Propriétés des équivalences de Thom

On résume quelques propriétés des équivalences de Thom dans l’énoncé suivant :

Theoreme 1.5.7 — Soit une suite deS-morphismes : X ^s //V ^p //X tel quep◦s=idX etplisse. Pour toutX-schéma X⁰ //X on considère un diagramme commutatif :

X^{0 s}

0

//

V^{0 p}

0

//

X⁰

X ^s //V ^p //X

à carrés cartésiens. Pour toutX-morphisme f : X⁰⁰ //X⁰, on a des2-isomorphismes : – φ(f) : Th(s⁰⁰, p⁰⁰)f^{∗ ∼} //f^∗Th(s⁰, p⁰),

– ψ(f) : f_∗Th(s⁰⁰, p⁰⁰) ^∼ //Th(s⁰, p⁰)f_∗ ,

– χ(f) : f#Th(s⁰⁰, p⁰⁰) ^∼ //Th(s⁰, p⁰)f# sif est lisse,

– ζ(i) : Th(s⁰⁰, p⁰⁰)i^{! ∼} //i^!Th(s⁰, p⁰) sii=f est une immersion.

La famille des équivalences(Th(s⁰, p⁰))X⁰→X munie des2-isomorphismesφ(.)(resp.ψ(.), χ(.)etζ(.)) définit une au-toéquivalence sur le2-foncteur :H^∗(resp.H_∗, ^LissH#et^ImmH^!) restreint auxX-schémas. De plus ces autoéquivalences sont compatibles avec toutes les structures d’échange construites jusqu’à présent.

Demonstration Pour construire les autoéquivalences on se sert de la proposition 1.1.26 et du corollaire 1.5.6. Pour se convaincre de la compatibilité avec les échanges construits dans la section 1.4 il suffit de remarquer que tous les échanges ont été obtenus à partir de l’échange trivial sur(H^∗,H^∗)en :

– utilisant le procédé de la proposition 1.2.5,

– en prenant l’isoéchange inverse dans la cas d’un isoéchange,

– en faisant une restriction (soit au niveau de la classe des carrés, soit aux niveaux des catégories sources).

D’après la proposition 1.2.11 il suffit alors de prouver que nos autoéquivalences sont compatibles avec l’échange de (H^∗,H^∗). En d’autres termes on est ramené à prouver que l’autoéquivalence de Thom est compatible avec les 2-isomorphismes de connexion deH^∗. Ceci est la définition même d’une autoéquivalence. c.q.f.d

Supposons donné maintenant un diagramme commutatif : W

q

p◦q

B

BB BB BB B

X _s //

t}}}}}>>

}}

} V _p //X avecsune immersion fermée,pet qlisses etp◦s=idX. Il vient alors que :

p◦q◦t=p◦s=idX

et quetest une immersion fermée. On peut former le diagramme :

X ^u=t×id //W ×V X ^r=pr2 //X

On a alors que u est une immersion fermée, r est lisse et r◦u = idX. On va construire un 2-isomorphisme (de composition) :

C: Th(t, p◦q) ^∼ //Th(s, p)◦Th(u, r) Pour cela on forme le diagramme commutatif deS-schémas :

X

u

t

$$I

II II II II I

W ×V X^pr1 //

r

W

q

p◦q

A

AA AA AA A

X _s //V _p //X

et on prend la composée du diagramme planaire :

La 2-morphisme ainsi obtenu est un 2-isomorphisme car Ex∗,# est un isomorphisme puisque q est lisse et s une immersion fermée (voir le corollaire 1.4.18). On a la proposition suivante qui complète le théorème 1.5.7 :

Proposition 1.5.8 — Sous les hypothèses du théorème 1.5.7, Les 2-isomorphismes construits tout à l’heure définissent un isomorphisme d’autoéquivalences entre l’autoéquivalence (Th(t⁰, p⁰◦q⁰))X⁰→X et l’autoéquivalence com-posée (Th(s⁰, p⁰)◦Th(u⁰, r⁰))X⁰→X, ceci pour les restrictions des2-foncteurs :H^∗, H∗, ^LissH# et^ImmH^! à la catégorie (Sch/X).

Demonstration En utilisant les deux dernières assertions de la proposition 1.1.26 on voit qu’il suffit de prouver la proposition pour l’autoéquivalence sur la restriction deH_∗ à(Sch/X). En revenant à la définition on voit qu’il suffit de prouver la commutativité des trois diagrammes solides :

• •

La commutation du premier diagramme solide découle facilement de l’axiome de cocycle pour le 2-foncteurH∗. La commutation du troisième diagramme est la compatibilité de l’échange sur(H∗,H#)avec la composition verticale des carrés. Finalement, pour montrer la commutation du cube on le divise selon les plan des deux lignes en pointillé.

Ces lignes correspondent aux1-morphismes(pr1◦f⁰)∗= (f◦pr₁⁰)∗ et(s◦f⁰)∗= (s⁰◦f)∗. La commutation des deux diagrammes ainsi obtenus découle cette fois de la compatibilité de l’échange avec la composition horizontale des carrés.

c.q.f.d

Soit maintenant un diagramme commutatif deS-schémas : U On peut former le diagramme commutatif :

U ×V X

et puis le diagramme :

X ^w //(U×V X)×W×VXX =U×WX ^y //X On a la proposition suivante :

Proposition 1.5.9 — Le carré de2-isomorphismes : Th(n, p◦q◦m) //

Th(t, p◦q)◦Th(w, y)

Th(s, p)◦Th(v, r◦x) //Th(s, p)◦Th(u, r)◦Th(w, y)

est commutatif.

Demonstration On forme le diagramme commutatif de S-schémas : X

w

^v &&NNNNNNNNNNN

n

_pqm000000000000000

X _u //W×V X On en déduit un diagramme planaire dansTR:

(1.24)

Nous allons prouver que la composée du diagramme planaire (1.24) est égale aux deux composées suivantes:

(1.25) Th(n, p◦q◦m) //Th(s, p)◦Th(v, r◦x) //Th(s, p)◦Th(u, r)◦Th(w, y) et

(1.26) Th(n, p◦q◦m) //Th(t, p◦q)◦Th(w, y) //Th(s, p)◦Th(u, r)◦Th(w, y) Ceci prouvera notre proposition.

Prouvons d’abord que la composée de (1.24) est égale au2-morphisme (1.25). Pour cela on divise notre diagramme planaire (1.24) suivant la ligne:

• w∗ //• y#

//• u∗ //• s∗ //• (p◦q)#

//•

Si on attache un2-morphisme de connexion:

• w∗

//• y#

//• u∗

//

(s◦u)∗

FF• s∗

//• (p◦q)#

//•

⇓

à la partie du diagramme planaire (1.24) située au dessus de la ligne choisie il est facile de voir (en utilisant la compatibilité des2-morphismesEx∗,# avec la composition des carrés) qu’on obtient le2-isomorphisme:

Th(n, p◦q◦m) //Th(s, p)◦Th(v, r◦x) Puis en attachant le2-morphisme de connexion (égal à l’inverse du précédent):

⇓

• w_∗

//• y#

//• u_∗

//

(s◦u)∗

• s_∗

//• (p◦q)#

//•

à la partie du diagramme planaire (1.24) située au dessous de la ligne choisie on obtient par définition:

Th(s, p)◦Th(v, r◦x) //Th(s, p)◦Th(u, r)◦Th(w, y) Ceci achève la première moitié de la démonstration.

Il reste donc à prouver que la composée du diagramme planaire (1.24) est égale au2-morphisme (1.26). Pour cela on divise (1.24) suivant la ligne:

• v∗

//• x#

//• r#

//• s∗

//• p#

//•

et on fait exactement comme avant mais en introduisant un 2-isomorphisme de connexion ainsi que son inverse au niveau de la composée: • x#

//• r#

//•. c.q.f.d

On note un dernier résultat qui ne sera pas explicitement utilisé dans la suite :

Corollaire 1.5.10 —Les équivalences de Thom commutent entre elles. Plus précisément si X ^s1 //V1 p1

//X

et X ^s2 //V2 p2

//X sont deux suites comme avant, il existe un2-isomorphisme : Cm: Th(s1, p1)Th(s2, p2) //Th(s2, p2)Th(s1, p1)

Demonstration On poseV =V1×XV2. On a donc une suite :

X ^s=s1×s2 //V //X Cette dernière est obtenue par composition de X ^s1 //V1

p1

//X avec

V1

1×s2

//V //V1

De plus quand on restreint àX on obtient la deuxième suite. On a ainsi un2-isomorphisme : Th(s, p) //Th(s1, p1)Th(s2, p2)

Par symétrie, on obtient le résultat recherché. c.q.f.d

1.5.3 Cas particulier des fibrés vectoriels. Les 2-foncteurs

^Liss

H

^!

et

^Liss

H

!

SoitL unO_X-module localement libre de dimension finie. On note p: V(L) //X

le fibré vectoriel associé. Si s: X //V(L) est la section nulle, on noteraTh(L) l’équivalenceTh(s, p). Lorsque L =O_X on posera aussi parfoisTh(O_X)A[−2] =A(+1). Le1-morphismeTh(O_X)[−2] : A //A(+1) est appelé parfois le twist à la Tate.

La proposition 1.5.9 donne facilement le théorème :

Theoreme 1.5.11 — Soit une suite exacte deO_X-modules localement libres :

0 //N //M //L //0

Il existe alors un2-isomorphisme canonique :

C: Th(M) //Th(L)◦Th(N)

De plus si0⊂M₁⊂M₂⊂M₃=M est une filtration duO_X-module localement libre M en trois crans tel que le gradué soit aussi localement libre, on a un diagramme commutatif :

Th(M) //

Th(M₃/M₂)◦Th(M₂)

Th(M₃/M₁)◦Th(M₁) //Th(M₃/M₂)◦Th(M₂/M₁)◦Th(M₁)

Remarque 1.5.12 —Il faut encore énoncer et prouver un résultat de cohérence pour les équivalences de Thom.

Ceci n’est pas strictement indispensable pour la suite mais pourrait simplifier quelques démontrations.

Le 2-foncteur ^LissH^!

Le théorème 1.5.11 nous permettra de définir sur (Sch/S)^Liss un2-foncteur^LissH^!. Bien sûr on veut queH^!(X) = H(X)pour toutS-schémaX. On posera pour un morphisme lissef :

f^!=Th(Ωf)◦f^∗ oùΩf est le faisceau des différentielles relatives.

Définissons les 2-isomorphismes de connexions. Pour une suite deS-morphismes composables • ^f //• ^g //• on prendrac^!(f, g)la composée :

(g◦f)^! f^!g^!

Th(Ωg◦f)(g◦f)^{∗ c}

∗(f,g)

//Th(Ωg◦f)f^∗g^{∗ C} //Th(Ωf)Th(f^∗Ωg)f^∗g^∗φ(f)

−1

//Th(Ωf)f^∗Th(Ωg)g^∗

Il reste à vérifier l’axiome de cocycle. Soient les trois morphismes lisses composables :

• ^f //• ^g //• ^h //• Il s’agit de vérifier que le diagramme suivant est commutatif :

(hgf)^! //

(gf)^!h^!

f^!(hg)^! //f^!g^!h^!

Notons d’abord le diagramme commutatif suivant :

f^∗Th(Ωg)g^∗Th(Ωh) //

f^∗Th(Ωg)Th(g^∗Ωh)g^∗

Th(f^∗Ωg)f^∗g^∗Th(Ωh)

//Th(f^∗Ωg)f^∗Th(g^∗Ωh)g^∗

Th(f^∗Ωg)(g◦f)^∗Th(Ωh)

++V

VV VV VV VV VV VV VV VV

VV Th(f^∗Ωg)Th(f^∗g^∗Ωh)f^∗g^∗

Th(f^∗Ωg)Th(f^∗g^∗Ωh)(g◦f)^∗

33h

hh hh hh hh hh hh hh hh hh

La commutation du sous-diagramme inférieur étant la compatibilité des2-isomorphismesφavec la composition. On en déduit donc le diagramme commutatif :

Th(Ωf)f^∗Th(Ωg)g^∗Th(Ωh)h^∗ //

Th(Ωf)f^∗Th(Ωg)Th(g^∗Ωh)(hg)^∗

Th(Ωf)Th(f^∗Ωg)(g◦f)^∗Th(Ωh)h^∗ //Th(Ωf)Th(f^∗Ωg)Th(f^∗g^∗Ωh)(hgf)^∗ Et en fin de compte le diagramme commutatif :

f^!g^!h^! //

f^!Th(Ωg)Th(g^∗Ωh)(hg)^∗ //

f^!Th(Ωhg)(gh)^∗ Th(Ωf)Th(f^∗Ωg)(gf)^∗h^! //

Th(Ωf)Th(f^∗Ωg)Th(f^∗g^∗Ωhg)(hgf)^∗ //

Th(Ωf)Th(f^∗Ωgh)(hgf)^∗

Th(Ωgf)(gf)^∗h^! //Th(Ωgf)Th((gf)^∗Ωh)(hgf)^∗ //(hgf)^! Ceci prouve ce que l’on veut.

Le 2-foncteur ^LissH!

On définit également sur (Sch/S)^Liss un2-foncteur^LissH! tel queH!(X) =H(X)pour toutS-schémaX. Pour un S-morphisme lissef on définit le1-morphismeH!(f) =f! par la formule :

f!=f#◦Th⁻¹(Ωf)

Le1-morphismef! est donc adjoint à gauche àf^!. Les2-morphismes d’unité et de counité sont respectivement : 1 //Th(Ωf)Th⁻¹(Ωf)

Th(Ωf)f^∗f#T h⁻¹(Ωf)

et f#Th⁻¹(Ωf)Th(Ωf)f^∗ //f#f^∗

1

D’après 1.1.17 il existe un unique adjoint global à gauche^LissH! de^LissH^! tels que : – H!(f) =f!=f#Th⁻¹(Ωf)pour toutS-morphisme lissef.

– Les2-morphismes d’unité et de counité sont ceux donnés ci-dessus.

Les 2-isomorphismes de connexions relativement à la suite • ^f //• ^g //• sont donnés par la composée des 2-isomorphismes :

(g◦f)! g!f!

(g◦f)#Th⁻¹(Ω_g◦f)^c#(f,g)//g#f#Th⁻¹(Ω_g◦f) ^C //g#f#Th⁻¹(f^∗Ωg)T h⁻¹(Ωf) //g#Th⁻¹(Ωg)f#Th⁻¹(Ωf)

1.5.4 Une structure de foncteurs croisés sur ( H

^∗

, H

^∗

,

^Liss

H

!

,

^Liss

H

^!

)

Pour l’énoncé qui suivra, on utilisera la structure de foncteurs croisés sur le quadruplet (H^∗,H_∗,^LissH#,^LissH^∗) relativement à la classe des carrés cartésiens à flèches verticaux lisses.

Proposition 1.5.13 — Il existe une structure de foncteurs croisés sur le quadruplet : (H^∗,H∗,^LissH!,^LissH^!)

tel pour tout carré cartésien deS-schémas(C):

• ^g

0

//

f⁰

•

f

• ^g //•

avec f lisse, on a :

1. Le2-morphisme d’échangeEx∗,!(C) : f!g_∗⁰ //g_∗f_!⁰ relatif à l’échange sur(H∗,^LissH!)et associé au carré(C) est donné par la composition du diagramme planaire :

• •

• •

• •

Th⁻¹(Ωf⁰)

Th⁻¹(Ωf)

f_#⁰

f#

//g∗

//g⁰_∗

//g⁰_∗





{Ex∗,#(C)





{

2. Le 2-morphisme d’échange Ex^∗,!(C) : g^0∗f^! //f^0!g^∗ relatif à l’échange sur(H^∗,^LissH^!) et associé au carré (C)est donné par la composition du diagramme planaire :

• •

• •

• •

OO

Th(Ωf⁰)

OO

Th(Ωf)

OO

f^0∗

OO

f^∗

oo g^∗

oo g^0∗

oo g⁰_∗





{Ex^∗,∗(C)





{

3. Le 2-isomorphisme d’échange Ex^!_∗(C) : f^!g∗oo ∼ //g⁰_∗f^0! relatif à l’isoéchange sur (H∗,^LissH^!) et associé au carré (C)est donné par la composition du diagramme planaire :

• •

• •

• •

OO

Th(Ωf⁰)

OO

Th(Ωf)

OO

f^0∗

OO

f^∗

//g∗

//g⁰_∗

//g⁰_∗

????

[c

Ex^∗_∗(C)⁻¹

????

[c

ou

• •

• •

• •

OO

Th(Ωf⁰)

OO

Th(Ωf)

OO

f^0∗

OO

f^∗

//g∗

//g⁰_∗

//g⁰_∗

????#

Ex^∗_∗(C)

????#

selon le sens de l’isoéchange (-ou&).

4. Le2-morphisme d’échangeEx∗,!(C) : f!g_∗⁰ //g∗f_!⁰ relatif à l’échange sur(H∗,^LissH!)et associé au carré(C) est donné par la composition du diagramme planaire :

• •

selon le sens de l’isoéchange (-ou&).

Demonstration Il s’agit de vérifier les deux points suivants :

1. Les2-morphismes définis par les diagrammes planaires de l’énoncé définissent bien des structures d’échange.

2. Les échanges s’organisent en un foncteur croisé.

Pour cela, il suffira de prouver (compte tenu que les quatre derniers diagrammes planaires de l’énoncé définissent des 2-isomorphismes) les deux points suivants :

1. La famille des2-morphismesEx^∗,!(C)pour(C)variant dans la classe des carrés cartésiens à morphismes verticaux lisses définit une structure d’échange sur le couple(H^∗,^LissH^!),

2. Les autres 2-morphismes : Ex_∗,!(C), Ex^!_∗(C)et Ex^∗_!(C)sont obtenus par applications itérées de 1.2.5 à partir deEx^∗,!(C)(on se permet de prendre l’inverse lorsqu’il existe pour tous les carrés cartésiens).

Le second point est clair par les propositions 1.1.9 , 1.1.11 et 1.1.12 et la définition même des 2-isomorphismes de commutation avec les équivalences de Thom. Il nous reste donc à établir le premier point i.e. à vérifier la compatibilité des2-morphismesEx^∗,!(C)avec la composition des carrés cartésiens. Là encore on distingue deux cas suivant la nature de la composition :

1. La compatibilité avec la composition horizontale des carrés, 2. La compatibilité avec la composition verticale des carrés.

Le premier point est très facile, on le laisse en exercice. On s’intéresse donc à établir la compatibilité avec la composition verticale des carrés. On se donne donc un diagramme commutatif à carrés cartésiens :

• ^g

Il s’agit de prouver que les deux diagrammes planaires :

(1.27) • •

définissent le même2-morphisme. Pour prouver cela on va expliciter les 2-morphismes qui figurent dans le premier diagramme planaire. On obtient alors le diagramme planaire suivant :

(1.28) • •

Le fait que les équivalences de Thom munies des 2-isomorphismes de commutations avec les H^∗(.) forment une au-toéquivalence de2-foncteurs (compatible avec la structure d’échange triviale donnée par les Ex^∗,∗) implique que les compositions des deux diagrammes planaires :

• •

est la même. En remplaçant dans (1.28) le premier des deux diagrammes planaires ci-dessus par le deuxième, nous obtenons le diagramme planaire suivant :

(1.29) • •

En utilisant maintenant le fait que les2-isomorphismes :

Th(Ωf h) ^C //Th(Ωh)Th(h^∗Ωf)

s’organisent en un isomorphisme d’autoéquivalences de 2-foncteurs (voir la proposition 1.5.8), on voit que les deux diagrammes planaires :

• •

définissent le même2-morphisme. De même l’axiome de cocycle pour les2-isomorphismes de connexion du2-foncteur H^∗ nous dis que les deux diagrammes planaires :

• •

définissent le2-morphisme. En remplaçant dans (1.29) on obtient en fin de compte le diagramme planaire suivant :

• •

LLLLLLLLLLLL

ff

Th(h^0∗Ωf⁰)

LLLLLLLLLLLL

ff

dont la composée fait exactement le second diagramme planaire de (1.27). La proposition est prouvée. c.q.f.d

1.6 Pureté. Construction du foncteur croisé (H

^∗

, H

∗

, H

!

, H

^!

)

On commence la section par un lemme simple qui sera utilisé (ainsi que son corollaire) plusieurs fois dans la suite.

Ce résultat utilise d’une manière essentielle l’axiome de l’homotopie. SoitX unS-schéma. On considère le diagramme commutatif dans(Sch/S)suivant :

X

avecj l’inclusion de la droite affine épointéeE¹_X complémentaire dansA¹_X de la section nullei. Voici notre lemme : Lemme 1.6.1 — Le 2-morphisme :

i^!p^∗ //i^∗p^∗ déduit de la composée :

(1.30) i_∗i^!p^{∗ δ} //p^{∗ η} //i_∗i^∗p^∗

est nul. En particulier la composée (1.30) est elle aussi nulle.

Demonstration Il suffit de prouver que (1.30) est nulle⁷. En remarquant que p∗i∗ 'id il suffit même de prouver que la composée :

p∗i∗i^!p^{∗ δ} //p∗p^{∗ η} //p∗i∗i^∗p^∗

est nulle. Soiti1: X //A¹_X la section unité dep. Je dis que le carré de2-morphismes ci-dessous :

(1.31) p∗p^{∗ η} //

η

p∗i∗i^∗p^∗

∼

p_∗i_1∗i^∗₁p^∗ _∼ //idX∗id^∗_X

est commutatif. (Les2-morphismes désignés par un ∼sont des composées de 2-isomorphismes de connexions). Pour prouver la commutativité du carré (1.31) on va utiliser l’homotopie. L’axiome de l’homotopie nous dit que le 2-morphisme :

1 ^η //p∗p^∗

est un2-isomorphisme. Il suffit donc de prouver que le bord du diagramme suivant : 1

η

##H

HH HH HH HH

η

η

((

p∗p^{∗ η} //

η

p∗i∗i^∗p^∗

∼

p_∗i_1∗i^∗₁p^∗ _∼ //idX∗id^∗_X

est commutatif. Il faut donc prouver que les deux composées :

1 ^η //p∗p^{∗ η} //p∗i∗i^∗p^∗ //idX∗id^∗_X 1 ^η //p∗p^{∗ η} //p_∗i_1∗i^∗₁p^∗ //idX∗id^∗_X

sont égales. Mais par le lemme 1.1.4 les deux composées ci-dessus sont égales au2-morphisme d’unité pour l’adjonction entre idX∗et id^∗X. Ceci prouve la commutation du carré (1.31). Donc pour prouver le lemme il suffira de prouver que la composée :

p_∗i_∗i^∗p^{∗ δ} //p_∗p^{∗ η} //p∗i1∗i^∗₁p^∗ est nulle. Mais cette composée provient de la composée :

(1.32) i∗i^∗p^{∗ δ} //p^{∗ η} //i_1∗i^∗₁p^∗

par application dep^∗. Il suffira donc de prouver que la composée de (1.32) est nulle. Par adjonction on est ramené à prouver que la composée :

i^∗₁i∗i^∗p^{∗ δ} //i^∗₁p^{∗ η} //i^∗₁p^∗

7Parce que pour une immersioni, la counitéi^∗i∗→id est un2-isomorphisme.

est nulle. Mais ceci est évident⁸ puisquei^∗₁i∗'0. c.q.f.d Voici un corollaire du lemme précédent.

Corollaire 1.6.2 — SoitA un objet deH(X). Lorsqu’on applique i^∗ au triangle distingué : i∗i^!p^∗A ^δ //p^∗A ^η //j∗q^∗A ^θ //i_∗i^!p^∗A[+1]

on obtient un triangle distingué scindé. En particulier le morphisme :

i^∗j∗q^∗A ^θ //i^!p^∗A[+1]

admet une section⁹.

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