5.2.7 Calcul non linéaire (sources des non-linéarités)
Avant tout calcul non linéaire, il est indispensable de s’assurer que le calcul fonctionne correctement en élasticité linéaire. Les non-linéarités peuvent alors être ajoutées l’une après l’autre. On rappelle briève-ment les conseils majeurs sur la discrétisation temporelle et les paramètres numériques de résolution non linéaire dans les paragraphes suivants.
La résolution d’un problème non linéaire nécessite généralement d’appliquer le chargement extérieur progressivement, par incrément de charge. Ainsi le temps (ou pseudo-temps en quasi statique) est dis-crétisé en pas de temps et à chaque pas de temps correspond un incrément de charge. Plus le pas de temps est petit, moins le problème est non linéaire donc plus facile à résoudre. Afin d’autoriser le sous découpage du pas de temps en cas d’échec de convergence, il est indispensable d’utiliser la commande (DEFI-LIST-INST). Pour vérifier la cohérence des données (système d’unités, conditions aux limites, caractéristiques élémentaires, effet des variables de commandes), il est toujours utile d’effectuer un pre-mier calcul élastique linéaire ((STAT-NON-LINE/RELATION=’ELAS’), ou MECA-STATIQUE), avant toute étude non linéaire, puis d’ajouter les non-linéarités les unes après les autres.
(STAT-NON-LINE) est l’opérateur de Code-Aster qui permet d’effectuer des calculs mécaniques non linéaires lorsque les effets d’inertie sont négligés (si l’on veut prendre en compte les effets d’inertie, il
faut utiliser l’opérateur (DYNA-NON-LINE)). (voir. [8]) Le calcul statique non linéaire ne porte que sur
d’autres phénomènes physiques (thermique,...). Il y a une exception en ce qui concerne la modélisation thermo hydromécanique (modélisation dite ’THM’) pour laquelle (STAT-NON-LINE) traite l’ensemble du problème couplé des équations de diffusion thermique, de la pression du fluide et de l’équilibre mé-canique. Il faut noter que lorsque l’on parle d’instant de calcul dans ce paragraphe, on fait quasiment toujours référence à un pseudo-temps, qui n’a pas de signification physique et qui ne sert qu’à paramé-trer l’algorithme incrémental. Toutefois, l’instant garde une signification physique en viscoplasticité et quand les variables de commande en dépendent.
5.2.8 Analyses préalables au calcul dynamique non linéaire
- Analyse modale
Il est préconisé, avant de mener un calcul transitoire, de réaliser une analyse modale de la structure. Ceci permet de vérifier la qualité de la modélisation (raideur globale, conditions aux limites). Si de plus, on dispose des premières fréquences propres mesurées expérimentalement, on pourra comparer la modélisa-tion en éléments finis par rapport à la structure réelle et éventuellement recaler la modélisamodélisa-tion éléments finis. Pour l’analyse sismique d’une structure linéaire, il faut au minimum retenir tous les modes dont les fréquences propres sont inférieures à la fréquence de coupure du spectre sismique (généralement de l’ordre de (33Hz), au-delà de laquelle il n’y a pas d’amplification dynamique significative). Dans la pratique, on se contente souvent de ne conserver que les modes qui contribuent de façon significative à la réponse. On conserve alors uniquement les modes dont la masse effective unitaire dans une direc-tion est supérieure à (0.1%). Un deuxième critère de sélecdirec-tion consiste à s’assurer également que, pour l’ensemble de ces modes retenus, la masse effective unitaire cumulée dans chaque direction est peu dif-férente de la masse totale de la structure. Un seuil d’admissibilité de (95%) est couramment admis pour la méthode spectrale ; il est indiqué un seuil de (90%) pour la méthode transitoire. Si ce deuxième critère n’est pas vérifié avec les modes inférieurs à (33Hz), on étend la base modale au-delà de cette fréquence jusqu’à atteindre ce seuil.
- Analyse statique non linéaire
Formulation incrémentale pour l’analyse non linéaire Dans (STAT-NON-LINE), deux familles de
comportements sont disponibles
tra-vers de l’équation d’équilibre à un système non linéaire dépendant explicitement du champ de dépla-cements (u) par rapport à la configuration de référence, et paramétré par l’instant de calcul (à travers entre autres l’évolution thermique).
– L’autre famille, qui correspond au mot-clé facteur (COMP-INCR) (COMPortement INCRémental), est associée à des relations de comportement exprimées par une équation différentielle implicite (par exemple l’élastoplasticité, la viscoplasticité, l’hypo-élasticité, etc.). Dans ce cas, la relation de com-portement est intégrée en reliant un incrément de déplacement ∆u calculé à partir d’un état mécanique donné (l’état mécanique étant représenté par un champ de déplacements u, un champ de contraintes (σ) et un champ de variables internes (δ) ) au champ de contraintes à l’instant t du calcul. L’équation d’équilibre conduit donc à un système non linéaire en (∆u), mais qui est également paramétré par l’instant de calcul à travers les données du problème (variation du chargement mécanique et évolution thermique par exemple).
Il faut noter la différence fondamentale entre les deux approches. Le cas élastique suppose l’existence d’un état de référence par rapport auquel la déformation élastique est écrite : cet état correspond à un état sans déformation, ni contrainte. C’est la valeur " absolue " du chargement qui crée la déformation. Le cas
incrémental s’appuie sur l’état précédemment calculé et oublie toute référence aux états antérieurs
hormis celle donnée par les variables internes. Dans ce cas, c’est la variation du chargement qui modifie l’état du système. Dans les deux cas, on calcule la solution de proche en proche. Ce n’est théoriquement pas indispensable dans le cas élastique non-linéaire car il n’est pas nécessaire de garder la mémoire de l’état antérieur (pas de variables internes), ni d’évaluer une équation différentielle, mais il se peut que la non linéarité de la solution recherchée soit trop forte pour l’algorithme de résolution utilisé, et qu’il soit indispensable, pour des raisons numériques, d’opérer pas à pas.
- Calcul dynamique linéaire élastique
Il est préconisé, avant de mener un calcul transitoire non linéaire, de réaliser un calcul transitoire linéaire élastique. Pour cela, il suffit, à partir du fichier de commande du calcul transitoire non linéaire DYNA-NON-LINE, de définir des matériaux élastiques : (COMP-INCR /RELATION =’ELAS’). Cela permet de voir par exemple si l’amortissement introduit est bien pris en compte pour tous les éléments finis de la modélisation.
5.3 Résolution du calcul dynamique non linéaire
5.3.1 Évolution temporelle du chargement et Critères de convergence
La commande (DEFI-LIST-INST) permet de réaliser un redécoupage automatique du pas de temps lorsque l’algorithme de Newton ne converge pas. Il est nécessaire, pour un calcul donné, de tester plu-sieurs pas de temps afin d’analyser la stabilité des résultats en fonction du pas de temps choisi.
Le mot-clé (CONVERGENCE) permet de définir la valeur du résidu relatif sur l’équilibre (RESI-GLOB-RELA)). Il est conseillé d’utiliser une matrice tangente réactualisée à chaque itération de Newton : (REAC-ITER=1) afin de faciliter la convergence de l’algorithme. Il est fortement recommandé de ne pas
augmen-ter le critère de convergence de la méthode de Newton ((RESI-GLOB-RELA)=10−6par défaut). D’autres
critères de convergence sont également disponibles. On peut relâcher ce critère de convergence. Il faut cependant le faire avec précaution, l’utilisation d’un critère de convergence trop grand pouvant entraî-ner des résultats éloignés de la solution réelle. On conseille de ne pas utiliser un (RESI-GLOB-RELA)
supérieur à 10−4. Il existe de plus un résidu absolu sur l’équilibre (RESI-GLOB-MAXI). Initialement, ce
critère est utilisé lorsque le chargement et les réactions d’appui deviennent nuls (par exemple dans le cas d’une décharge totale).
Dans ce cas, on passe automatiquement du critère relatif au critère absolu. Lorsqu’on utilise un modèle de comportement endommageant, on observe dans certains cas une divergence du résidu absolu alors que le résidu relatif reste faible. C’est pourquoi, il est conseillé lors des calculs de vérifier que (RESI-GLOB-MAXI) reste faible. Si celui-ci atteint des valeurs élevées, il est préconisé de reprendre le calcul en imposant une valeur maximale au résidu global en définissant un (RESI-GLOB-MAXI) pour le calcul. Sous (ITER-GLOB-MAXI), on peut modifier le nombre d’itérations maximum effectué pour résoudre le problème global à chaque instant (10 par défaut). Si on voit qu’au cours des itérations de Newton, la convergence du modèle de comportement est lente, on peut augmenter la valeur de ce paramètre. Sous (ITER-GLOB-ELAS), on peut modifier le nombre d’itérations maximum effectué avec la matrice de dé-charge lorsqu’on utilise le mot clé (PAS-MINI-ELAS) du mot clé facteur (NEWTON) pour résoudre le problème global à chaque instant (25 par défaut).
5.3.2 Algorithme de Newton
Le mot-clé (NEWTON) permet de préciser la matrice utilisée pour les itérations globales de la méthode de
Newton (Fig.5.3 ). On peut utiliser soit la matrice élastique (MATRICE=’ELASTIQUE’), soit la matrice
tangente (MATRICE=’TANGENTE’). De plus, dans ce dernier cas on peut passer automatiquement de la matrice tangente à la matrice de décharge lorsque le pas de temps est ou devient (par le redécoupage) in-férieur à un pas minimal (PA-MINI-ELAS). Pour les modèles d’endommagement la matrice de décharge
s’identifie à la matrice sécante (Fig.5.3). Cette option peut être utile lorsque le redécoupage automatique
du pas de temps ne suffit pas à faire.