Sous-estimation des erreurs formelles

Connaissant désormais les paramètres d’intérêts à estimer, il est primordial de s’inté-resser ensuite aux erreurs formelles associées. En effet, rappelons que l’objectif est d’être en mesure de poser des contraintes réalistes sur ces coefficients d’intérêts. Pour ce faire, il est au préalable nécessaire de localiser et de mettre en évidence les erreurs statistiques et systématiques éventuellement négligées dans la modélisation. Nous avons ainsi réalisé différents tests permettant d’observer les sensibilités des erreurs formelles des paramètres d’intérêts, à la période d’ajustement, au nombre de paramètres globaux ajustés, et aux jeux de données sélectionnés.

Sensibilité à la période d’ajustement

Nous avons représenté en Fig. 4.2 l’évolution des estimations et des erreurs formelles associées aux coefficients SME en fonction du nombre de données considéré pour l’ajus-tement. Ainsi, nous avons tout d’abord ajusté les paramètres d’intérêts en ne considérant que les 15 premières années d’observations du LLR. L’idée est ensuite de recommencer les ajustements en ajoutant successivement cinq années de données supplémentaires afin d’observer l’évolution des erreurs formelles de chacun des coefficients.

De la Fig. 4.2, on constate premièrement que les erreurs formelles diminuent avec l’ac-cumulation de données ce qui est en accord avec la loi de propagation des erreurs en N^−1/2 avec N le nombre de données. Deuxièmement, on remarque que pour chaque coefficient SME il n’existe pas de zone de recouvrement commune aux erreurs formelles déterminées pour des plages d’ajustement différentes. Ainsi, pour quasiment tous les coefficients SME (à l’exception de ¯s^C), l’intervalle de l’erreur formelle calculée à partir des données de 1969 à 1985, ne recouvre pas l’intervalle de l’erreur formelle calculée à partir des données de 1969 à 2015. Or les coefficients SME sont des quantités universelles indépendantes de la plage temporelle sélectionnée pour l’ajustement aux données. Par conséquent, ce dernier point montre que les erreurs formelles telles qu’elles sont calculées par la méthode des moindres carrés sont sous-estimées.

¯ s^TX [10⁻⁷] ¯ s^XY_t [10⁻¹¹] ¯ s^XZ_t [10⁻¹¹] ¯ s^A [10⁻¹⁰] ¯ s^C [10⁻⁸] ¯ s^D [10⁻¹⁰]

UTC [année] UTC [année]

Figure 4.2 – Graphique représentant l’évolution des erreurs formelles (tracée en bleu) en fonc-tion du nombre de données considérées pour l’ajustement. L’axe des abscisses donne la période d’ajustement (depuis 1969). Les barres d’erreurs sont données pour un intervalle de confiance à 68%. Les courbes tracées en rouge représentent les valeurs théoriques des coefficients SME dans le cadre de la relativité générale.

Sensibilité aux nombres de paramètres ajustés

En Fig. 4.3 est représentée l’évolution des erreurs formelles des paramètres d’intérêts en fonction du nombre de paramètres ajustés. Nous avons tout d’abord ajusté les seuls coefficients SME sans aucun autre paramètre. Puis, un à un, 46 paramètres ont été ajoutés, en plus des paramètres d’intérêts en opérant systématiquement un ajustement.

De la Fig 4.3, on remarque tout d’abord l’augmentation des erreurs formelles avec l’accroissement du nombre de paramètres ajustés. Ceci est tout à fait prévisible dans la mesure où des corrélations entre paramètres d’intérêts et paramètres globaux sont intro-duites. Deuxièmement, on constate qu’il n’existe pas de zone de recouvrement entre les erreurs formelles d’un même coefficient SME. Par exemple, l’intervalle de l’erreur formelle déterminé en ajustant que les coefficients SME (Nb. paramètres nul de la Fig 4.3) ne possède pas de zone commune avec l’intervalle de l’erreur formelle déterminé en ajustant tous les paramètres (46 paramètres) en plus des coefficients SME. Or comme mentionné précédemment, les coefficients SME sont des quantités universelles qui doivent être in-dépendantes du nombre de paramètres sélectionnés pour l’ajustement aux données. Par conséquent, ce dernier point vient confirmer le constat du paragraphe précédent, à sa-voir que les erreurs formelles telles qu’elles sont calculées par la méthode des moindres carrés sont sous-estimées par la présence de biais observationnels ou instrumentaux non modélisés dans le traitement statistique des données.

4.4. Détermination d’erreurs réalistes ¹¹⁷ ¯ s^TX [10⁻⁹] ¯ s^XY_t [10⁻¹²] ¯ s^XZ_t [10⁻¹²] ¯ s^A [10⁻¹¹] ¯ s^C [10⁻⁹] ¯ s^D [10⁻¹¹] Nb. paramètres Nb. paramètres

Figure 4.3 –Graphique représentant l’évolution des erreurs formelles (tracée en bleu) en fonction du nombre de paramètres ajustés. L’axe des abscisses précise le nombre de paramètres ajustés en plus des coefficients SME. Les barres d’erreurs sont données pour un intervalle de confiance à 68%. Les courbes tracées en rouge représentent les valeurs théoriques des coefficients SME dans le cadre de la relativité générale.

Sensibilité aux couples stations-instruments

Afin d’évaluer la sensibilité des erreurs formelles aux données des stations LLR, nous avons réalisé des sous-ensembles de données (numérotés de 1 à 16 en Tab. 4.5). Chaque sous-ensemble est construit en supprimant toutes les observations acquises par un couple station-instrument sur une période donnée. À titre illustratif, le sous-ensemble n^◦11 (cf. Tab. 4.5) comprend toutes les données LLR excepté 3479 d’entre elles acquises entre les années 1995 et 2001 par l’instrument Yag de la station Grasse. Nous avons ainsi déterminé les erreurs formelles des coefficients SME à partir de ces 16 sous-ensembles de données. Les résultats sont reportés en Fig. 4.4.

On constate que la suppression de certains jeux de données peut fortement influencer la détermination des paramètres SME. Ainsi, la suppression des données de Grasse entre 1987 et 1991 (indice n^◦9) change légèrement l’estimation de ¯s^TX. De la même manière, la suppression des données de Grasse entre 2001 et 2006 (indice n^◦12) change les estimations de ¯s^XY_t et ¯s^A. Dès lors, on conclut e.g. que la détermination de ¯s^XY_t est totalement dominée par les données de Grasse entre 2001 et 2006 puisque la suppression des autres jeux de données a un effet très limité sur la détermination finale. On notera de même, que la détermination finale de ¯s^C est fortement influencée par les données de Grasse entre 1995 à 2001 (indice n^◦11).

Un autre point important qui est étroitement lié à la domination de certains couples stations-instruments dans la détermination des paramètres, concerne le non-recouvrement entre erreurs formelles. Comme nous l’avons déjà mentionné, les coefficients SME sont des

Indice (l) N{l} Station Instrument Période 0 - - - -1 1590 McDonald 2.7m 1969-1975 2 1739 McDonald 2.7m 1975-1983 3 187 McDonald 2.7m 1983-1987 4 573 McDonald MLRS1 1983-1989 5 469 McDonald MLRS2 1988-1994 6 2048 McDonald MLRS2 1994-2000 7 767 McDonald MLRS2 2000-2015 8 1182 Grasse Rubis 1984-1987 9 1494 Grasse Yag 1987-1991 10 1942 Grasse Yag 1991-1995 11 3479 Grasse Yag 1995-2001 12 1398 Grasse Yag 2001-2006 13 1661 Grasse MeO 2009-2015 14 757 Haleakala - 1984-1991 15 2378 Apache-point - 2006-2015 16 107 Matera - 2003-2015

Table 4.5 – Table de définitions des ensembles de données. Chaque indice désigne un sous-ensemble comprenant toutes les données LLR excepté celles acquises par la station associée à l’indice pendant la période correspondante. Le nombre de données ainsi concernées est noté N_{l}. Le sous-ensemble n^◦0 contient toutes les données LLR disponibles. Les indices sont utilisés en Fig. 4.4 pour désigner les sous-ensembles de données.

¯ s^TX [10⁻⁹] ¯ s^XY_t [10⁻¹²] ¯ sXZ t [10⁻¹²] ¯ s^A [10⁻¹²] ¯ s^C [10⁻⁹] ¯ s^D [10⁻¹¹] Indice Indice

Figure 4.4 – Graphique représentant l’évolution des erreurs formelles (tracée en bleu) en fonc-tion des sous-ensembles de données LLR. L’axe des abscisses précise le sous-ensemble utilisé pour réaliser l’ajustement et reprend la nomenclature introduite en Tab. 4.5. Les barres d’erreurs sont données pour un intervalle de confiance à 68%. Les courbes tracées en rouge représentent les valeurs théoriques des coefficients SME dans le cadre de la relativité générale.

4.4. Détermination d’erreurs réalistes ¹¹⁹

quantités universelles, par conséquent, les différentes déterminations effectuées à partir des sous-ensembles de données devraient présenter une région commune à toutes les erreurs formelles. De la Fig. 4.4, il apparaît très clairement que ce n’est le cas pour aucun des paramètres SME. Ce dernier point est un fort indicateur quant à la présence d’erreurs systématiques non-modélisées qui seraient introduites via les différents couples de stations-instruments utilisés.

Sensibilité aux réflecteurs

De manière identique à ce que nous venons de faire avec les stations LLR, on s’intéresse ici aux sensibilités des erreurs formelles des coefficients SME aux réflecteurs lunaires. Pour ce faire, nous avons généré des sous-ensembles de données en supprimant toutes les observations dont les tirs ont été réfléchis par un des cinq réflecteurs. À partir de ces cinq sous-ensembles de données nous avons pu déterminer l’évolution des erreurs formelles. Les résultats sont présentés en Fig. 4.5.

Tout d’abord, notons l’augmentation des amplitudes des erreurs formelles avec la sup-pression de données. L’illustration est donnée quelque soit le coefficient concerné par la suppression des données du réflecteur Apollo XV regroupant ∼ 74% du nombre total de données considérées.

On constate également que les estimations des coefficients SME peuvent être différentes en fonction du jeu de données supprimé. Ainsi, la suppression des observations dont les tirs ont été réfléchis par Apollo XI influence légèrement la détermination de ¯s^XZ_t et ¯s^A. De même, lorsque les observations dont les tirs ont été réfléchis par Apollo XV sont supprimées, les estimations de tous les coefficients changent, excepté celles de ¯s^C. Ainsi, la détermination de tous les coefficients, mis à part ¯s^C, est largement dominée par les observations utilisant Apollo XV. Par conséquent, de part l’universalité des coefficients SME, nous sommes une fois de plus en présence d’une forte indication de la présence d’erreurs systématiques non-modélisées et principalement liées au réflecteur Apollo XV.