Dimension finie
5. Dimension des sous-espaces vectoriels
Tout sous-espace vectorielF d’unK-espace vectorielEétant lui même unK-espace vectoriel, la question est de savoir s’il est de dimension finie ou s’il ne l’est pas.
Prenons l’exemple de l’espace vectorielE=F(R,R)des fonctions deRdansR:
• il contient le sous-espace vectoriel F1 =Rn[X]des (fonctions) polynômes de degré6 n, qui est de dimension finie ;
• et aussi le sous-espace vectoriel F2 =R[X]de l’ensemble des (fonctions) polynômes, qui lui est de dimension infinie.
5.1. Dimension d’un sous-espace vectoriel
Nous allons voir par contre que lorsque Eest de dimension finie alorsF aussi.
Théorème 8.
Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie.
1. Alors tout sous-espace vectoriel F de E est de dimension finie ; 2. dimF 6dimE ;
3. F=E ⇐⇒ dimF=dimE.
Démonstration.
• SoitEun espace vectoriel de dimensionnet soitFun sous-espace vectoriel deE. Si F={0}il n’y a rien à montrer. On suppose donc F6={0}et soit vun élément non nul deF. La famille{v}est une famille libre deF, doncF contient des familles libres. Toute famille libre d’éléments deF étant une famille libre d’éléments de E(voir la définition des familles libres), alors commeEest de dimensionn, toutes les familles libres deF ont au plusnéléments.
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DIMENSION FINIE 5. DIMENSION DES SOUS-ESPACES VECTORIELS 183
• On considère l’ensembleK des entiersktels qu’il existe une famille libre deF ayantkéléments : K=¦
k∈N| ∃{v1,v2, . . . ,vk} ⊂F et {v1,v2, . . . ,vk}est une famille libre deF©
Cet ensembleKest non vide (car 1∈K) ;K est un sous-ensemble borné deN(puisque tout élément de K est compris entre 1 etn) doncKadmet un maximum. Notons pce maximum et soit{v1,v2, . . . ,vp} une famille libre deF ayantpéléments.
• Montrons que{v1,v2, . . . ,vp}est aussi génératrice de F. Par l’absurde, s’il existewun élément deF qui n’est pas dans Vect(v1, . . . ,vp), alors la famille{v1, . . . ,vp,w}ne peut pas être libre (sinon pne serait pas le maximum deK). La famille{v1, . . . ,vp,w}est donc liée, mais alors la relation de dépendance linéaire implique quew∈Vect(v1, . . . ,vp), ce qui est une contradiction.
Conclusion :(v1, . . . ,vp)est une famille libre et génératrice, donc est une base de F.
• On a ainsi démontré simultanément que :
— F est de dimension finie (puisque(v1,v2, . . . ,vp)est une base deF).
— Ainsi dimF=p, donc dimF 6dimE(puisque toute famille libre deF a au plusnéléments).
— De plus, lorsquep=n, lep-uplet(v1,v2, . . . ,vp), qui est une base de F, est aussi une base deE(car {v1,v2, . . . ,vp}est alors une famille libre de Eayant exactementnéléments, donc est une base de E). Tout élément deEs’écrit comme une combinaison linéaire dev1,v2, . . . ,vp, d’oùE=F.
5.2. Exemples
Exemple 19.
SiEest unK-espace vectoriel de dimension 2, les sous-espaces vectoriels deEsont :
• soit de dimension 0 : c’est alors le sous-espace{0};
• soit de dimension 1 : ce sont les droites vectorielles, c’est-à-dire les sous-espacesKu=Vect{u}engendrés par les vecteurs non nulsudeE;
• soit de dimension 2 : c’est alors l’espaceEtout entier.
Vocabulaire.Plus généralement, dans unK-espace vectorielEde dimensionn(n>2), tout sous-espace vectoriel de E de dimension 1 est appelédroite vectorielle de E et tout sous-espace vectoriel de E de dimension 2 est appeléplan vectorielde E. Tout sous-espace vectoriel deEde dimensionn−1 est appelé hyperplandeE. Pourn=3, un hyperplan est un plan vectoriel ; pourn=2, un hyperplan est une droite vectorielle.
Le théorème8précédent permet de déduire le corollaire suivant : Corollaire 2.
Soit E un K-espace vectoriel. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On suppose que F est de dimension finie et que G⊂F . Alors :
F=G ⇐⇒ dimF=dimG
Autrement dit, sachant qu’un sous-espace est inclus dans un autre, alors pour montrer qu’ils sont égaux il suffit de montrer l’égalité des dimensions.
Exemple 20.
Deux droites vectorielles F etG sont soit égales, soit d’intersection réduite au vecteur nul.
Exemple 21.
Soient les sous-espaces vectoriels deR3suivants : F= x
y z
∈R3|2x−3y+z=0 et G=Vect(u,v) oùu=1
1 1
etv= 2
1
−1
.
Est-ce que
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F=G?DIMENSION FINIE 5. DIMENSION DES SOUS-ESPACES VECTORIELS 184
1. On remarque que les vecteursuet vne sont pas colinéaires, doncG est de dimension 2, et de plus ils appartiennent àF, doncG est contenu dansF.
2. Pour trouver la dimension de F, on pourrait déterminer une base deF et on montrerait alors que la dimension deF est 2. Mais il est plus judicieux ici de remarquer que F est contenu strictement dansR3 (par exemple le vecteur1
00
deR3n’est pas dansF), donc dimF<dimR3=3 ; mais puisqueFcontient G alors dimF>dimG=2, donc la dimension deF ne peut être que 2.
3. On a donc démontré queG⊂F et que dimG=dimF, ce qui entraîneG=F.
5.3. Théorème des quatre dimensions
Théorème 9(Théorème des quatre dimensions).
Soient E un espace vectoriel de dimension finie et F,G des sous-espaces vectoriels de E. Alors : dim(F+G) =dimF+dimG−dim(F∩G)
Corollaire 3.
Si E=F⊕G, alorsdimE=dimF+dimG.
Exemple 22.
Dans un espace vectoriel E de dimension 6, on considère deux sous-espaces F et G avec dimF = 3 et dimG=4. Que peut-on dire deF∩G? deF+G? Peut-on avoirF⊕G=E?
• F∩G est un sous-espace vectoriel inclus dansF, donc dim(F∩G)6dimF =3. Donc les dimensions possibles pour F∩G sont pour l’instant 0, 1, 2, 3.
• F+Gest un sous-espace vectoriel contenantGet inclus dansE, donc 4=dimG6dim(F+G)6dimE=6.
Donc les dimensions possibles pourF+G sont 4, 5, 6.
• Le théorème9des quatre dimensions nous donne la relation : dim(F∩G) =dimF+dimG−dim(F+G) = 3+4−dim(F+G) =7−dim(F+G). CommeF+G est de dimension 4, 5 ou 6, alors la dimension de
F∩G est 3, 2 ou 1.
• Conclusion : les dimensions possibles pourF+Gsont 4, 5 ou 6 ; les dimensions correspondantes pour F∩G sont alors 3, 2 ou 1. Dans tous les cas, F∩G 6={0}et en particulierF et G ne sont jamais en somme directe dansE.
La méthode de la preuve du théorème9des quatre dimensions implique aussi : Corollaire 4.
Tout sous-espace vectoriel F d’un espace vectoriel E de dimension finie admet un supplémentaire.
Preuve du théorème9.
• Notez l’analogie de la formule avec la formule pour les ensembles finis : Card(A∪B) =CardA+CardB−Card(A∩B).
• Nous allons partir d’une base BF∩G = {u1, . . . ,up} de F ∩G. On commence par compléter BF∩G en une base BF = {u1, . . . ,up,vp+1, . . . ,vq} de F. On complète ensuite BF∩G en une base BG = {u1, . . . ,up,wp+1, . . . ,wr}deG.
• Nous allons maintenant montrer que la famille
{u1, . . . ,up,vp+1, . . . ,vq,wp+1, . . . ,wr}
est une base deF+G. Il est tout d’abord clair que c’est une famille génératrice deF+G(carBF est une famille génératrice de F etBG est une famille génératrice deG).
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DIMENSION FINIE 5. DIMENSION DES SOUS-ESPACES VECTORIELS 185
• Montrons que cette famille est libre. Soit une combinaison linéaire nulle :
p
X
i=1
αiui+
q
X
j=p+1
βjvj+
r
X
k=p+1
γkwk=0 (1)
On poseu=Pp
i=1αiui,v=Pq
j=p+1βjvj,w=Pr
k=p+1γkwk. Alors d’une partu+v∈F (carBF est une base de F) mais comme l’équation (1) équivaut àu+v+w=0, alorsu+v =−w∈G (carw∈G).
Maintenantu+v ∈F∩G et aussi bien sûru∈F∩G, doncv =Pq
j=p+1βjvj ∈F∩G. Cela implique βj=0 pour tout j(car les{vj}complètent la base deF∩G).
La combinaison linéaire nulle (1) devientPp
i=1αiui+Pr
k=p+1γkwk=0. OrBGest une base deG, donc αi =0 et γk =0 pour touti,k. AinsiBF+G ={u1, . . . ,up,vp+1, . . . ,vq,wp+1, . . . ,wr} est une base de F+G.
• Il ne reste plus qu’à compter le nombre de vecteurs de chaque base : dimF ∩G =CardBF∩G = p, dimF =CardBF =q, dimG=CardBG=r, dim(F+G) =CardBF+G=q+r−p. Ce qui prouve bien dim(F+G) =dimF+dimG−dim(F∩G).
Mini-exercices.
1. SoientF =Vect1
2 3
, 3
−1 2
etG=Vect−7
7 0
,6
5 11
. Montrer queF=G.
2. DansR3, on considèreF =Vect 1
−1t
,t
11
,G=Vect1
11
. Calculer les dimensions deF,G,F∩G,F+G en fonction det∈R.
3. Dans un espace vectoriel de dimension 7, on considère des sous-espaces F etG vérifiant dimF =3 et dimG62. Que peut-on dire pour dim(F∩G)? Et pour dim(F+G)?
4. Dans un espace vectoriel E de dimension finie, montrer l’équivalence entre : (i) F ⊕G = E; (ii) F+G=Eet dimF+dimG=dimE; (iii)F∩G={0E}et dimF+dimG=dimE.
5. SoitH un hyperplan dans un espace vectoriel de dimension finieE. Soit v∈E\H. Montrer que Het Vect(v)sont des sous-espaces supplémentaires dans E.
Auteurs du chapitre
• D’après un cours de Sophie Chemla de l’université Pierre et Marie Curie, reprenant des parties d’un cours de H. Ledret et d’une équipe de l’université de Bordeaux animée par J. Queyrut,
• et un cours de Eva Bayer-Fluckiger, Philippe Chabloz, Lara Thomas de l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne,
• mixé, révisé et complété par Arnaud Bodin. Relu par Vianney Combet.