da linguagem, sem enunciar nenhum axioma de car´ater existencial; es- tes s˜ao axiomas com prop´ositos puramente estrutural. No segundo grupo, apresentamos os axiomas que generalizam os axiomas usuais de ZFU, garantindo que alguns tipos espec´ıficos de cole¸c˜oes existem. Finalmente, o terceiro grupo de axiomas apresenta as leis que gover- nam o s´ımbolo para quase-cardinal. Neste caso, n´os dividimos a se¸c˜ao em duas partes, uma delas apresentando os principais axiomas e outra tratando com o axioma da extensionalidade fraca e outros resultados relacionados. Devemos notar que estes grupos de axiomas est˜ao relaci- onados uns aos outros, e que a divis˜ao proposta aqui ´e meramente para conveniˆencia de exposi¸c˜ao.
Antes de seguirmos adiante, ´e interessante deixarmos alguns pon- tos claros. Em primeiro lugar, n˜ao ´e necess´ario utilizarmos uma l´ogica de primeira ordem como a l´ogica subjacente para a teoria Q (mas neste caso estar´ıamos modificando a teoria). Algum tipo de l´ogica de segunda ordem poderia ser utilizado, como ocorre com as teorias de conjuntos usuais, de modo que alguns esquemas de axiomas que utilizaremos aqui poderiam ent˜ao ser escritos como f´ormulas da linguagem propriamente. N´os n˜ao entraremos na discuss˜ao de qual destas abordagens ´e a melhor; adotaremos uma l´ogica de primeira ordem simplesmente por ser este o procedimento mais simples, e porque esta ´e a l´ogica empregada hoje em dia na apresenta¸c˜ao das teorias de conjuntos. Um segundo ponto interessante que merece ser mencionado ´e que poder´ıamos de fato em- pregar uma linguagem de primeira ordem com identidade. Neste caso, poder´ıamos empregar uma linguagem bi-sortida na qual um dos ti- pos de termos denota m-´atomos e o outro tipo de termos denota os objetos conjuntistas usuais. Seguindo esta abordagem, para garantir que a identidade n˜ao est´a definida para m-´atomos dever´ıamos impor na defini¸c˜ao de f´ormula que o s´ımbolo de identidade, quando ladeado por algum termo do tipo denotando m-´atomos, n˜ao constitui f´ormulas bem formadas. Novamente, n´os n˜ao vamos seguir esta abordagem aqui, mesmo que pare¸ca interessante e merecendo investiga¸c˜ao.
Vamos apresentar agora o primeiro grupo de axiomas.
3.4 AXIOMAS ESTRUTURAIS ´
E o nosso prop´osito descrever uma teoria sobre ´atomos e cole¸c˜oes de ´atomos de um modo similar ao que se faz em ZFU. J´a que te- mos dois tipos de ´atomos, n´os iremos primeiramente especificar como
eles se relacionam entre si, e ent˜ao qual ´e sua rela¸c˜ao com as cole¸c˜oes (quase-conjuntos) da teoria. Conforme mencionamos anteriormente, motivados por uma concep¸c˜ao particular da natureza das part´ıculas na mecˆanica quˆantica n˜ao-relativista, n´os consideraremos que um dos ti- pos de ´atomos, os m-´atomos, representam as part´ıculas indistingu´ıveis, e assumimos que para eles a no¸c˜ao de identidade n˜ao est´a definida. Este tipo de ´atomos ser´a representado na teoria pelo predicado un´ario m. O outro tipo de ´atomos, os M-´atomos, atuam como os ´atomos usuais de ZFU, para os quais a identidade est´a definida; estes ´atomos satisfazem o predicado un´ario M . Nossa primeira preocupa¸c˜ao ´e distinguir entre o comportamento destes ´atomos, e definir a no¸c˜ao de quase-conjuntos (daqui por diante q-sets), que, como nas teorias usuais que tamb´em s˜ao compat´ıveis com a existˆencia de ´atomos, s˜ao definidos como algo que n˜ao ´e um ´atomo mas que pode ter ´atomos como elementos. N´os tamb´em estipulamos que ´atomos n˜ao possuem elementos. Ent˜ao, te- mos:
Axioma 3.1. ∀x¬(m(x) ∧ M (x)) (Nenhuma entidade ´e tanto um m-´atomo quanto um M-´atomo.)
Defini¸c˜ao 3.1 (Quase-conjuntos). Q(x) =def ¬m(x)∧¬M (x) (Quase-
conjuntos n˜ao s˜ao ´atomos.)
Axioma 3.2. ∀x∀y(x ∈ y → Q(y)) (Se algo tem elementos, ent˜ao ´e um quase-conjunto – portanto, ´atomos s˜ao vazios.)1
Agora, devemos lembrar que m-´atomos representam em nossa in- terpreta¸c˜ao pretendida os itens que n˜ao s˜ao indiv´ıduos, os n˜ao-indiv´ıduos, conforme eles figuram no entendimento de alguns autores acerca da natureza das part´ıculas da mecˆanica quˆantica. Na teoria de quase- conjuntos, isto ´e representado pelo fato de que estes ´atomos falham em figurar na rela¸c˜ao de identidade, mas podem entrar em uma rela¸c˜ao mais fraca de indistinguibilidade. Para permitir esta caracter´ıstica em Q, n˜ao temos uma rela¸c˜ao de identidade em nossa linguagem, e intro- duzimos esta rela¸c˜ao por defini¸c˜ao estipulando que ela n˜ao relaciona m-´atomos. Para garantir isto, colocamos a seguinte defini¸c˜ao:
Defini¸c˜ao 3.2 (Identidade). x = y =def [(Q(x) ∧ Q(y) ∧ ∀z(z ∈ x ↔
z ∈ y)) ∨ (M (x) ∧ M (y) ∧ ∀z(x ∈ z ↔ y ∈ z))] (Objetos idˆenticos s˜ao ou q-sets tendo todos os mesmos elementos ou M-´atomos pertencendo aos mesmos q-sets.)
1Certamente uma ´otima continua¸c˜ao da teoria seria acrescentar a Q algum tipo
de mereologia relacionando m-´atomos e M-´atomos, de modo que, digamos, M- ´
Esta defini¸c˜ao nos garante que a teoria de quase-conjuntos ´e extensional, isto ´e, os q-sets s˜ao determinados pelos seus elementos. O ponto ´e que o primeiro membro da conjun¸c˜ao da defini¸c˜ao nos garante que uma forma de extensionalidade vale para q-sets. Lembremos que isto ´e verdadeiro mesmo que n´os n˜ao possamos expressar na teoria que x e y possuem elementos idˆenticos, isto ´e, mesmo quando a identidade n˜ao faz sentido para os elementos destas cole¸c˜oes, ainda assim podemos garantir que se todo elemento de x ´e um elemento de y e conversamente, ent˜ao x = y. Note tamb´em que esta defini¸c˜ao n˜ao diz nada acerca de m- ´
atomos, de modo que a teoria silencia acerca da identidade ou diferen¸ca destes itens.
Um dos fatos mais b´asicos acerca da identidade segue-se direta- mente desta defini¸c˜ao:
Teorema 3.1. Se Q(x) ou M(x), ent˜ao x = x, isto ´e, a identidade ´e reflexiva.
Prova: A prova segue diretamente da defini¸c˜ao da identidade e de alguns fatos sobre a l´ogica subjacente. Se Q(x), ent˜ao, j´a que ∀z(z ∈ x ↔ z ∈ x) ´e um teorema da l´ogica subjacente, com nossa hip´otese de que x ´e um quase-conjunto(Q(x)), da regra de introdu¸c˜ao da disjun¸c˜ao do c´alculo proposicional n´os temos que
[(Q(x)∧Q(x)∧∀z(z ∈ x ↔ z ∈ x))∨(M (x)∧M (x)∧∀z(x ∈ z ↔ x ∈ z))], isto ´e, x = x. De forma totalmente an´aloga se demonstra o resultado para o caso de M (x).
Para garantir que a identidade ter´a a outra propriedade que ´e usualmente considerada como a caracterizando em sistemas de primeira ordem, n´os postulamos a seguinte regra de substitui¸c˜ao:
Axioma 3.3. ∀x∀y(x = y → (α(x) → α(y))), onde α(x) ´e uma f´ormula com x livre e α(y) resulta dela quando substitu´ımos algumas ocorrˆencias de x por y e y ´e livre para x em α.
Com este axioma e a reflexividade da identidade podemos garan- tir que a rela¸c˜ao de identidade que definimos ´e sim´etrica e transitiva (ver Mendelson (MENDELSON, 1987, cap.2)).
Agora, vamos tratar da rela¸c˜ao de indistinguibilidade. Intui- tivamente, esta rela¸c˜ao deve expressar que certos objetos s˜ao indis- tingu´ıveis, entendendo-se a indistinguibilidade de dois objetos como o fato de possu´ırem todas as propriedades em comum. Todavia, precisa- mos caracterizar a rela¸c˜ao de indistinguibilidade de modo que n˜ao coin- cida nem formalmente nem semanticamente com a identidade padr˜ao
(j´a que nossa motiva¸c˜ao nos indica que os m-´atomos podem ser indis- tingu´ıveis sem serem idˆenticos). O primeiro ponto a ser percebido ´e que a rela¸c˜ao de identidade apresentada acima n˜ao est´a definida para m-´atomos, que apesar disso ainda podem ser indistingu´ıveis. Ent˜ao, a quest˜ao ´e: que tipo de axiomas dever´ıamos impor `a rela¸c˜ao primitiva de indistinguibilidade ≡? Parece razo´avel que ela deveria ser reflexiva, sim´etrica e transitiva, pois queremos formar classes de equivalˆencia de elementos indiscern´ıveis. Todavia, para garantir que esta rela¸c˜ao n˜ao vai acabar sendo a mesma rela¸c˜ao que a identidade, devemos garantir que ela n˜ao ´e compat´ıvel com pelo menos uma das rela¸c˜oes da lingua- gem, isto ´e, que a indistinguibilidade n˜ao ´e uma rela¸c˜ao de congruˆencia. Para garantir isto, nossos axiomas ser˜ao tais que o s´ımbolo de rela¸c˜ao ∈ pode n˜ao ser compat´ıvel com ≡, isto ´e, resulta dos axiomas abaixo que de x ∈ y e x0 ≡ x n´os n˜ao podemos inferir que x0 ∈ y. Mas, para todos os outros predicados, parece razo´avel que se x0 ≡ x e P ´e algum dos predicados un´arios da linguagem, ent˜ao P (x) implica P (x0). O mesmo vale para rela¸c˜oes n-´arias distintas da pertinˆencia.2 Ent˜ao, pela primeira parte de nossa discuss˜ao, temos que:
Axioma 3.4. 1. ∀x(x ≡ x);
2. ∀x∀y(x ≡ y → y ≡ x);
3. ∀x∀y∀z(x ≡ y ∧ y ≡ z → x ≡ z);
Mesmo que a indistinguibilidade n˜ao seja compat´ıvel com ∈ no caso dos m-´atomos, gostar´ıamos que no caso dos objetos ‘cl´assicos’ a identidade e a indistinguibilidade fossem equivalentes, isto ´e, a lei de Leibniz deveria valer para estes itens, no sentido de que objetos cl´assicos indistingu´ıveis deveriam ser idˆenticos e reciprocamente. Buscando for- malizar esta ideia, introduzimos outra defini¸c˜ao e um postulado. Vamos relembrar que Z(x) significa que x ´e um conjunto, e se comporta como os conjuntos de ZFU. Os objetos cl´assicos da teoria s˜ao aqueles satisfa- zendo seja M seja Z. N´os nos referimos a eles, seguindo Zermelo, como as Dinge:3
Defini¸c˜ao 3.3 (Dinge). D(x) =def Z(x) ∨ M (x) (As Dinge s˜ao os
objetos ‘cl´assicos’.)
2Esta discuss˜ao em particular ´e apresentada em (KRAUSE, 2005).
3Na formula¸c˜ao original de Zermelo de 1908, ele fez referˆencia a um dom´ınio com-
preendendo tanto ´atomos quanto conjuntos; estes foram chamados Dinge, ‘coisas’ em alem˜ao, objetos do dom´ınio.
Axioma 3.5. ∀Dx∀y(x ≡ y → x = y) (Dinge indiscern´ıveis s˜ao
idˆenticas.)
Ao escrevermos este axioma n´os empregamos quantificadores res- tritos, isto ´e, dada alguma f´ormula α, quando desejamos restringir o escopo do quantificador universal aos itens obedecendo α, escrevemos ∀αγ. Esta f´ormula abrevia ∀x(α(x) → γ), e o mesmo vale para o
quantificador existencial, isto ´e, a restri¸c˜ao deste quantificador para itens satisfazendo α ´e escrita ∃αxγ, que abrevia ∃x(α(x) ∧ γ). Daqui
por diante, iremos sempre empregar os quantificadores restritos quando conveniente. Outro ponto a ser mencionado ´e que se x ´e uma Dinge e y ≡ x, ent˜ao y ´e tamb´em uma Dinge (isto ´e, qualquer coisa indis- tingu´ıvel de uma Dinge ´e ela tamb´em uma Dinge). Portanto, identi- dade e indistinguibilidade s˜ao no¸c˜oes equivalentes para as Dinge. Teorema 3.2. Se D(x) e x = y, ent˜ao x ≡ y.
Prova: Aplica¸c˜ao imediata da regra da substitui¸c˜ao.
Teorema 3.3. Se M (x) e x ≡ y, ent˜ao M (y). Se Z(x) e x ≡ y, ent˜ao Z(y).
Prova: Se M (x) ent˜ao D(x). J´a que tamb´em temos x ≡ y, pelo nosso ´
ultimo axioma 3.5 temos que x = y. Ent˜ao, por substitui¸c˜ao, obtemos que M (y). Uma prova an´aloga vale para o caso de Z.
Estes resultados, juntamente com a propriedade de simetria da rela¸c˜ao ≡ nos garantem que M e Z s˜ao compat´ıveis com a indistin- guibilidade. Agora garantiremos que este resultado vale para Q e para m (mas, conforme observamos, nada do mesmo tipo pode ser provado para ∈).
Axioma 3.6. ∀x∀y(m(x) ∧ x ≡ y → m(y)).
Agora, vamos mostrar que Q ´e compat´ıvel com a indistinguibili- dade.
Teorema 3.4. Se Q(x) e x ≡ y, ent˜ao Q(y).
Prova: Suponha que n˜ao ´e o caso que Q(y). Ent˜ao, pela defini¸c˜ao de q-sets, ou m(y) ou M (y). Se m(y), j´a que x ≡ y vale por hip´otese, temos pelo ´ultimo axioma 3.6 que m(x), contradizendo a hip´otese de que Q(x). Se M (y), por x ≡ y e pela compatibilidade da indistinguibilidade com M temos que M (x), mais uma vez contradizendo o fato de que Q(x). Ent˜ao, Q(y).
Com estes resultados garantimos que a rela¸c˜ao de indistingui- bilidade ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia mas n˜ao necessariamente uma
congruˆencia, dado que n˜ao precisa ser compat´ıvel com a pertinˆencia. Esta ideia est´a de acordo com a proposta intuitiva apresentada anteri- ormente, segundo a qual objetos indistingu´ıveis possuem todas as suas propriedades em comum. Mas, no caso de m-´atomos deve ser notado que, apesar de serem indistingu´ıveis, eles n˜ao precisam ser membros dos mesmos q-sets. Isto evita que as rea¸c˜oes de identidade e indistin- guibilidade colapsem na mesma rela¸c˜ao.
Al´em de cole¸c˜oes compreendendo m-´atomos, na nossa teoria que- remos tamb´em construir cole¸c˜oes ‘cl´assicas’, isto ´e, q-sets ao estilo ZFU, contendo apenas M-´atomos e itens obtidos a partir do q-set vazio com as opera¸c˜oes conjuntistas usuais, mas sem envolver m-´atomos em ne- nhum dos passos da constru¸c˜ao. Os q-sets obtidos deste modo ser˜ao aqueles que satisfar˜ao o predicado Z, e ser˜ao chamados simplesmente de conjuntos. Vamos postular aqui que os objetos satisfazendo Z tem como elementos seja M-´atomos seja outros conjuntos. Intuitivamente falando, com este passo n´os garantimos que os elementos de um Z s˜ao todos eles objetos cl´assicos apenas. N´os tamb´em postulamos que todo item satisfazendo Z ´e um q-set (mas a conversa n˜ao ´e v´alida quando m-´atomos s˜ao permitidos).
Axioma 3.7. ∀x(Z(x) → Q(x)) (Conjuntos s˜ao q-sets.) Axioma 3.8. ∀Qx∀y((y ∈ x → D(y)) ↔ Z(x))
Este axioma nos diz que se n´os olharmos para os elementos de um quase-conjunto e encontramos apenas coisas ‘cl´assicas’ (o que im- plica que os elementos desses elementos devem ser eles tamb´em Dinge, e assim por diante), ent˜ao o quase-conjunto ´e um conjunto. A con- versa, claramente, ´e um resultado desej´avel, ent˜ao, ´e tamb´em postu- lado. Quando restringimos a teoria a conjuntos, digamos que ao acres- centar um postulado enunciando que nenhuma entidade ´e um m-´atomo, obtemos precisamente ZFU, como veremos.