2.2 Les spectres de réponse
2.2.2 Spectres élastiques et inélastiques
Les enregistrements des mouvements sont constitués par trois composantes d’accélérogrammes enregis-trées par des accéléromètres sous la forme analogue ou numérique (deux composantes horizontales et une composante verticale). Ces enregistrements peuvent être employés pour conduire les analyses dyna-miques temporelles et pour dériver des spectres de réponse. Ces derniers sont décrits ci-dessous.
Un spectre de réponse est un tracé des maxima de l’accélération, de la vitesse et du déplacement de la réponse sismique des systèmes à un seul degré de liberté (1DDL) avec diverses périodes naturelles. Une famille des courbes est habituellement calculée pour une excitation donnée, montrant l’effet de la variation de l’amortissement structurel. Pour de nombreuses applications structurelles pratiques, il est
suffisant d’utiliser les valeurs maximums ou spectrales des paramètres de réponse ci-dessus plutôt
que leurs valeurs à chaque instant de l’accélérogramme.
La donnée d’entrée du séisme peut être définie par des spectres de réponse de divers formes, i.e. élas-tiques, inélasélas-tiques, paramétrées et lissées. De telles formes sont exigées pour effectuer une analyse spectrale modale et Pushover adaptative avec la mesure du spectre. Elles sont également essentielles pour l’évaluation du spectre de capacité et la conception basée sur le déplacement. Des spectres de réponse peuvent être calculés à partir des accélérogrammes sismiques en utilisant un des plusieurs
pro-grammes informatiques disponibles ; dont celui qui est présenté dans la section [5.1.1].
Des spectres de réponse élastiques sont dérivés analytiquement en évaluant l’intégrale de Duhamel, qui fournit la réponse de déplacement total des systèmes de (1DDL) soumis au chargement sismique. Le principe de la superposition suppose que l’effet d’un certain nombre d’actions simultanément appli-quées est équivalent à la superposition de leurs différents effets considérés un par un. L’équation de l’équilibre dynamique pour les systèmes structuraux élastiques linéaires avec la masse (m), la rigidité (k) et l’amortissement (c) se présente comme suit :
mu¨+ c ˙u+ ku = −m ¨ug (2.26)
où le terme ( ¨ug) présente l’accélération du sol. Ainsi, l’équation (2.26) exprime l’équilibre d’inertie (m ¨u),
l’amortissement (c), les forces élastiques (ku) et le chargement sismique ( ¨ug). Il peut être démontré par
l’utilisation des principes de la dynamique structurelle que la valeur maximale du déplacement (Sd),
définie comme le déplacement spectral , est égale à (Chopra, 2002) :
Sd= [u(t)]max= [
Rt
0u¨ge−ζω(t−τ)sin[ωd(t − τ)]dτ]max
Dans laquelle (τ) est une variable de temps choisie arbitrairement dans la durée du mouvement du sol
dû à un séisme de forte intensité et (ω)est la fréquence naturelle du système non amorti. Où, le (ωd) est
la fréquence circulaire amortie donnée par :
ωd= ω
q
1 − ζ2 (2.28)
tandis que, (ζ) est l’amortissement visqueux de l’oscillateur exprimé en pourcentage de la valeur critique (ccrit) . Notant que (ccrit= 2mω) et (ζ =ccritc ). Les systèmes structurels ordinaires exposent un amortisse-ment visqueux qui s’étend entre (0.5%) et environ (10%). De ce fait, les valeurs des fréquences amorties
et non amorties dans l’équation (2.28) sont semblables et par conséquent (ω) peut être employée au lieu
de (ωd). Les spectres de réponse de déplacement sont essentiels pour la conception basée sur le
déplace-ment.
D’autre part, la vitesse maximale (Sv) peut être rapprochée, par le produit du déplacement spectral (Sd)
et la fréquence fondamentale (ω) du système à (1DDL) , en supposant un mouvement harmonique :
Sv= ωSd (2.29)
qui est définie comme la pseudo-vitesse spectrale et correspond à l’intégrale au numérateur dans l’équa-tion (2.27). Le préfixe pseudo prouve que (Sv) n’est pas la vitesse maximale réelle, qui serait obtenue pour différencier l’expression de déplacement. Néanmoins, pour l’intervalle pratique de l’amortissement dans la conception parasismique des structures citée précédemment et pour les systèmes de moyennes à faibles périodes, les spectres de pseudo-vitesse sont une approximation étroite des spectres réels de vitesses relatives. Les spectres de vitesse ont une importance dans la conception sismique parce qu’ils présentent une mesure de l’énergie transmise dans l’oscillateur. De même, la pseudo-accélération
spec-trale (Sa) est exprimée comme suit :
Sa= ωSv= ω2Sd (2.30)
Ainsi, le spectre d’accélération est dérivé en multipliant chaque ordonnée du spectre de vitesse par la fréquence naturelle (ω) du système à (1DDL). Cependant, pour des structures avec des dispositifs sup-plémentaires, par exemple avec amortisseurs passifs et/ou actifs ou dispositifs d’isolation de la base, les
différences entre l’accélération maximale absolue et (Sa) augmentent en fonction de la période naturelle
(T ). Les spectres des accélérations absolues réelles peuvent être calculés en intégrant deux fois l’expres-sion du déplacement, e.g. l’intégrale de Duhamel. Le procédé pour dériver les spectres élastiques peut être récapitulé comme suit :
1. Choisir l’enregistrement du séisme à partir des banques de données ;
2. Choisir la paire (T −ζ), i.e. la période fondamentale de la vibration et la constante d’amortissement pour le système à (1DDL). Les valeurs d’intérêt pour des applications à la conception parasismique des structures s’étendent entre (0.01) et (5) secondes pour (T ), pour les structures très rigides et très flexibles, respectivement, et (0%) à (20%) pour le ζ, pour les systèmes légèrement et fortement amortie, respectivement ;
3. Choisir une méthode numérique pour intégrer l’équation du mouvement comme exprimé, e.g. dans l’équation (2.26) ;
4. Calculer l’historique de la réponse pour l’enregistrement sismique donné. La valeur du pic de
déplacement spectral est Sd;
5. Calculer la pseudo-vitesse Svet pseudo-accélération Saen employant les équations (2.29) et (2.30), respectivement. Alternativement, la vitesse relative réelle maximale et l’accélération absolue peuvent être déterminées moyennant des algorithmes numériques ;
6. Choisir à nouveau des paires (T − ζ) et répéter les étapes (1) à (5) ;
7. Tracer les maxima de la réponse en fonction de la période fondamentale ou de la fréquence pour diverses valeurs d’amortissement.
Les spectres élastiques sont des outils utiles pour la conception et l’évaluation des structures. Cependant, ils ne tiennent pas compte de l’inélasticité, la réduction de rigidité et la dégradation de la résistance éprouvée par les structures pendant les séismes majeurs. Les systèmes structurels ne sont pas conçus pour résister aux forces sismiques dans leur domaine élastique, mais la plupart des cas pour des raisons d’économie de la construction.
Des concepts d’absorption de l’énergie et de redistribution plastique sont employés pour réduire les forces sismiques élastiques de plus de (80%). Le comportement inélastique des structures peut être quantifié par un facteur de ductilité (µ). Les valeurs élevées de (µ) correspondent à de grandes déforma-tions inélastiques ; pour les systèmes linéairement élastiques, le facteur de ductilité est égal à un. Ainsi, les spectres inélastiques pour un µ de ductilité ciblée, i.e. du niveau de l’inélasticité, ont été estimés simplement en divisant les ordonnées des spectres élastiques par les facteurs (R), comme illustré dans la
section [2.2.4]. Grâce à des analyses approfondies des spectres élastiques et non élastiques, trois régions
de réponse ont été identifiées en fonction de la période fondamentale.
modification de la réponse factorisée à la période de la structure et aux caractéristiques signifiantes du
mouvement d’entrée, comme décrit dans la section [2.2.4]. Les spectres inélastiques dépendent non
seule-ment des caractéristiques du mouveseule-ment du sol, mais égaleseule-ment sur les caractéristiques cycliques non linéaires du système structurel. Ceci complique le problème pour les ingénieurs de génie parasismique. La réduction des spectres élastiques en utilisant les facteurs (R) est l’approche la plus simple et la plus populaire pour dériver des spectres inélastiques. Cependant, cette approche se sert des concepts statiques pour mesurer le spectre élastique, obtenu à partir de l’analyse dynamique. Elle est, en soi, peu sensible aux caractéristiques du mouvement sismique, qui affectent l’amortissement hystérétique. Des résultats plus précis peuvent être obtenus par une analyse dynamique inélastique du système à (1DDL) soumis un choc sismique.