a tel que a <η et ( , )V a t de même signe que V , alors la solution z* =0 est instable pour l’équation (2.86).
Le théorème 2.7 est dû à Lyapunov. Il existe aussi d’autres théorèmes donnant des conditions suffisantes d’instabilité et utilisant des fonctions auxiliaires, les plus répandus sont dus à Tchetaev (1934), mais tout comme le théorème 2.7 ils restent difficiles d’application.
Il est parfois intéressant de s’inspirer de la forme équivalente donnée par l’équation (2.78), associée à l’équation différentielle et à la solution dont on veut étudier la stabilité, pour construire la fonction auxiliaire appropriée. On suppose également que le terme non linéaire
* ( , )t
g z vérifie g z( , )* t z* →0 lorsque z* →0 uniformément par rapport à t sur [0,+∞ . [ On va alors construire explicitement une fonction de Lyapunov quadratique pour le système.
Proposition 2.4 Si la matrice BS( )t est définie négative alors l’origine est une solution asymptotiquement stable pour le système non linéaire (2.86) ou (2.78).
Pour s’en convaincre, on va montrer que la fonction auxiliaire V( )z* = z* 2 est une fonction de Lyapunov forte pour le système non linéaire (2.78). En effet, sa dérivation le long des trajectoires de (2.78) vérifie :
* * * * *
( , ) 2 T S( ) 2 T ( , )
V z t = z ⋅B t ⋅ +z z ⋅g z t (2.88) Comme z*T⋅BS( )t ⋅ ≤z* µM( )t z* 2 ≤µ0 z* 2 (avec µ0 < ) et compte tenu de l’hypothèse sur 0
* ( , )t
g z , il existe un voisinage U ′ de l’origine tel que V( , )z* t soit définie négative sur U′×I. Toutes les conditions du théorème 2.6 sont alors satisfaites, ce qui entraîne la stabilité asymptotique de l’origine dans le système non linéaire (2.86) ou (2.78).
Intéressons-nous maintenant au cas particulier où l’opérateur linéaire ( )B t , du système (2.78), s’écrit : B( )t = −M−1( )t ⋅K( )t . Les matrices M( )t et K( )t étant symétriques, M( )t est bornée, continûment dérivable et définie positive. Cela correspond à un système linéarisé de la forme : M( )t ⋅ +z* K( )t ⋅ =z* 0. D’après la proposition 2.4, une condition suffisante de stabilité asymptotique de l’origine pour le système (2.78) est donnée par la définie positivité de M−1( )t ⋅K( )t .
Notons que la définie positivité de M−1( )t ⋅K( )t (ou de sa partie symétrique) est une condition plus restrictive que la définie positivité de K( )t . En effet, on montre que pour K symétrique, M symétrique définie positive, la définie positivité de M−1( )t ⋅K( )t implique
celle de K( )t . La réciproque de cette assertion est fausse : le produit de deux matrices symétriques définies positives n’est pas toujours défini positif. Cette remarque peut être utile, dans certains cas, pour essayer d’affaiblir cette condition suffisante de stabilité asymptotique. En particulier lorsque M est constante, on montre que la définie positivité de K( )t suffit pour que l’origine soit asymptotiquement stable dans le système (2.78) ou (2.86).
Pour le voir, il suffit de prendre pour fonction auxiliaire V( , )z* t =z*T⋅M( )t ⋅z . Sa *
dérivée le long des trajectoires du système non linéaire s’écrit :
* * * * *
( , ) 2 T ( ) 2 T ( , ) , ( ) 1 2 ( ) ( )
V z t = z ⋅H t ⋅ +z z ⋅g z t H t = M t −K t (2.89) On est bien dans les conditions d’application du théorème 2.6 ; et la définie positivité de
( ) 1 2t − ( )t
K M représente une condition suffisante de stabilité asymptotique de l’origine pour le système non linéaire (2.78). En particulier, si M est constante cette condition se réduit à la simple définie positivité de K( )t .
On peut résumer tous ces résultats en une seule condition suffisante donnée par la proposition suivante :
Proposition 2.5 S’il existe un opérateur G( )t borné, continûment dérivable et symétrique défini positif, tel que l’opérateur G( )t +BT( )t ⋅G( )t +G( )t ⋅B( )t soit défini négatif alors l’origine est asymptotiquement stable pour le système non linéaire (2.78) ou (2.86).
Si l’on dérive la fonction auxiliaire V( , )z* t =z*T⋅G( )t ⋅z le long des solutions de (2.78) *
on obtient :
* * * * *
( , ) 2 T ( ) 2 T ( , ), ( ) ( ) T( ) ( ) ( ) ( )
V z t = z ⋅H t ⋅ +z z ⋅g z t H t =G t +B t ⋅G t +G t ⋅B t (2.90) et la définie négativité de H( )t apparaît comme une condition suffisante de stabilité asymptotique d’après le théorème 2.6.
Pour retrouver les résultats précédents concernant la stabilité de l’origine pour le système non linéaire (2.78) :
I. Lorsque ( )M t dépend du temps :
• En prenant G I= , une condition suffisante de stabilité asymptotique est donnée par la définie positivité de M−1( )t ⋅K( )t .
• En prenant G M= , une autre condition suffisante de stabilité uniforme asymptotique est donnée par la définie positivité de K( ) 1 2t − M ( )t .