Sous-espace vectoriel (fin)

et

−4p 2 4t 2p 2

‹

soient colinéaires ? 2. Peut-on trouver t∈Rtel que le vecteur€₁

3tt

Šsoit une combinaison linéaire de€₁

32

Šet€₋₁

−11

Š?

5. Sous-espace vectoriel (fin)

5.1. Somme de deux sous-espaces vectoriels

Comme la réunion de deux sous-espaces vectoriels F etGn’est pas en général un sous-espace vectoriel, il est utile de connaître les sous-espaces vectoriels qui contiennent à la fois les deux sous-espaces vectorielsF etG, et en particulier le plus petit d’entre eux (au sens de l’inclusion).

Définition 4(Définition de la somme de deux sous-espaces).

SoientF etG deux sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectorielE. L’ensemble de tous les éléments u+v, oùuest un élément deF etvun élément deG, est appelésommedes sous-espaces vectorielsFet G. Cette somme est notéeF+G. On a donc

F+G=

u+v|u∈F,v∈G .

F G

F+G

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ESPACES VECTORIELS 5. SOUS-ESPACE VECTORIEL(FIN) 151

Proposition 4.

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels duK-espace vectoriel E.

1. F+G est un sous-espace vectoriel de E.

2. F+G est le plus petit sous-espace vectoriel contenant à la fois F et G.

Démonstration.

1. Montrons queF+Gest un sous-espace vectoriel.

• 0E∈F, 0_E ∈G, donc 0_E=0_E+0_E∈F+G.

• Soientwetw⁰des éléments deF+G. Commewest dansF+G, il existeudansF etvdansG tels quew=u+v. Commew⁰est dansF+G, il existeu⁰dans F etv⁰dans Gtels quew⁰=u⁰+v⁰. Alors w+w⁰= (u+v) + (u⁰+v⁰) = (u+u⁰) + (v+v⁰)∈F+G, caru+u⁰∈F etv+v⁰∈G.

• Soit w un élément de F +G et λ ∈K. Il existe udans F et v dans G tels que w =u+v. Alors λw=λ(u+v) = (λu) + (λv)∈F+G, carλu∈F etλv∈G.

2. • L’ensemble F+G contient F et contientG : en effet tout élémentude F s’écritu=u+0 avecu appartenant àF et 0 appartenant àG(puisqueG est un sous-espace vectoriel), doncuappartient à F+G. De même pour un élément deG.

• SiH est un sous-espace vectoriel contenantF etG, alors montrons queF+G⊂H. C’est clair : si u∈ F alors en particulieru∈H (car F ⊂ H), de même si v ∈G alors v ∈ H. Comme H est un sous-espace vectoriel, alorsu+v∈H.

Exemple 15.

DéterminonsF+G dans le cas oùF etG sont les sous-espaces vectoriels deR³ suivants : F=

(x,y,z)∈R³| y=z=0 et G=

(x,y,z)∈R³|x =z=0 .

F+G

x

y z

G

F 0

Un élémentwde F+G s’écritw=u+voùuest un élément de F et v un élément deG. Commeu∈F alors il existe x ∈ R tel queu = (x, 0, 0), et comme v ∈G il existe y ∈ R tel que v = (0,y, 0). Donc w= (x,y, 0). Réciproquement, un tel élémentw= (x,y, 0)est la somme de(x, 0, 0)et de(0,y, 0). Donc F+G =

(x,y,z)∈R³ |z=0 . On voit même que, pour cet exemple, tout élément de F+G s’écrit de façonuniquecomme la somme d’un élément deF et d’un élément deG.

Exemple 16.

Soient F etG les deux sous-espaces vectoriels deR³suivants : F=

(x,y,z)∈R³|x =0 et G=

(x,y,z)∈R³| y=0 .

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ESPACES VECTORIELS 5. SOUS-ESPACE VECTORIEL(FIN) 152

x

y z

F G

0

Dans cet exemple, montrons queF+G=R³. Par définition deF+G, tout élément deF+Gest dansR³. Mais réciproquement, siw= (x,y,z)est un élément quelconque deR³:w= (x,y,z) = (0,y,z) + (x, 0, 0), avec(0,y,z)∈F et(x, 0, 0)∈G, doncwappartient àF+G.

Remarquons que, dans cet exemple, un élément deR³ ne s’écrit pas forcément de façon unique comme la somme d’un élément deFet d’un élément deG. Par exemple(1, 2, 3) = (0, 2, 3)+(1, 0, 0) = (0, 2, 0)+(1, 0, 3).

5.2. Sous-espaces vectoriels supplémentaires

Définition 5(Définition de la somme directe de deux sous-espaces).

Soient F etG deux sous-espaces vectoriels deE. F etGsont ensomme directedansEsi

• F∩G={0_E},

• F+G=E.

On note alorsF⊕G=E.

SiF etG sont en somme directe, on dit queF etG sont des sous-espaces vectorielssupplémentairesdans E.

Proposition 5.

F et G sont supplémentaires dans E si et seulement si tout élément de E s’écrit d’une manièreuniquecomme la somme d’un élément de F et d’un élément de G.

Remarque.

• Dire qu’un élémentwdeEs’écrit d’une manière unique comme la somme d’un élément de F et d’un élément deG signifie que siw=u+vavecu∈F, v∈G etw=u⁰+v⁰avecu⁰∈F, v⁰∈Galorsu=u⁰ etv=v⁰.

• On dit aussi queF est un sous-espace supplémentaire deG (ou queGest un sous-espace supplémentaire deF).

• Il n’y a pas unicité du supplémentaire d’un sous-espace vectoriel donné (voir un exemple ci-dessous).

• L’existence d’un supplémentaire d’un sous-espace vectoriel sera prouvée dans le cadre des espaces vectoriels de dimension finie.

Démonstration.

• Supposons E=F⊕Get montrons que tout élémentu∈Ese décompose de manière unique. Soient donc u=v+wetu=v⁰+w⁰avecv,v⁰∈Fetw,w⁰∈G. On a alorsv+w=v⁰+w⁰, doncv−v⁰=w⁰−w. Comme F est un sous-espace vectoriel alorsv−v⁰∈F, mais d’autre partG est aussi un sous-espace vectoriel doncw⁰−w∈G. Conclusion :v−v⁰=w⁰−w∈F∩G. Mais par définition d’espaces supplémentaires F∩G ={0_E}, donc v−v⁰=0_E et aussiw⁰−w=0_E. On en déduit v =v⁰ etw=w⁰, ce qu’il fallait démontrer.

• Supposons que toutu∈Ese décompose de manière unique et montronsE=F⊕G.

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ESPACES VECTORIELS 5. SOUS-ESPACE VECTORIEL(FIN) 153

— MontronsF∩G={0_E}. Siu∈F∩G, il peut s’écrire des deux manières suivantes comme somme d’un élément deF et d’un élément deG:

u=0_E+u et u=u+0_E. Par l’unicité de la décomposition,u=0_E.

— MontronsF+G=E. Il n’y rien à prouver, car par hypothèse tout élémentuse décompose enu=v+w, avecv∈F etw∈G.

Exemple 17.

1. SoientF=

(x, 0)∈R²|x ∈R etG=

(0,y)∈R²| y ∈R .

Montrons queF⊕G=R². La première façon de le voir est que l’on a clairementF∩G={(0, 0)}et que, comme(x,y) = (x, 0) + (0,y), alorsF+G=R². Une autre façon de le voir est d’utiliser la proposition 5, car la décomposition(x,y) = (x, 0) + (0,y)est unique.

x y

F G

0

G⁰

2. GardonsF et notonsG⁰=

(x,x)∈R²|x ∈R . Montrons que l’on a aussiF⊕G⁰=R²:

(a) Montrons F ∩G⁰ ={(0, 0)}. Si (x,y) ∈ F∩G⁰ alors d’une part(x,y) ∈ F donc y =0, et aussi (x,y)∈G⁰donc x= y. Ainsi(x,y) = (0, 0).

(b) MontronsF+G⁰=R². Soitu= (x,y)∈R². Cherchonsv∈F etw∈G⁰tels queu=v+w. Comme v= (x₁,y₁)∈F alors y₁=0, et commew= (x₂,y₂)∈G⁰alorsx₂= y₂. Il s’agit donc de trouver x₁ etx₂tels que

(x,y) = (x1, 0) + (x2,x₂).

Donc(x,y) = (x₁+x₂,x₂). Ainsi x =x₁+x₂et y =x₂, d’où x₁=x−y et x₂= y. On trouve bien (x,y) = (x− y, 0) + (y,y),

qui prouve que tout élément deR² est somme d’un élément deF et d’un élément deG⁰.

3. De façon plus générale, deux droites distinctes du plan passant par l’origine forment des sous-espaces supplémentaires.

Exemple 18.

Est-ce que les sous-espaces vectorielsF etGdeR³définis par F=

(x,y,z)∈R³|x− y−z=0 et G=

(x,y,z)∈R³| y=z=0 sont supplémentaires dansR³?

F G

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0

ESPACES VECTORIELS 5. SOUS-ESPACE VECTORIEL(FIN) 154

1. Il est facile de vérifier queF∩G={0}. En effet si l’élémentu= (x,y,z)appartient à l’intersection deF et deG, alors les coordonnées deuvérifient :x− y−z=0 (caruappartient à F), et y =z=0 (caru appartient àG), doncu= (0, 0, 0).

2. Il reste à démontrer queF+G=R³.

Soit doncu= (x,y,z)un élément quelconque deR³; il faut déterminer des éléments vdeF etwde G tels queu=v+w. L’élémentvdoit être de la formev= (y1+z₁,y₁,z₁)et l’élémentwde la forme w= (x₂, 0, 0). On au=v+wsi et seulement si y₁= y,z₁=z, x₂=x− y−z. On a donc

(x,y,z) = (y+z,y,z) + (x−y−z, 0, 0) avec v= (y+z,y,z)dansF etw= (x− y−z, 0, 0)dansG.

Conclusion : F⊕G=R³. Exemple 19.

Dans leR-espace vectorielF(R,R)des fonctions deRdansR, on considère le sous-espace vectoriel des fonctions pairesP et le sous-espace vectoriel des fonctions impairesI. Montrons queP ⊕ I =F(R,R).

1. MontronsP ∩ I ={0_F(R,R)}.

Soit f ∈ P ∩I, c’est-à-dire que f est à la fois une fonction paire et impaire. Il s’agit de montrer que f est la fonction identiquement nulle. Soit x∈R. Comme f(−x) = f(x)(car f est paire) et f(−x) =−f(x) (car f est impaire), alors f(x) =−f(x), ce qui implique f(x) =0. Ceci est vrai quel que soit x ∈R; donc f est la fonction nulle. AinsiP ∩ I ={0_F(R,R)}.

2. MontronsP +I =F(R,R).

Soit f ∈ F(R,R). Il s’agit de montrer quef peut s’écrire comme la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

Analyse.Si f = g+h, avec g∈ P,h∈ I, alors pour tout x, d’une part, (a) f(x) = g(x) +h(x), et d’autre part, (b) f(−x) =g(−x) +h(−x) =g(x)−h(x). Par somme et différence de (a) et (b), on tire que

g(x) = f(x) +f(−x)

2 et h(x) = f(x)− f(−x)

2 .

Synthèse.Pour f ∈ F(R,R), on définit deux fonctions g,hparg(x) = ^f(x)+f₂^(−x) eth(x) = ^f(x)−₂^f(−x). Alors d’une part f(x) =g(x) +h(x)et d’autre partg∈ P (vérifier g(−x) =g(x)) eth∈ I (vérifier h(−x) =−h(x)). Bilan :P +I =F(R,R).

En conclusion,P etI sont en somme directe dans F(R,R):P ⊕ I =F(R,R). Notez que, comme le prouvent nos calculs, les gethobtenus sont uniques.

5.3. Sous-espace engendré

Théorème 4(Théorème de structure de l’ensemble des combinaisons linéaires).

Soit{v₁, . . . ,v_n}un ensemble fini de vecteurs d’unK-espace vectoriel E. Alors :

• L’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs{v₁, . . . ,v_n}est un sous-espace vectoriel de E.

• C’est le plus petit sous-espace vectoriel de E (au sens de l’inclusion) contenant les vecteurs v1, . . . ,v_n. Notation.Ce sous-espace vectoriel est appelésous-espace engendré parv₁, . . . ,v_net est noté Vect(v1, . . . ,v_n). On a donc

u∈Vect(v1, . . . ,v_n) ⇐⇒ il existeλ1, . . . ,λn∈K tels que u=λ1v₁+· · ·+λnv_n

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ESPACES VECTORIELS 5. SOUS-ESPACE VECTORIEL(FIN) 155

Remarque.

• Dire que Vect(v1, . . . ,v_n)est le plus petit sous-espace vectoriel deEcontenant les vecteursv₁, . . . ,v_n signi-fie que siFest un sous-espace vectoriel deEcontenant aussi les vecteursv₁, . . . ,v_nalors Vect(v1, . . . ,v_n)⊂ F.

• Plus généralement, on peut définir le sous-espace vectoriel engendré par une partieV quelconque (non nécessairement finie) d’un espace vectoriel : VectV est le plus petit sous-espace vectoriel contenantV. Exemple 20.

1. Eétant unK-espace vectoriel, etuun élément quelconque deE, l’ensemble Vect(u) ={λu|λ∈K}est le sous-espace vectoriel deEengendré paru. Il est souvent notéKu. Siun’est pas le vecteur nul, on parle d’unedroite vectorielle.

K=Vect(u)

0 u

v u

Vect(u,v) 0

2. Siuetvsont deux vecteurs deE, alors Vect(u,v) =

λu+µv|λ,µ∈K . Siuetvne sont pas colinéaires, alors Vect(u,v)est unplan vectoriel.

3. Soientu=€₁

11

Šetv=€₁

23

Šdeux vecteurs deR³. DéterminonsP =Vect(u,v).

€_x

y z

Š∈Vect(u,v) ⇐⇒ €_x

y z

Š=λu+µv pour certainsλ,µ∈R

⇐⇒ €_x

yz

Š=λ€₁

11

Š+µ€₁

23

Š

⇐⇒







x = λ+µ y = λ+2µ z = λ+3µ

Nous obtenons bien une équation paramétrique du planP passant par l’origine et contenant les vecteurs uetv. On sait en trouver une équation cartésienne :(x−2y+z=0).

Exemple 21.

Soient El’espace vectoriel des applications deRdansRet f₀,f₁,f₂les applications définies par :

∀x∈R f₀(x) =1, f₁(x) =x et f₂(x) =x².

Le sous-espace vectoriel deEengendré par{f₀,f₁,f₂}est l’espace vectoriel des fonctions polynômes f de degré inférieur ou égal à 2, c’est-à-dire de la forme f(x) =a x²+b x+c.

Méthodologie.On peut démontrer qu’une partieF d’un espace vectorielEest un sous-espace vectoriel de Een montrant queF est égal à l’ensemble des combinaisons linéaires d’un nombre fini de vecteurs deE.

Exemple 22.

Est-ce queF=

(x,y,z)∈R³|x−y−z=0 est un sous-espace vectoriel deR³?

Un triplet deR³ est élément deF si et seulement si x= y+z. Doncuest élément deF si et seulement s’il peut s’écrireu= (y+z,y,z). Or, on a l’égalité

(y+z,y,z) = y(1, 1, 0) +z(1, 0, 1). Donc F est l’ensemble des combinaisons linéaires de

(1, 1, 0),(1, 0, 1) . C’est le sous-espace vectoriel engendré par

(1, 1, 0),(1, 0, 1) :F =Vect

(1, 1, 0),(1, 0, 1) . C’est bien un plan vectoriel (un plan passant

par l’origine).

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ESPACES VECTORIELS 6. APPLICATION LINÉAIRE(DÉBUT) 156

Preuve du théorème4.

1. On appelleF l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs{v₁, . . . ,v_n}. (a) 0_E∈F carF contient la combinaison linéaire particulière 0v₁+· · ·+0v_n.

(b) Siu,v ∈F alors il existeλ1, . . . ,λn ∈K tels queu=λ1v₁+· · ·+λnv_n etµ1, . . . ,µn ∈Ktels que v=µ1v₁+· · ·+µnv_n. On en déduit queu+v= (λ1+µ1)v1+· · ·+ (λn+µn)vnappartient bien à F.

(c) De même,λ·u= (λλ1)v₁+· · ·+ (λλn)v_n∈F. Conclusion : F est un sous-espace vectoriel.

2. SiG est un sous-espace vectoriel contenant{v₁, . . . ,v_n}, alors il est stable par combinaison linéaire ; il contient donc toute combinaison linéaire des vecteurs{v₁, . . . ,v_n}. Par conséquent F est inclus dansG: F est le plus petit sous-espace (au sens de l’inclusion) contenant{v₁, . . . ,v_n}.

Mini-exercices.

1. Trouver des sous-espaces vectoriels distincts F etG deR³ tels que (a) F+G=R³et F∩G6={0};

(b) F+G6=R³et F∩G={0}; (c) F+G=R³et F∩G={0}; (d) F+G6=R³et F∩G6={0}. 2. SoientF =

(x,y,z)∈R³|x+ y+z=0 etG=Vect

(1, 1, 1) ⊂R³.

(a) Montrer queF est un espace vectoriel. Trouver deux vecteursu,v tels queF=Vect(u,v). (b) CalculerF∩Get montrer que F+G=R³. Que conclure ?

3. SoientA= ^{1 0}_{0 0}

,B= ^{0 0}_{0 1}

,C = ^{0 1}_{0 0}

,D= ^{0 0}_{1 0}

des matrices deM₂(R).

(a) Quel est l’espace vectorielF engendré parAetB? Idem avecGengendré parC et D.

(b) CalculerF∩G. Montrer queF+G=M₂(R). Conclure.

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