Sous-catégories triangulées et engendrements

Pour ce qui concerne la définition des catégories triangulées ainsi que les conséquences directes des axiomes, le lecteur peut consulter [Ver96] ou [Nee01]. L’autoéquivalence de suspension sera notée comme d’habitude[+1]. Étant donné une catégorie trianguléeT, on s’intéressera à trois sortes de sous-catégories deT :

Definition 2.1.1 — Soit T une catégorie triangulée. Une sous-catégorie pleine C de T est dite stable par extensions si pour tout triangle distingué :

A⁰ //A //A⁰⁰ //A⁰[+1]

de T, on a l’implication : [A⁰ etA⁰⁰∈Ob(C)] +3[A∈Ob(C)].

1- Une sous-catégorie triangulée de T est une sous-catégorie pleine C ⊂ T stable par extensions et par les auto-équivalences de suspension[+1]et de cosuspension[−1].

2-Une sous-catégorie suspendue(resp.cosuspendue) est une sous-catégorie pleine C ⊂ T stable par extensions et le foncteur de suspension[+1](resp. de cosuspension[−1]).

Remarque 2.1.2 —1-Une sous-catégorie triangulée est clairement une sous-catégorie pleine qui est suspendue et cosuspendue. Précisons également qu’une sous-catégorie triangulée est elle même une catégorie triangulée.

2- Les deux notions de sous-catégorie suspendue et cosuspendue sont échangées par la dualité. Plus précisément, soientT une catégorie triangulée etT^opsa catégorie triangulée opposée. Une sous-catégorie suspendue (resp. cosuspen-due)C ⊂ T induit par passage aux catégories opposées, une sous-catégorie cosuspendue (resp. suspendue)C^op⊂ T^op. En effet le foncteur de suspension deT^opest l’inverse de celui deT.

Le lemme suivant est une trivialité :

Lemme 2.1.3 —Soient T une catégorie triangulée et C ⊂ T une sous-catégorie pleine. La catégorie C est une sous-catégorie suspendue (resp. cosuspendue) si et seulement si pour tout triangle distingué deT :

A⁰ //A //A⁰⁰ //A⁰[+1]

On a les deux implications :

– (Stabilité par extension) [A⁰ etA⁰⁰∈Ob(C)] +3[A∈Ob(C)],

– (Stabilité par conoyau) [A⁰ etA∈Ob(C)] +3[A⁰⁰∈Ob(C)] (resp. (Stabilité par noyau) [A etA⁰⁰∈Ob(C)]

+3[A⁰∈Ob(C)]).

Soitf : D //D⁰ un foncteur. SiC⁰ ⊂ D⁰ est une sous-catégorie, on note f⁻¹(C⁰)la sous-catégorie deD dont les objets sont lesA∈Ob(D)tel que f(A)∈Ob(C⁰)et les flèches sont lesa∈Fl(D)tel que f(a)∈Fl(C⁰). On a :

Lemme 2.1.4 —Soit f : T //T⁰ un foncteur triangulé entre deux catégories triangulées. Soit C⁰ ⊂ T⁰ une sous-catégorie triangulée (resp. suspendue, cosuspendue) deT⁰. Alors f⁻¹(C⁰)est une sous-catégorie triangulée (resp.

suspendue, cosuspendue) deT.

Lemme 2.1.5 — Soient T une catégorie triangulée et Λ ⊂ Ob(T) un ensemble (ou une classe) d’objets de T. Il existe une plus petite sous-catégorie triangulée (resp. suspendue, cosuspendue) < Λ >^s−ct (resp. < Λ >^s−ct₊ ,

<Λ>^s−ct₋ ) de T contenant les objets dansΛ.

Demonstration En effet, On définit par récurrence des sous-catégories<Λ>ⁿ avec :

– <Λ>⁰la sous-catégorie pleine deT ayant pour objets les suspensions et cosuspensions itérés d’objets deΛ∪{0}, – <Λ>ⁿ est la sous-catégorie pleine deT dont les objets sont ceux qui s’obtiennent comme une extension entre

deux objets de<Λ>ⁿ⁻¹.

Du fait que<Λ>ⁿ contient un objet nul, on déduit les inclusion <Λ>ⁿ⊂<Λ>ⁿ⁺¹. L’union des <Λ>ⁿ convient

clairement. Les cas réspés se traitent de la même manière. c.q.f.d

Definition 2.1.6 — 1-La sous-catégorie <Λ>^s−ct est appelée la sous-catégorie triangulée strictement engen-drée parΛ. Les objets de cette catégorie sont ditsΛ-strictement constructibles.

2- De même, la sous-catégorie < Λ >^s−ct₊ (resp. <Λ >^s−ct₋ ) est appelée la sous-catégorie suspendue (resp. co-suspendue) strictement-engendrée par Λ. Les objets de cette catégorie sont dits Λ-strictement positivement (resp.

négativement) constructibles.

Lemme 2.1.7 — Soitf : T //T⁰ un foncteur triangulé entre deux catégories triangulées. Supposons donnée une sous-catégorie triangulée (resp. suspendue, cosuspendue)C⁰⊂ T⁰. Soit Λ un ensemble (ou une classe) d’objets de T. Supposons quef(Λ)⊂ C⁰. Alors <Λ>^s−ct⊂ C⁰ (resp.<Λ>^s−ct₊ ⊂ C⁰,<Λ>^s−ct₋ ⊂ C⁰).

Demonstration Ceci découle immédiatement de la minimalité de<Λ>^s−ctet du fait quef⁻¹C⁰ est triangulée. De

même pour les cas respés. c.q.f.d

Le “strictement” de la définition 2.1.6, est employé pour distinguer la notion analogue où l’on permet d’ajouter les facteurs directes :

Definition 2.1.8 —Soit C une sous-catégorie pleine d’une catégorie additive D. On dit que C est stable par facteurs directs si pour tout triplets(A, B, C)d’objets de Dl’implication suivante :

[A'B⊕C etA∈Ob(C)] +3[B∈ C]

est vraie.

Lemme 2.1.9 —SoientT une catégorie triangulée et Λ ⊂Ob(T) un ensemble (ou une classe) d’objets de T. Il existe une plus petite sous-catégorie triangulée (resp. suspendue, cosuspendue) <Λ>^ct (resp.<Λ>^ct₊, <Λ>^ct₋) de T contenant les objets dansΛ et qui soit stable par facteurs directs.

Demonstration La preuve est aussi évidente que celle de 2.1.5. Il suffit seulement d’ajouter les facteurs directes

quand on passe du rangn−1àn. c.q.f.d

Definition 2.1.10 — 1- La sous-catégorie<Λ >^ct est appelée la sous-catégorie triangulée engendrée par Λ.

Les objets de cette catégorie sont ditsΛ-constructibles.

2-De même, la sous-catégorie<Λ>^ct₊ (resp.<Λ>^ct₋) est appelée la sous-catégorie suspendue (resp. cosuspendue) engendrée parΛ. Les objets de cette catégorie sont ditsΛ-positivement (resp.Λ-négativement) constructibles.

Lemme 2.1.11 — Soitf : T //T⁰ un foncteur triangulé entre deux catégories triangulées. Supposons donnée une sous-catégorie triangulée (resp. suspendue, cosuspendue)C⁰ ⊂ T⁰ stable par facteurs directes. SoitΛ un ensemble (ou une classe) d’objets deT. Supposons quef(Λ)⊂ C⁰. Alors<Λ>^ct⊂ C⁰ (resp.<Λ>^ct₊⊂ C⁰,<Λ>^ct₋⊂ C⁰).

Demonstration Ceci découle immédiatement de la minimalité de<Λ>^s−ctet du fait quef⁻¹C⁰ est triangulée et

stable par facteurs directes. De même pour les cas respés. c.q.f.d

Rappelons qu’une catégorie discrète est une catégorie qui n’a pour flèches que les identités. Si I est une petite catégorie discrète, un foncteur I //C est parfois appelé une famille d’objets de C.

Definition 2.1.12 —1- SoitDune catégorie. On dit queD est une catégorie avec petites sommes (resp. avec petits produits) si les limites inductives (resp. projectifs) indicées par des petites catégories discrètes sont représentables dansD.

2-SoitC est une sous-catégorie pleine d’une catégorieDavec petites sommes (resp. petits produits). On dit que C est stable par petites sommes (resp. petits produits), si la colimite (resp. limite) dans D d’une petite famille discrète d’objets deC est un objet deC.

La notion de catégorie avec somme (resp. avec produits) est particulièrement féconde lorsque la catégorie en question est munie d’un triangulation. On parle alors de catégories triangulées avec petites sommes (resp. petits produits).

Remarque 2.1.13 —La notion d’une catégorie triangulée avec petites sommes est duale de celle d’une catégorie triangulée avec petits produits. Ainsi, dans la suite, il sera uniquement question de catégories triangulées avec petites sommes. Les énoncés et notions concernant les catégories triangulées avec petits produits s’obtiennent par passage aux catégories opposées².

Lemme 2.1.14 —Soient T une catégorie triangulée avec petites sommes et Λ ⊂ Ob(T) un ensemble (ou une classe) d’objets deT. Il existe une plus petite sous-catégorie triangulée (resp. suspendue, cosuspendue)Λ (resp.

Λ+, Λ−) deT contenant les objets dans Λet qui soit stable par petites sommes.

Demonstration Pour tout ordinalα, on définit par récurrence transfinie des sous-catégories pleines<Λ>^α⊂ T de la manière suivante :

– Les objets de<Λ>⁰ sont les suspensions et cosuspensions itérées d’objets deΛ∪ {0},

– On prend pour < Λ >^α la sous-catégorie pleine de T dont les objets sont ceux qui s’obtiennent comme une extension de deux objets de dans<Λ>^α0 ou comme une petites sommes d’objets dans∪α0⊂α<Λ>^α0 avecα0

strictement contenu dansα.

La catégorie obtenu comme l’union des<Λ>^αconvient clairement. Les cas réspés se traitent exactement de la même

manière. c.q.f.d

Definition 2.1.15 — 1-La sous-catégorie Λ est appelée la sous-catégorie triangulée avec petite sommes engendrée parΛ. Les objets de cette catégorie sont ditsΛ-ind-constructibles.

2- De même, la sous-catégorieΛ+ (resp.Λ−) est appelée la sous-catégorie suspendue (resp. cosuspen-due) stable par petites sommes et engendrée par Λ. Les objets de cette catégorie sont dits Λ-ind-positivement (resp.

Λ-ind-négativement) constructibles.

Lemme 2.1.16 — Soitf : T //T⁰ un foncteur triangulé commutant aux petites sommes, entre deux catégories triangulées avec petites sommes. Supposons donnée une sous-catégorie triangulée (resp. suspendue, cosuspendue)C⁰ ⊂ T⁰ stable par petites sommes.

SoitΛun ensemble (ou une classe) d’objets deT. Supposons quef(Λ)⊂ C⁰. AlorsΛ⊂ C⁰(resp.Λ+⊂ C⁰, Λ−⊂ C⁰).

Demonstration Ceci découle immédiatement de la minimalité de<Λ>^s−ctet du fait quef⁻¹C⁰ est triangulée et

stable par petites sommes. De même pour les cas respés. c.q.f.d

L’analogue avec “facteurs directs” de la définition 2.1.15 est superflu du moins pour ce qui concerne les sous-catégories triangulées à cause du résultat suivant³ (voir [ ? ?]) :

Lemme 2.1.17 —SoientT une catégorie triangulée avec petites sommes. Alors la catégorie additive sous-jacente àT est pseudo-abélienne.

La définition suivante est classique :

Definition 2.1.18 —1- SoitT une catégorie triangulée avec petites sommes. Un objet A de T est dit com-pact si le foncteur hom_T(A,−) commute aux petites sommes i.e. pour toute petite famille (Bi)_i∈I d’objets de T, l’homomorphisme canonique :

⊕_i∈Ihom_T(A, Bi) //hom_T(A,⊕_i∈IBi) est un isomorphisme.

2- On notera Tcomp la sous-catégorie des objets compacts de T. C’est une sous-catégorie triangulée stable par facteurs directe deT.

2Les catégories triangulées qui apparaîssent dans la nature (par exemple les catégorie homotopique de certaines catégories de modèles) admettent toutes des petites sommes et produits. Toutefois, en pratique, les petites sommes directes semblent être plus utiles que les petits produits. Ceci peut s’expliquer par l’abondance en pratique des objets compacts et la rareté de leurs duaux : les objets cocompacts.

3Ce résultat ne sera pas utilisé par la suite. Pour cela, on ne donnera pas de preuve. Notons tout de même que dans le cas oùT est compactement engendrée au sens de la définition 2.1.20, on peut obtenir le lemme en question comme conséquence directe du critère de représentabilité de Brown (voir la proposition 2.1.21).

Soit (ui : Di //Di+1)i∈N un système inductif indicé parN dans une catégorie triangulée T admettant des petites sommes. On peut associer à ce système inductif une colimite homotopiqueHoColimi(Di) bien définie à un isomorphisme (non unique) prés par le triangle distingué :

⊕i∈IDi

⊕i(id_Di,−ui)

//⊕i∈IDi //HoColimiDi //

On définit des flèches Di //HoColimDi en prenant la composée : Di //⊕iDi //HoColimDi

De plus, les triangles suivant sont commutatifs : Di

ui

//

%%K

KK KK KK KK

K Di+1

xxrrrrrrrrrr

HoColimDi

étant donné que la composée : Di

(id_Di,−ui)

//Di⊕Di+1 //⊕iDi //HoColimDi

est nulle par construction. Ceci permet de définir un homomorphisme de groupe abéliens : Colim_i∈Nhom(A, Di) //hom(A,HoColim_i∈NDi) naturel enA∈Ob(T). Le lemme suivant est facile :

Lemme 2.1.19 —SoitAun objet d’une catégorie triangulée avec petites sommesT. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. A est un objet compact,

2. Pour tout système inductif (ui: Di //Di+1 )i∈N, le morphisme canonique : Colim_i∈Nhom(A, Di) //hom(A,HoColim_i∈NDi) est un isomorphisme.

Definition 2.1.20 — Soit T une catégorie triangulée avec petites sommes. On dit que T est compactement engendrée, s’il existe un ensemble d’objets compacts Λ ⊂ Ob(T) tel que Λ = T. L’ensemble Λ est appelé un ensemble de générateurs compacts deT.

On a le bien-connu critère de représentabilité de Brown :

Proposition 2.1.21 — Soit T une catégorie triangulée avec petites sommes, compactement engendrée. Soit h : T //Ab un foncteur exact contravariant qui transforme les petites sommes en petits produits. Alors h est représentable.

Demonstration Si Aest un objet deT, on peut représenté un élémenta∈h(A)comme une flèche a: A //h (par exemple dans la catégories des préfaisceaux en groupes abéliens surT).

Pour tout entiern∈N, on va construire par récurrence les données suivantes : – Un objetΦn deT,

– Un élémentαn ∈h(Φn),

– Une flècheun−1: Φn−1 //Φn lorsquenest non nul tel que le diagramme suivant est commutatif : Φn−1

un−1

//

αn−1

>>

Φn αn

//h

Fixons un ensemble d’objets compactsΛqui engendre la catégorie triangulée avec petites sommesT. On supposera, quitte à l’élargir, que l’ensembleΛ est stable par suspensions et cosuspensions. On posera :

Φ0= ⊕

A∈Λ, a∈h(A)A et on prend pourα0 le produit desadans :

h(Φ0) = Y

A∈Λ, a∈h(A)

h(A) Lorsquenest un entier non nul, on définit Φn par un triangle distingué :

⊕

A∈Λ, b∈Ker(αn−1:homT(A,Φn−1)→h(A))A

//Φ_n−1 ^un−1//Φn //

En utilisant l’hypothèse que h est exact, on déduit immédiatement que αn−1 ∈ h(Φn−1) est l’image d’un certain élémentαn∈h(Φn).

Une fois lesΦn construits, on poseΦ =HoColimΦn. Par définition, et du fait quehtransforme les petites sommes en petits produits, on a une suite exacte :

h(Φ) //Q

nh(Φn) ⁽

QidΦn,−Q un)

//Q

nh(Φn)

Et donc une surjection : h(Φ) ////Limh(Φn). On choisit alors un antécédentαpar cette surjection de la limite des αn.

On montrera queα: Φ //h induit un isomorphisme de préfaisceaux. Étant donné que le préfaisceau représenté par Φ ainsi que h sont tous les deux exacts, et transforment petites sommes en petites produits, on se ramène immédiatement à montrer que l’homomorphisme homT(A,Φ) //h(A) est un isomorphisme pourAdansΛ(noter, qu’ici on utilise le fait queΛest stable par suspension et cosuspension). La surjectivité de cet homomorphisme découle facilement de la surjectivité de homT(A,Φ0) //h(A). Pour montrer l’injectivité, on considère un élémentadans le noyau. CommeAest compact, la flèche a: A //Φ provient d’une certaine flèchea⁰ : A //Φn . Mais par construction, la composée :

A //Φn //Φn+1

est nulle. Ceci assure la nullité dea. c.q.f.d

Corollaire 2.1.22 — Soit T et T⁰ deux catégories triangulées avec petites sommes. On suppose que T est compactement engendré. Soitf : T //T⁰ un foncteur triangulé covariant commutant aux petites sommes. Alors f admet un adjoint à droite.

Demonstration SoitB⁰ un objet deT⁰. Le foncteur T //Ab qui à un objetAdeT associehomT⁰(f(A), B⁰) transforme petites sommes en petits produits. Par le critère de représentabilité de Brown, ce foncteur est représenté par un objetg(B⁰)deT. De plus, on a un isomorphisme :

homT⁰(f(A), B⁰) ^∼ //homT(A, g(B⁰))

Il existe alors une unique façon d’étendre l’associationB⁰ g(B⁰)en un foncteur covariant, de sorte que l’isomorphisme

ci-dessus soit naturel enAet B⁰. c.q.f.d

L’adjoint à droite def est automatiquement triangulé. En effet :

Lemme 2.1.23 — Soitf : T //T⁰ un foncteur triangulé entre deux catégories triangulées. Sig: T⁰ //T est adjoint àf, alorsg est triangulé.

Demonstration On traitera uniquement le cas où g est adjoint à droite de f. L’autre cas, se traite de manière analogue. Supposons donné un triangle distingué deT⁰ :

A⁰ //B⁰ //C⁰ //A⁰[+1]

et complétons la flèche g(A⁰) //g(B⁰) en un triangle distingué deT : g(A⁰) //g(B⁰) //D //g(A⁰)[+1]

A l’aide les axiomes des catégorie triangulée, il existe une flèche en pointillée rendant commutatif le diagramme suivant deT⁰ :

f g(A⁰) //

δ

f g(B⁰) //

δ

f(D) //

f g(A⁰)[+1]

A⁰ //B⁰ //C⁰ //A⁰[+1]

En effet, le triangle du bas est distingué ainsi que celui du haut puisquef est un foncteur triangulé. Maintenant, par adjonction, on tombe sur le diagramme commutatif :

g(A⁰) //g(B⁰) //D //

u

g(A⁰)[+1]

g(A⁰) //g(B⁰) //g(C⁰) //g(A⁰)[+1]

Étant donné que le triangle du haut est distingué, il suffira de prouver queuest inversible. Il suffit encore de montrer que pour tout objetX deT, l’homomorphisme induit paru:

homT(X, D) //homT(X, g(C⁰))

est un isomorphisme. On utilisera pour cela le lemme des cinq appliqué aux morphismes de suite exactes :

hom(X, g(A⁰)) //hom(X, g(B⁰)) //hom(X, D) //

u

hom(X, g(A⁰)[+1]) //hom(X, g(B⁰)[+1])

hom(X, g(A⁰)) //hom(X, g(B⁰)) //hom(X, g(C⁰)) //hom(X, g(A⁰)[+1]) //hom(X, g(B⁰)[+1]) La ligne du bas, étant exacte puisque isomorphe à :

hom(f(X), A⁰) //hom(f(X), B⁰) //hom(f(X), C⁰) //hom(f(X), A⁰[+1]) //hom(f(X), B⁰[+1])

Le lemme est prouvé. c.q.f.d

La preuve de la proposition suivante utilise la construction qu’on a exposée dans la preuve du lemme de représen-tabilité de Brown :

Proposition 2.1.24 — SoitT une catégorie triangulée avec petites sommes engendrée par un ensemble d’objets compactsΛ. La sous-catégorieTcompest la plus petite sous-catégorie triangulée deT contenantΛet stable par facteurs directes. En d’autres termes on a l’égalité :

Tcomp=<Λ>^ct

Demonstration L’inclusion<Λ>^ct⊂ Tcomp est claire. Fixons un objet compactCdeT. On va montrer queCest Λ-constructible.

On applique la construction de la preuve de la proposition 2.1.21 au foncteur représentableh= homT(−, C). On obtient ainsi une présentation deCcomme une colimite homotopique du système inductif(un: Φn //Φn+1)_n∈N:

ColimΦn ∼

//C

PuisqueC est compact, on a :

Colim homT(C,Φn)'homT(C,ColimΦn)'homT(C, C)

Ainsi, on choisissant un représentant de l’identité de C dans la colimite de gauche, on obtient une factorisation de l’identité :

C //Φn0 //C pour un certainn0∈N. Ceci prouve queC est facteur direct deΦn0.

PosonsΦ−1= 0. On va construire par récurrence descendante pourk∈ {−1, . . . , n0}un triangle distingué :

(2.1) Nk //Φk //Dk //Nk[+1]

avec Nk dans < Λ >^s−ct et tel que C soit facteur direct de Dk. Pour k =n0 on prendre Nn0 = 0. Si on arrive à construireN−1 le corollaire découlera. En effet puisqueΦ−1= 0, on obtient queC est facteur direct deN−1[+1].

Dans la suite, on utilisera uniquement le fait que pour toutn∈Nil existe un triangle distingué :

⊕i∈InAi //Φ_n−1 //Φn //(⊕_i∈TnAi)[+1]

avec In un ensemble d’indices qu’on n’aura pas besoin de préciser et Ai des objets de Λ. Insistons que ceci reste vrai même pour n= 0. Supposons le triangle (2.1) construit pour un k ∈ {1, . . . , n0}. On va le construire au rang k−1. On considère d’abord la composée : Nk //Φk //⊕i∈IkAi[+1]. L’objet Nk étant compact, il existe un sous-ensemble fini Fk ⊂Ik tel que la composée en question se factorise par l’inclusion ⊕_i∈FkAi[+1]⊂ ⊕_i∈IkAi[+1].

On choisit alors un triangle distingué :

⊕_i∈FkAi //Φk−1 //Φ⁽¹⁾_k−1 //(⊕_i∈FkAi)[+1]

L’axiome de l’octaèdre appliqué au carré commutatif :

⊕_i∈IkAi //Φ_k−1

⊕i∈FkAi //

OO

Φ_k−1 fournit un triangle distingué :

⊕_i∈Ik−FkAi //Φ⁽¹⁾_k−1 //Φk //(⊕i∈Ik−FkAi)[+1]

De plus par construction, on voit que la composée : Nk //Φk //⊕_i∈Ik−FkAi[+1] est maintenant nulle. On en déduit de cette manière une factorisation :

Nk // %%

Φ⁽¹⁾_k−1 //Φk

Formons un triangle distingué :

Nk //Φ⁽¹⁾_k−1 //D⁽¹⁾_k−1 //Nk[+1]

L’axiome de l’octaèdre appliqué maintenant au carré commutatif : Nk //Φk

Nk //Φ⁽¹⁾_(k−1)

OO

fournit un triangle distingué :

⊕_i∈Ik−FkAi //D⁽¹⁾_k−1 //Dk //(⊕_i∈Ik−FkAi)[+1]

L’étape suivante consiste à considérer la composée : C //Dk //⊕_i∈Ik−FkAi[+1]. L’objetCétant compact, on déduit qu’il existe un ensemble finiGk⊂IkcontenantFk, tel que la composée en question se factorise par l’inclusion

⊕_i∈Gk−FkAk⊂ ⊕_i∈Ik−FkAi. On forme alors un triangle distingué :

⊕_i∈Gk−FkAi //D⁽¹⁾_k−1 //D_k−1 //(⊕_i∈Gk−FkAi)[+1]

En appliquant l’axiome de l’octaèdre au carré commutatif :

⊕_i∈Ik−FkAi //D⁽¹⁾_k−1

⊕_i∈Gk−FkAi //

OO

D⁽¹⁾_k−1

on obtient un triangle distingué :

⊕i∈Ik−GkAi //Dk−1 //Dk //(⊕_i∈Ik−GkAi)[+1]

De plus, par construction, la composée C //Dk //⊕_i∈Ik−GkAi[+1] est nulle. Ceci fournit une factorisation :

C // %%

Dk−1 //Dk

On déduit alors facilement queC est facteur direct deDk−1. Pour terminer, considérons la composée :

φ_k−1 ^a //φ⁽¹⁾_k−1 ^b //D⁽¹⁾_k−1 ^c //D_k−1 On va montrer que l’objetNk−1 dans le triangle distingué :

Nk−1 //Φk−1 //Dk−1 //

est strictementΛ-constructible. En utilisant suffisamment de fois l’axiome de l’octaèdre on se ramène à montrer que les

“noyaux” des flèches :a,bet csontΛ-constructibles. Ces “noyaux” sont respectivement⊕_i∈FkAi,Nk et ⊕_i∈Gk−FkAi. Les objetsAi sont dansΛ et les ensembles d’indicesFk et Gk sont finis. De plus par inductionNk estΛ-strictement

constructible. Le corollaire est prouvé. c.q.f.d

On continue avec un critère qui permet de décider si un ensemble d’objets engendre une catégorie triangulée avec petites sommes. La définition suivante est également classique :

Definition 2.1.25 —Soit Λ un ensemble d’objets d’une catégorie triangulée T. On noteΛ^⊥ la sous-catégorie pleine deT formée des objetsB ∈Ob(T)avec :

homT(A[m], B) = 0, ∀A∈Λet ∀n∈N Un objet deΛ^⊥ est dit orthogonalàΛ.

Le lemme suivant est facile :

Lemme 2.1.26 —La sous-catégorie Λ^⊥ ⊂ T est une sous-catégorie triangulée stable par facteurs directs. Si T admet les petits produits, alors Λ^⊥ est stable par petits produits. Finalement si T admet les petites sommes, et si les objets deΛ sont petits, alorsΛ^⊥ est stable par petites sommes.

Proposition 2.1.27 — Soit T une catégorie triangulée avec petites sommes. Soit Λ ⊂ Ob(T) un ensemble d’objets compacts. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :

1. L’ensembleΛ engendre la catégorie avec petites sommesT i.e. Λ=T, 2. La sous-catégorie Λ^⊥ est réduite à 0,

3. La famille de foncteurs homT(A[n],−) : T //Ab avec A∈Λ etn∈Z est conservative.

Demonstration Les deux dernières assertions sont clairement deux façons différentes de dire la même chose.

Il est immédiat que la première condition implique la seconde (d’ailleurs sans l’hypothèse de compacité sur les objets deΛ). Prouvons l’implication réciproque.

NotonsT0=Λet i:T0⊂ T le foncteur d’inclusion. On prouvera queiest une équivalence.

Il est clair que le foncteur i commute aux petites sommes. PuisqueT0 est compactement engendrée, on dispose d’un adjoint à droite L : T //T0. Puisque i est pleinement fidèle, le morphisme d’unité 1 //L◦i est un isomorphisme. Il reste donc à prouver que le morphisme de co-unité i◦L //1 est inversible.

Soit donc B un objet deT et choisissons un triangle distingué :

(2.2) i◦L(B) //B //C //i◦L(B)[+1]

On montera queC est nul. Pour tout objetAdeT0, on a :

homT(i(A)[m], i◦L(B)) = homT0(A[m], L(B)) = homT(i(A)[m], B)

En utilisant le triangle distingué (2.2), on déduit immédiatement que : homT(i(A), C) = 0. En particulier C est un

objet deΛ^⊥= 0. c.q.f.d

Notons le résultat suivant :

Lemme 2.1.28 — Soit f : T //T⁰ un foncteur triangulé entre deux catégories triangulées avec petites sommes. On suppose quef admet un adjoint à droite g.

1- Si le foncteur g commute aux petites sommes, alors f envoie un objet compact de T sur un objet compact de T⁰.

2- Réciproquement, supposons quef envoie un objet compact deT sur un objet compact de T⁰. Si T est compac-tement engendrée alorsg commute aux petites sommes.

Demonstration Soit A un objet compact de T. Le foncteur hom_T⁰(f(A),−) est isomorphe à hom_T(A, g(−)) = homcatT(A,−)◦g. Le foncteurg commute aux petites sommes. De même pourhom_T(A,−). Ceci montre que f(A) est compact.

Pour la réciproque, on considère une petite famille (Ai)i d’objets deT⁰. On veut monter que le morphisme cano-nique :

⊕ig(Ai) //g(⊕iAi)

est inversible. Par la proposition 2.1.27, on se ramène à prouver que pour tout objet compactCdeT l’homomorphisme : homT(C,⊕ig(Ai)) //homT(C, g(⊕iAi))

CommeCest compact, on se ramène à prouver que l’homomorphisme :

⊕ihomT(C, g(Ai)) //homT(C, g(⊕iAi))

induit par les flèches canoniques g(Ai) //g(⊕iAi) est un isomorphisme. Mais cet homomorphisme correspond par l’adjonction(f, g)à :

⊕ihomT⁰(f(C), Ai) //homT⁰(f(C),⊕iAi)

Cet homomorphisme est effectivement inversible puisquef(C)est compact. c.q.f.d

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