Espaces vectoriels
2. Espace vectoriel (fin)
2.1. Détail des axiomes de la définition
Revenons en détail sur la définition d’un espace vectoriel. Soit donc EunK-espace vectoriel. Les éléments deEseront appelés desvecteurs. Les éléments deKseront appelés desscalaires.
Loi interne.
La loi de composition interne dans E, c’est une application deE×Edans E: E×E → E
(u,v) 7→ u+v
C’est-à-dire qu’à partir de deux vecteursuetv deE, on nous en fournit un troisième, qui sera notéu+v.
La loi de composition interne dansEet la somme dansKseront toutes les deux notées+, mais le contexte permettra de déterminer aisément de quelle loi il s’agit.
Loi externe.
La loi de composition externe, c’est une application deK×EdansE: K×E → E
(λ,u) 7→ λ·u
C’est-à-dire qu’à partir d’un scalaireλ∈Ket d’un vecteuru∈E, on nous fournit un autre vecteur, qui sera notéλ·u.
Axiomes relatifs à la loi interne.
1. Commutativité.Pour tousu,v∈E,u+v=v+u. On peut donc additionner des vecteurs dans l’ordre que l’on souhaite.
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2. Associativité.Pour tousu,v,w∈E, on au+ (v+w) = (u+v) +w. Conséquence : on peut « oublier » les parenthèses et noter sans ambiguïtéu+v+w.
3. Il existe unélément neutre, c’est-à-dire qu’il existe un élément de E, noté 0E, vérifiant : pour toutu∈E, u+0E =u(et on a aussi 0E+u=upar commutativité). Cet élément 0E s’appelle aussi levecteur nul.
4. Tout élémentudeEadmet unsymétrique(ouopposé), c’est-à-dire qu’il existe un élémentu0deEtel queu+u0=0E (et on a aussiu0+u=0E par commutativité). Cet élémentu0deEest noté−u.
Proposition 1.
• S’il existe un élément neutre0E vérifiant l’axiome (3) ci-dessus, alors il est unique.
• Soit u un élément de E. S’il existe un élément symétrique u0de E vérifiant l’axiome (4), alors il est unique.
Démonstration.
• Soient 0E et 00E deux éléments vérifiant la définition de l’élément neutre. On a alors, pour tout élément udeE:
u+0E =0E+u=u et u+00E=00E+u=u
— Alors, la première propriété utilisée avecu=00E donne 00E+0E=0E+00E=00E.
— La deuxième propriété utilisée avecu=0E donne 0E+00E =00E+0E =0E.
— En comparant ces deux résultats, il vient 0E=00E.
• Supposons qu’il existe deux symétriques deunotésu0etu00. On a :
u+u0=u0+u=0E et u+u00=u00+u=0E.
Calculonsu0+ (u+u00)de deux façons différentes, en utilisant l’associativité de la loi+et les relations précédentes.
— u0+ (u+u00) =u0+0E =u0
— u0+ (u+u00) = (u0+u) +u00=0E+u00=u00
— On en déduitu0=u00.
Remarque.
Les étudiants connaissant la théorie des groupes reconnaîtront, dans les quatre premiers axiomes ci-dessus, les axiomes caractérisant un groupe commutatif.
Axiomes relatifs à la loi externe.
5. Soit 1 l’élément neutre de la multiplication deK. Pour tout élémentudeE, on a 1·u=u.
6. Pour tous élémentsλetµdeKet pour tout élémentudeE, on a λ·(µ·u) = (λ×µ)·u.
Axiomes liant les deux lois.
7. Distributivitépar rapport à l’addition des vecteurs. Pour tout élémentλdeKet pour tous élémentsu etvdeE, on a
λ·(u+v) =λ·u+λ·v.
8. Distributivitépar rapport à l’addition des scalaires. Pour tousλetµdeKet pour tout élémentudeE, on a :
(λ+µ)·u=λ·u+µ·u.
La loi interne et la loi externe doivent donc satisfaire ces huit axiomes pour que(E,+,·)soit un espace
vectoriel sur
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2.2. Exemples
Dans tous les exemples qui suivent, la vérification des axiomes se fait simplement et est laissée au soin des étudiants. Seules seront indiquées, dans chaque cas, les valeurs de l’élément neutre de la loi interne et du symétrique d’un élément.
Exemple 4(L’espace vectoriel des fonctions deRdansR).
L’ensemble des fonctions f :R−→Rest noté F(R,R). Nous le munissons d’une structure deR-espace vectoriel de la manière suivante.
• Loi interne.Soient f etgdeux éléments deF(R,R). La fonction f +gest définie par :
∀x ∈R (f +g)(x) = f(x) +g(x)
(où le signe+désigne la loi interne deF(R,R)dans le membre de gauche et l’addition dansRdans le membre de droite).
• Loi externe.Siλest un nombre réel et f une fonction deF(R,R), la fonctionλ·f est définie par l’image de tout réel x comme suit :
∀x ∈R (λ·f)(x) =λ×f(x).
(Nous désignons par·la loi externe deF(R,R)et par×la multiplication dansR. Avec l’habitude on oubliera les signes de multiplication :(λf)(x) =λf(x).)
• Élément neutre.L’élément neutre pour l’addition est la fonction nulle, définie par :
∀x∈R f(x) =0.
On peut noter cette fonction 0F(R,R).
• Symétrique.Le symétrique de l’élément f deF(R,R)est l’application gdeRdansRdéfinie par :
∀x ∈R g(x) =−f(x).
Le symétrique de f est noté−f.
Exemple 5(LeR-espace vectoriel des suites réelles).
On noteS l’ensemble des suites réelles(un)n∈N. Cet ensemble peut être vu comme l’ensemble des applica-tions deNdansR; autrement ditS =F(N,R).
• Loi interne.Soientu= (un)n∈N etv= (vn)n∈Ndeux suites appartenant àS. La suiteu+v est la suite w= (wn)n∈N dont le terme général est défini par
∀n∈N wn=un+vn (oùun+vn désigne la somme deun et devndansR).
• Loi externe.Siλest un nombre réel etu= (un)n∈Nun élément deS,λ·uest la suitev= (vn)n∈Ndéfinie par
∀n∈N vn=λ×un où×désigne la multiplication dansR.
• Élément neutre.L’élément neutre de la loi interne est la suite dont tous les termes sont nuls.
• Symétrique.Le symétrique de la suiteu= (un)n∈Nest la suiteu0= (u0n)n∈N définie par :
∀n∈N u0n=−un. Elle est notée−u.
Exemple 6(Les matrices).
L’ensemble Mn,p(R)des matrices ànlignes etp colonnes à coefficients dansRest muni d’une structure deR-espace vectoriel. La loi interne est l’addition de deux matrices. La loi externe est la multiplication d’une matrice par un scalaire. L’élément neutre pour la loi interne est la matrice nulle (tous les coefficients sont nuls). Le symétrique de la matriceA= (ai,j)est la matrice(−ai,j). De même, l’ensembleMn,p(K)des matrices à coefficients dansKest unK-espace vectoriel.
Autres exemples :
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1. L’espace vectorielR[X]des polynômesP(X) =anXn+· · ·+a2X2+a1X+a0. L’addition est l’addition de deux polynômesP(X) +Q(X), la multiplication par un scalaireλ∈Restλ·P(X). L’élément neutre est le polynôme nul. L’opposé deP(X)est−P(X).
2. L’ensemble des fonctions continues deRdansR; l’ensemble des fonctions dérivables deRdansR,...
3. C est unR-espace vectoriel : additionz+z0 de deux nombres complexes, multiplicationλz par un scalaireλ∈R. L’élément neutre est le nombre complexe 0 et le symétrique du nombre complexezest
−z.
2.3. Règles de calcul
Proposition 2.
Soit E un espace vectoriel sur un corpsK. Soient u∈E etλ∈K. Alors on a : 1. 0·u=0E
2. λ·0E=0E 3. (−1)·u=−u
4. λ·u=0E ⇐⇒ λ=0 ou u=0E
L’opération qui à(u,v)associeu+ (−v)s’appelle lasoustraction. Le vecteuru+ (−v)est notéu−v. Les propriétés suivantes sont satisfaites :λ(u−v) =λu−λvet(λ−µ)u=λu−µu.
Démonstration. Les démonstrations des propriétés sont des manipulations sur les axiomes définissant les espaces vectoriels.
1. • Le point de départ de la démonstration est l’égalité dansK: 0+0=0.
• D’où, pour tout vecteur deE, l’égalité(0+0)·u=0·u.
• Donc, en utilisant la distributivité de la loi externe par rapport à la loi interne et la définition de l’élément neutre, on obtient 0·u+0·u=0·u. On peut rajouter l’élément neutre dans le terme de droite, pour obtenir : 0·u+0·u=0·u+0E.
• En ajoutant−(0·u)de chaque côté de l’égalité, on obtient : 0·u=0E. 2. La preuve est semblable en partant de l’égalité 0E+0E=0E.
3. Montrer (−1)·u = −u signifie exactement que (−1)·u est le symétrique de u, c’est-à-dire vérifie u+ (−1)·u=0E. En effet :
u+ (−1)·u=1·u+ (−1)·u= (1+ (−1))·u=0·u=0E.
4. On sait déjà que si λ=0 ou u=0E, alors les propriétés précédentes impliquentλ·u=0E. Pour la réciproque, soientλ∈Kun scalaire etu∈Eun vecteur tels queλ·u=0E.
Supposonsλdifférent de 0. On doit alors montrer queu=0E.
• Commeλ6=0, alorsλest inversible pour le produit dans le corpsK. Soitλ−1 son inverse.
• En multipliant parλ−1 les deux membres de l’égalitéλ·u=0E, il vient :λ−1·(λ·u) =λ−1·0E.
• D’où en utilisant les propriétés de la multiplication par un scalaire(λ−1×λ)·u=0E et donc 1·u=0E.
• D’oùu=0E.
Mini-exercices.
1. Justifier si les objets suivants sont des espaces vectoriels.
(a) L’ensemble des fonctions réelles sur [0, 1], continues, positives ou nulles, pour l’addition et le produit par un réel.
(b) L’ensemble des fonctions réelles surRvérifiant limx→+∞f(x) =0 pour les mêmes opérations.
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ESPACES VECTORIELS 3. SOUS-ESPACE VECTORIEL(DÉBUT) 144
(c) L’ensemble des fonctions surRtelles que f(3) =7.
(d) L’ensembleR∗+ pour les opérationsx⊕ y=x y etλ·x =xλ (λ∈R). (e) L’ensemble des points(x,y)deR2vérifiant sin(x+y) =0.
(f) L’ensemble des vecteurs(x,y,z)deR3orthogonaux au vecteur(−1, 3,−2). (g) L’ensemble des fonctions de classeC2vérifiant f00+ f =0.
(h) L’ensemble des fonctions continues sur[0, 1]vérifiantR1
0 f(x)sinx d x =0.
(i) L’ensemble des matrices a bc d
∈M2(R)vérifianta+d=0.
2. Prouver les propriétés de la soustraction :λ·(u−v) =λ·u−λ·vet(λ−µ)·u=λ·u−µ·u.