Dentre os postulados da ´ultima se¸c˜ao, nenhum enunciava a existˆencia de qualquer q-set espec´ıfico, mas apenas tornaram mais claras a estru- tura de nossas concep¸c˜oes acerca de ´atomos e q-sets. Agora, come¸caremos a tornar mais claro que tipo de cole¸c˜oes existem. Seguindo nossas mo- tiva¸c˜oes, estes postulados ser˜ao similares aos postulados de ZFU, ga- rantindo que algum q-set espec´ıfico existe para que possamos em geral introduzir alguma opera¸c˜ao espec´ıfica. Obviamente, poder´ıamos se-
guir uma linha diferente e fundamentar a teoria de quase-conjuntos em axiomas como aqueles propostos para outros tipos de teorias de con- juntos, tais como Kelley-Morse, von Neumann-Bernays-G¨odel, ou at´e mesmo teorias mais estranhas, tais como NF de Quine-Rosser ou ML de Quine-Wang, mas n˜ao seguiremos estas possibilidades aqui (de fato, poder´ıamos tamb´em fundamentar Q em alguma l´ogica n˜ao-cl´assica; talvez fosse interessante associ´a-la com alguma l´ogica paraconsistente, tal como a l´ogica paracl´assica, de modo que a pr´opria no¸c˜ao de com- plementaridade poderia ser tratada – para um estudo sobre l´ogicas paraconsistentes e uma interpreta¸c˜ao desta no¸c˜ao seguindo estas li- nhas, ver, respectivamente (COSTA; KRAUSE; BUENO, 2006), (COSTA; KRAUSE, 2006)).
Come¸camos com a existˆencia de um q-set vazio: Axioma 3.9 (Q-set vazio). ∃Qy∀x¬(x ∈ y)
Ent˜ao podemos provar:
Teorema 3.5. O q-set vazio ´e de fato um conjunto, e ´e ´unico. Prova: Pelo axioma 3.9 apresentado anteriormente, existe um q-set x tal que ∀y¬(y ∈ x). Mas o axioma 3.8 implica que em particular (y ∈ x → D(y)) → Z(x). Pela l´ogica subjacente, temos que ¬(y ∈ x) → (y ∈ x → Z(x)), e ent˜ao, por Modus Ponens, obtemos Z(x). Para provar a unicidade, suponha que temos x e z tais que para qualquer y, ¬(y ∈ x) e ¬(y ∈ z). Pela l´ogica subjacente sabemos que ¬(y ∈ x) → (y ∈ x → y ∈ z) e ¬(y ∈ z) → (y ∈ z → y ∈ x), e ent˜ao, usando Modus Ponens duas vezes e a l´ogica proposicional, obtemos (y ∈ x ↔ y ∈ z). J´a que por hip´otese Q(x) e Q(z), ent˜ao temos que Q(x) ∧ Q(z) ∧ ∀y(∈ x ↔ y ∈ z) e podemos obter a f´ormula que nos d´a x = z.
Ent˜ao, com a unicidade garantida podemos introduzir a cons- tante ∅ sem nenhuma ambiguidade em nossa linguagem. O esquema da separa¸c˜ao tamb´em ´e um postulado da teoria de quase-conjuntos. Dada qualquer f´ormula α na qual a vari´avel x ´e livre e y n˜ao aparece livre em α, qualquer instˆancia do seguinte esquema ´e um axioma:
Axioma 3.10 (Esquema da Separa¸c˜ao). ∀Qz∃Qy∀x(x ∈ y ↔ x ∈
z ∧ α(x))
O q-set y cuja existˆencia ´e garantida por este axioma ´e denotado por [x : x ∈ z∧α(x)], e quando y ´e um conjunto (isto ´e, algo satisfazendo o predicado Z), n´os podemos denot´a-lo pela nota¸c˜ao usual {x : x ∈ z ∧ α(x)}. O pr´oximo axioma ´e o axioma da uni˜ao:
Axioma 3.11 (Uni˜ao). ∀Qx∃Qy∀z(z ∈ y ↔ ∃Qw(w ∈ x ∧ z ∈ w))
Este q-set ser´a denotado porS x, e outras nota¸c˜oes padr˜ao para ele (tais como u ∪ v) ser˜ao usadas quando conveniente. Agora, pos- tularemos o axioma do conjunto potˆencia. Para introduzi-lo, primeiro definimos a rela¸c˜ao ‘estar contido em’, tamb´em chamada de ‘subqset’. Defini¸c˜ao 3.4 (Subqset). x ⊆ y =def∀z(z ∈ x → z ∈ y)
Axioma 3.12 (Q-set potˆencia). ∀Qx∃Qy∀z(z ∈ y ↔ z ⊆ x)
Denotamos este q-set pelo seu s´ımbolo usual P(x). Nosso pr´oximo passo ´e garantir que para quaisquer objetos x e y existe sempre um q-set tal que ambos x e y s˜ao elementos deste q-set. Este ´e um enunci- ado an´alogo de algumas vers˜oes do axioma do par utilizado nas apre- senta¸c˜oes usuais da teoria de conjuntos, apesar de n˜ao ser a mais comum (que faz uso da rela¸c˜ao de identidade, ver coment´ario abaixo):
Axioma 3.13 (Axioma do par). ∀x∀y∃Qz(x ∈ z ∧ y ∈ z)
Generalizando o procedimento utilizado nas teorias de conjun- tos cl´assicas, podemos aplicar o axioma da separa¸c˜ao ao q-set cuja existˆencia foi postulada pelo axioma do par tomando no lugar de α a seguinte condi¸c˜ao: α(w) := w ≡ x ∧ w ≡ y. Se ambos x e y s˜ao Dinge, a indistinguibilidade se transforma na identidade (pelo axioma 3.5), e ent˜ao n´os obtemos em Q o par usual, denotado por {x, y}. Se um den- tre x e y ou ambos, n˜ao s˜ao cl´assicos (isto ´e, s˜ao m-´atomos), o q-set obtido pelo axioma acima ´e denotado por [x, y]z, o qual n´os chamamos
de par n˜ao-ordenado fraco de x e y relativamente a z. Esta aborda- gem particular aos pares indica que na teoria de quase-conjuntos pares n˜ao-ordenados s˜ao relativos a algum q-set cuja existˆencia ´e garantida previamente; em geral, n˜ao h´a par tout court ; tais pares existem apenas para itens cl´assicos. Na maioria dos casos, quando fica claro pelo con- texto qual ´e o q-set z a partir do qual o par ´e obtido, o ´ındice pode ser omitido da nota¸c˜ao. Uma caracter´ıstica peculiar dos pares ´e que para itens n˜ao-cl´assicos, em particular para m-´atomos indistingu´ıveis, n˜ao podemos garantir que o par [x, y]z ter´a apenas dois elementos (isto ´e,
que o seu quase-cardinal ´e dois), pois este ´e o q-set cujos elementos s˜ao todos os indistingu´ıveis de x e de y pertencendo a z, e pode haver mais do que dois deles. Obviamente, estamos considerando esta discuss˜ao acerca da quantidade de elementos apenas como uma elucida¸c˜ao infor- mal, pois ainda n˜ao introduzimos a no¸c˜ao de quantidade de elementos de um q-set.
Ainda, devemos notar que esta abordagem aos pares que apre- sentamos no par´agrafo anterior reflete uma maneira particular de tratar com um problema que aparece se n´os segu´ıssemos o modo mais simples de postular a existˆencia de pares, isto ´e, se n´os aceit´assemos como um axioma a f´ormula
∀x∀y∃z∀w(w ∈ z ↔ w ≡ x ∨ w ≡ y).
Neste caso, suponha por exemplo que m(x) e que y ≡ x. Ent˜ao o axi- oma apresentado nos garantiria a existˆencia de um q-set contendo como elementos todos os indistingu´ıveis de x, isto ´e, n´os formar´ıamos um q-set contendo tudo o que ´e indistingu´ıvel de x. Agora, podemos razoavel- mente ter d´uvidas sobre o status de tal q-set, ou mesmo sua utilidade na teoria, ent˜ao, ´e melhor introduzir as cole¸c˜oes pelo m´etodo empre- gado aqui, que nos permite permanecer silenciosos sobre as cole¸c˜oes de todos objetos de algum tipo.
Com estes postulados, podemos introduzir as opera¸c˜oes usuais de uni˜ao, par, potˆencia, interse¸c˜ao e diferen¸ca de q-sets e provar suas propriedades usuais. J´a que este procedimento ´e bastante similar ao caso cl´assico, n´os n˜ao entraremos nestes detalhes aqui.
A no¸c˜ao de par ordenado fraco pode ser definida da maneira usual, a partir dos pares n˜ao-ordenados fracos. Como ocorre com o caso n˜ao-ordenado, ele ´e sempre relativo `a algum q-set z dado previamente. Defini¸c˜ao 3.5 (Pares ordenados fracos). hx, yiz=def [[x]z, [x, y]z]P(P(z))
A propriedade fundamental dos pares ordenados, hx, yi = hw, zi ↔ x = w ∧ y = z, n˜ao pode nem mesmo ser formulada em nossa teoria, pois pode ocorrer que alguns dos itens n˜ao sejam cl´assicos, e ent˜ao a identidade n˜ao est´a definida para eles. Posteriormente, provaremos que hx, yi ≡ hw, zi ↔ x ≡ w ∧ y ≡ z vale.
Agora, podemos introduzir o produto cartesiano de dois q-sets. Mais uma vez, devemos lembrar que tratamos apenas com pares orde- nados relativamente a algum q-set dado. Ent˜ao, temos:
Defini¸c˜ao 3.6 (Produto Cartesiano). u × v =def[hx, yiu∪v ∈ P(P(u ∪
v)) : x ∈ u ∧ y ∈ v]
Vamos esbo¸car agora brevemente como rela¸c˜oes e fun¸c˜oes po- dem ser definidos em nossa teoria; de fato, estas no¸c˜oes nem sempre coincidem com as suas contrapartes cl´assicas, como era de se esperar, por isso as chamamos de quase-rela¸c˜oes e quase-fun¸c˜oes, que chama- remos abreviadamente de q-rela¸c˜oes e q-fun¸c˜oes, dado que generalizam as defini¸c˜oes usuais. Come¸camos com quase-rela¸c˜oes:
Defini¸c˜ao 3.7 (Quase-rela¸c˜ao). Um q-set R ´e uma rela¸c˜ao bin´aria entre os q-sets z e w se seus elementos s˜ao pares ordenados fracos da forma hx, yiz∪w, com x ∈ z e y ∈ w.
´
E simples de prosseguir a partir deste ponto e definir quase- rela¸c˜oes n-´arias, quase-rela¸c˜oes de equivalˆencia, entre outros conceitos da teoria de rela¸c˜oes usual. Devemos tomar cuidado, todavia, quando tratamos das rela¸c˜oes de ordem em Q. Neste caso, quando m-´atomos est˜ao envolvidos, simplesmente n˜ao podemos definir uma rela¸c˜ao de ordem sobre um q-set. Intuitivamente falando, podemos ver que muitos conceitos da teoria das rela¸c˜oes n˜ao podem nem mesmo ser expressos adequadamente para q-sets contendo m-´atomos, como por exemplo, a no¸c˜ao de um menor elemento de um dado q-set de acordo com alguma rela¸c˜ao de ordem, ou at´e mesmo a condi¸c˜ao de anti-simetria para uma rela¸c˜ao.
Para q-fun¸c˜oes, n˜ao h´a nenhuma adapta¸c˜ao imediata da defini¸c˜ao usual para a teoria de quase-conjuntos. De fato, a defini¸c˜ao cl´assica enuncia que uma fun¸c˜ao ´e uma esp´ecie de rela¸c˜ao un´ıvoca, isto ´e, que relaciona cada objeto do dom´ınio com apenas um objeto do contra- dom´ınio, e para isto, a identidade ´e necess´aria. Ent˜ao, devemos empre- gar uma estrat´egia diferente:
Defini¸c˜ao 3.8 (Quase-fun¸c˜oes). Dizemos que f ´e uma quase-fun¸c˜ao entre os q-sets u e v se e somente se f ´e uma quase-rela¸c˜ao entre u e v tal que para todo x ∈ u existe um y ∈ v tal que se hx, yi ∈ f e hw, zi ∈ f e x ≡ w, ent˜ao y ≡ z.
Em palavras, uma quase-fun¸c˜ao mapeia elementos indistingu´ıveis em elementos indistingu´ıveis. Uma quest˜ao interessante concerne os ti- pos mais espec´ıficos de fun¸c˜ao, isto ´e, fun¸c˜oes injetivas, sobrejetivas e bije¸c˜oes. Podemos, com algumas restri¸c˜oes, definir os conceitos corres- pondentes, mas n˜ao faremos isto aqui (ver as defini¸c˜oes em French e Krause (FRENCH; KRAUSE, 2006, cap.7)).
Agora, tamb´em postulamos axiomas do infinito e da regulari- dade:
Axioma 3.14 (Infinito). ∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → y ∪ [y]x∈ x))
Axioma 3.15 (Regularidade). ∀Qx(x 6= ∅ → ∃y∀z(z ∈ x → ¬(z ∈ y)))
Poder´ıamos tamb´em introduzir oficialmente uma vers˜ao do axi- oma esquema da substitui¸c˜ao: seja A(x, y) uma f´ormula com x e y vari´aveis livres. Dizemos que esta f´ormula exprime uma condi¸c˜ao y- funcional em um q-set t se ∀w(w ∈ t → ∃sA(w, s) ∧ ∀w∀u(w ∈ t ∧ u ∈
t → ∀s∀s0(A(w, s) ∧ A(u, s0) ∧ w ≡ u → s ≡ s0))). Abreviamos esta f´ormula por ∀x∃!yA(x, y). Agora, o axioma da substitui¸c˜ao nos garante que
∀x∃!yA(x, y) → ∀Qu∃Qv(∀z(z ∈ v → ∃w(w ∈ u ∧ A(w, z)))).