Le foncteur prolongement par le vide. Le foncteur section à support

On commence par une définition générale qui sera pratique dans la suite : Definition 1.4.5 — Supposons donnés trois 1-morphismes :

a, b, c: T1 //T2

dansT R. En d’autres termes, T1 etT2 sont deux catégories triangulées eta, b etc sont trois foncteurs triangulés de T1 dansT2. Une suite de2-morphismes composables :

a ^α //b ^β //c ^γ //a[+1]

est appelée un2-triangle distingué lorsque pour tout objet P de T1 la suite : a(P) ^α //b(P) ^β //c(P) ^γ //a(P)[+1]

est un triangle distingué de T2.

Le lemme qui suit est une conséquence de l’axiome de localité (se référer aux notes de Deligne [De01] pour plus de détails). Le principe de démonstration est le même que celui de la démonstration de la proposition 1.4.9.

Lemme 1.4.6 — Soient j : U //X une immersion ouverte (entre S-schémas de présentation finie) et i: Z //X une immersion fermée complémentaire. Il existe un unique 2-morphisme ϕtel que la suite :

j#j^{∗ δ}

∗

#(j)

//IdH(X)

η^∗_∗(i)

//i∗i^{∗ ϕ} //j#j^∗[+1]

soit un2-triangle distingué.

Le lemme suggère alors de poser pour j : U //X une immersion ouverte, j! = j# : H(U) //H(X) et j^!=j^∗: H(X) //H(U). On a ainsi la chaîne d’adjonctions habituelle :

j! , j^!=j^∗ , j∗

et le triangle distingué habituel :

j!j^!A //A //i∗i^∗A ^[+1] //j!j^!A[+1]

Le1-morphismej! est appelé classiquement prolongement par le vide.

On garde les notations de 1.4.6. On va construire un foncteur i^! : H(X) //H(Z) adjoint à droite du foncteur i∗: H(Z) //H(X). C’est le foncteur “sections à support dansZ”. SiA∈Ob(H(X))on voudrait avoir un triangle distingué dansH(X):

i∗i^!A //A //j_∗j^∗A ^[+1] //i∗i^!A[+1]

L’idée est donc de définir i^!A comme étant i^∗Cône(A → j_∗j^∗A)[−1]. La difficulté est de rendre cette construction fonctorielle. Pour cela on a les deux lemmes qui suivent :

Lemme 1.4.7 — Sii etj sont comme dans le lemme 1.4.6, alors le1-morphisme j^∗i∗ est nul.

Demonstration Ce 1-morphisme est adjoint à droite dei^∗j#. Il suffit donc de prouver que ce dernier est nul. Mais le carré commutatif :

∅ //

U

Z //X

est cartésien. Donc par l’axiome3on a :i^∗j#' ∅#∅^∗= 0 car la catégorieH(∅)est nulle par l’axiome1. c.q.f.d Lemme 1.4.8 — Supposons choisi pour tout objetA de H(X)un triangle distingué dans H(X):

A //j∗j^∗A ^θ //C(A) //A[+1]

Alors pour tout morphisme α : A //B dans H(X) il existe un unique morphisme C(α) : C(A) //C(B) rendant commutatif le carré :

C(A) //

C(α)

A[+1]

α[+1]

C(B) //B[+1]

Cette même flèche rend également le diagramme suivant :

A //

α

j_∗j^∗A ^θ //

α

C(A) //

C(α)

A[+1]

α[+1]

B //j∗j^∗B ^θ //C(B) //B[+1]

commutatif. Les associations :A→C(A) etα→C(α) définissent alors un endofoncteur triangulé deH(X).

Demonstration L’existence deC(α) rendant le deuxième diagramme commutatif, est assurée par les axiomes des catégories triangulées. Il s’agit de prouver l’unicité deC(α)rendant le premier carré commutatif. Pour cela on prend une autre flècheC⁰(α)rendant le carré commutatif. Le morphismeβ=C⁰(α)−C(α)se trouve alors dans le noyau du morphisme : hom(C(A), C(B)) //hom(C(A), B[+1]). Mais on a une suite exacte de groupes abéliens :

hom(C(A), j∗j^∗B) //hom(C(A), C(B)) //hom(C(A), B[+1])

Donc pour prouver queβ est nul, il suffira de prouver quehom(C(A), j∗j^∗B) = 0. Par adjonction il suffit de prouver quehom(j^∗C(A), j^∗B) = 0. Mais en appliquantj^∗ au triangle de l’énoncé on obtient :

j^∗A //j^∗j∗j^∗A //j^∗C(A) //j^∗A[+1]

Commej est une immersion le morphisme d’adjonction : j^∗j_∗j^∗A //j^∗A est un isomorphisme. Comme c’est une rétraction à j^∗A //j^∗j∗j^∗A ce dernier est un isomorphisme etj^∗C(A) = 0.

L’unicité de C(α)entraîne facilement que A→C(A)définit un foncteur de H(X)dans lui même. Pour voir que c’est un foncteur triangulé, on utilise bien sûr l’axiome de l’octaèdre. Les détails sont laissés aux lecteurs. c.q.f.d Proposition 1.4.9 — 1-Pouri: Z //X il existe un1-morphismei^!: H(X) //H(Z) et un2-triangle distingué :

i∗i^{! δ}

!

∗ //IdH(X) η_∗^∗

//j_∗j^{∗ θ} //i∗i^!A[+1]

De plus le couple formé du foncteuri^! ainsi que le 2-triangle ci-dessus est unique à un isomorphisme unique prés.

2- Siα: A //B est une flèche deH(X)le morphisme i∗i^!(α) : i_∗i^!A //i_∗i^!B est l’unique morphisme de H(Y)rendant le carré :

i∗i^!A

i∗i^!α

//A

α

i∗i^!B //B

commutatif. De plus il fournit un morphisme de triangles distingués : i∗i^!A

i∗i^!α

//A //

α

j_∗j^∗A

j∗j^∗α

//i∗i^!A[+1]

i∗i^!α

i∗i^!B //B //j∗j^∗A //i_∗i^!B[+1]

3-Finalement le1-morphismei^! est adjoint à droite du1-morphismei∗. Le2-morphisme de counité : i∗i^! //1 est celui qui celui qui figure dans le2-triangle distingué. Le2-morphisme d’unité est un2-isomorphisme.

Demonstration Il reste à prouver le point3-. Montrons quei^! est adjoint à droite du foncteuri∗. Calculons pour cela le groupe abélien :hom(U, i^!A)pourU ∈Ob(H(Z))etA∈Ob(H(X)). Par la dernière partie de l’axiome2on a : hom(U, i^!A) = hom(i∗U, i∗i^!A). Ainsi notre groupe s’insère dans une suite exacte longue :

hom⁻¹(i∗U, j∗j^∗A) //hom(U, i^!A) //hom(i_∗U, A) //hom(i_∗U, j_∗j^∗A)

On voit donc qu’il suffit de montrer quehom^k(i∗U, j∗j^∗A) = 0 pour k = 0, −1. CommeU est un objet général de H(Z), il suffit alors de prouver quehom(i∗U, j∗j^∗A) = 0. Maisj∗ admetj^∗ pour adjoint à gauche. On en déduit que hom(i∗U, j∗j^∗A) = hom(j^∗i∗U, j^∗A) = 0carj^∗i∗= 0par le lemme 1.4.7. c.q.f.d

Corollaire 1.4.10 —Il existe à un unique isomorphisme près un2-foncteur :

ImmH^!: (Sch/S)^Imm //TR

qui soit un adjoint global à droite du 2-foncteur ^ImmH∗. On notera c^!(f, g) les 2-isomorphismes de connexion de ce 2-foncteur.

1.4.5 Une structure de foncteurs croisés sur ( H

^∗

, H

^∗

,

^Liss

H

#

,

^Liss

H

^∗

)

Notre point de départ est la structure d’échange triviale relativement à la classe des carrés commutatifs de(Sch/S) sur le couple (H^∗,H^∗). Cette structure d’échange est induite par les 2-isomorphismes de connexion. En effet il s’agit de deux isoéchanges inverses l’un de l’autre de type.et%qui à un carré commutatif de S-schéma :

X^{0 g}

0

//

f⁰

X

f

Y^{0 g} //Y

associe respectivement les deux2-isomorphismes inverses l’un de l’autre : g^0∗◦f^{∗ c}

∗(g⁰,f)⁻¹

//(f ◦g⁰)^∗ (g◦f⁰)^{∗ c}

∗(f⁰,g)

//f^0∗◦g^∗

f^0∗◦g^{∗ c}

∗(f⁰,g)⁻¹

//(g◦f⁰)^∗ (f◦g⁰)^{∗ c}

∗(g⁰,f)

//g^0∗◦f^∗

On définit à l’aide de la proposition 1.2.5 une structure d’échange de type - sur le couple(H^∗,H_∗) à partir de la structure d’échange de type%sur(H^∗,H^∗)et l’adjonction globale entreH_∗ etH^∗. SiC est un carré commutatif :

X^{0 g}

0

//

f⁰

X

f

Y^{0 g} //Y

On appelleraEx^∗_∗(C)le2-morphisme d’échange :

Ex^∗_∗(C) : g^∗f∗ //f_∗⁰g^0∗

de cette structure d’échange relativement à un carré commutatif(C). Par définitionEx^∗_∗(C)est la composée : g^∗f_∗ ^η

∗

∗(f⁰)

//f⁰_∗f^0∗g^∗f_∗^c

∗(f,g)^{0 −1}

//f⁰_∗(g◦f⁰)^∗f_∗ f⁰_∗(f◦g⁰)^∗f_∗ ^c

∗(g,f⁰ )

//f⁰_∗g^0∗f^∗f_∗ ^δ

∗

∗(f)

//f⁰_∗g^0∗

Remarque 1.4.11 — Il existeà priori une autre structure d’échange sur le couple(H^∗,H∗). Elle est obtenue à partir de la structure d’échange triviale sur(H∗,H_∗)de type.et l’adjonction globale entreH_∗etH^∗. Le2-morphisme d’échange de cette structure associé au carré commutatif de tout à l’heure est égal à la composée :

g^∗f_∗ ^η

∗

∗(g⁰)

//g^∗f_∗g⁰_∗g^0∗c∗(g

,f0 )⁻¹

//g^∗(f◦g⁰)_∗g^0∗ g^∗(g◦f⁰)_∗g^0∗c∗(f

,g)0

//g^∗g∗f^0∗g^0∗δ

∗

∗(g)

//f⁰_∗g^0∗

Le fait que cette structure d’échange coïncide avec celle définie tout à l’heure est une conséquence directe du lemme 1.1.15.

Par restriction on a une structure d’échange de type % sur (H^∗,^LissH^∗). En utilisant l’adjonction globale entre

LissH^∗ et^LissH#on obtient une structure d’échange (pour la classe des carrés commutatifs avec morphismes verticaux lisses) de type . sur le couple de 2-foncteurs(H^∗,^LissH#). On notera Ex^∗_#(.) les2-morphismes d’échange de cette structure. Pour un carré commutatif deS-morphismes :

X^{0 g}

0

//

f⁰

X

f

Y^{0 g} //Y

avecf et f⁰ lisses, le2-morphisme d’échange :

Ex^∗_#(C) : f_#⁰ g^0∗ //g^∗f#

est la composée : f_#⁰g^{0∗ η}

∗

#(g)

//g^∗g#f⁰_#g^0∗c

∗(f,g)^{0 −1}

//g^∗(g◦f⁰)#g^0∗ g^∗(f◦g⁰)#g^0∗c

∗(g,f⁰ )

//g^∗f#g⁰_#g^{0∗ δ}

∗

#(g⁰)

//g^∗f#

On a également la formule :^a(Ex^∗_∗(C)) =Ex^∗_#(C) (voir la proposition 1.1.5 pour la définition de l’opération ^a(.)).

Lorsque le carré(C)est cartésien l’axiome3nous dit que le2-morphisme d’échangeEx^∗_#(C)est un 2-isomorphisme.

En d’autres termes, la restriction de cet échange à la sous-classe formée des carrés cartésiens est un isoéchange. D’après la proposition 1.2.14 on a alors :

Proposition 1.4.12 —On a un foncteur croisé de (Sch/S)et(Sch/S)^Lissvers TR par rapport à la classe des carrés cartésiens à flèches verticales lisses. Ce foncteur croisé est défini par les données :

– Le2-foncteurH^∗ et son adjoint global à droiteH∗,

– Le2-foncteur^LissH^∗ et son adjoint global à gauche ^LissH#, – La structure d’échange triviale sur(H^∗,^LissH^∗),

– La structure d’échange sur(H∗,^LissH_#)déduite de l’isoéchange de type-inverse de l’isoéchange sur(H^∗,^LissH_#) (par rapport aux carrés cartésiens) et de l’adjonction globale entreH_∗ etH^∗,

Pour un carré cartésienC :

• ^g

0

//

f⁰

•

f

• _g //•

avecf lisse, le2-morphisme d’échange de la structure d’échange sur(H∗,^LissH^∗)est donné parEx^∗_∗ appliqué au carré commutatif :

• ^f

0

//

g⁰

•

g

•

f //•

Le 2-isomorphisme d’échange de la structure d’échange sur (H^∗,^LissH#) est donné par le 2-morphisme Ex^∗_#(C).

Finalement le 2-morphisme d’échange Ex∗,#(C) relatif à la structure d’échange sur (H∗,^LissH#) est donné par la composée :

f#g⁰_∗ //g∗g^∗f#g_∗^{0 (Ex}

∗

#)⁻¹

//g∗f⁰_#g^0∗g⁰_∗ //g∗f⁰_#

En particulier, on a le résultat suivant, dont l’analogue dans [SGA 4] est connu sous le nom du “théorème de changement de base par un morphisme lisse” :

Proposition 1.4.13 — Soit un carré cartésien dansSch/S :

X^{0 g}

0

//

f⁰

X

f

Y^{0 g} //Y

avec g lisse. Le 2-morphisme d’échange Ex^∗_∗: g^∗f∗ //f_∗⁰g^0∗ est un2-isomorphisme. En d’autre termes l’échange sur(H^∗_liss,H_∗)est un isoéchange (par rapport aux carrés cartésiens).

1.4.6 Une structure de foncteurs croisés sur ( H

^∗

, H

^∗

,

^Imm

H

!

,

^Imm

H

^!

)

Dans la même veine, on continue avec le “cas trivial” du “théorème de changement de base pour un morphisme propre”.

Lemme 1.4.14 — Soit un carré cartésien :

T ^g

0

//

i⁰

Z

i

Y ^g //X

avec iune immersion fermée. Le2-morphisme d’échangeEx^∗_∗: g^∗i_∗ //i⁰_∗g^0∗ est un2-isomorphisme.

Demonstration FixonsA un objet deH(Z). Soit j: U //X l’immersion de l’ouvert complémentaire de i(Z).

Notons aussiil’immersion ouverte deY×XU dansY. L’objetg^∗i∗Aest à support dansT carj^∗g^∗i∗A'g^∗j^∗i∗A'0.

Donc le2-morphisme d’unité : g^∗i∗A //i⁰_∗i^0∗g^∗i∗A est un2-isomorphisme. Mais notre2-morphisme d’échange est égal à la composée :

g^∗i∗A ^∼ //i⁰_∗i^0∗g^∗i∗A //i^0∗g^0∗i^∗i∗A //i^0∗g^0∗A

Le deuxième2-morphisme est un 2-isomorphisme puisque c’est une composée de deux 2-morphismes de connexions c^∗. Le troisième2-morphisme est aussi un2-isomorphisme par l’axiome2. Le lemme est prouvé. c.q.f.d L’échange sur(H^∗,^ImmH_∗)par rapport à la classe des carrés cartésiens défini par les 2-morphismesEx^∗_∗ est donc un isoéchange de type-. En utilisant la proposition 1.2.14 :

Proposition 1.4.15 — On a un foncteur croisé de (Sch/S)et (Sch/S)^ImmversTR par rapport à la classe des carrés cartésiens à flèches verticales des immersions fermées. Ce foncteur croisé est défini par les données :

– Le2-foncteurH^∗ et son adjoint global à droiteH_∗,

– Le2-foncteur^ImmH^! et son adjoint global à gauche ^ImmH_∗, – La structure d’échange triviale sur(H∗,^ImmH_∗),

– La structure d’échange sur(H^∗,^ImmH^!)déduite de l’isoéchange de type&inverse de l’échange sur(H^∗,^ImmH_∗) (par rapport aux carrés cartésiens) et de l’adjonction globale entre ^ImmH_∗ et^ImmH^!,

Pour un carré cartésienC :

• ^f

0

//

i⁰

•

i

•

f //•

avec i une immersion fermée, le 2-morphisme d’échange de la structure d’échange sur (H∗,^ImmH^!) est donné par Ex^!_∗(C) =^a(Ex^∗_∗(C)). C’est donc la composée :

f_∗⁰i^{0! η}

!

∗(i)

//i^!i_∗f⁰_∗i^0!c∗(f

,i)0 ⁻¹

//i^!(i◦f⁰)_∗i^0! i^!(f◦i⁰)_∗i^{0! c∗(i}

,f0)

//i^!f⁰_∗i⁰_∗i^{0! δ}

!

∗(i⁰)

//i^!f⁰_∗

L’échange sur(H^∗,^ImmH^!) est donné par les 2-morphismes d’échange : Ex^!,∗(C) : f^0∗i^! //i^0!f^∗ égaux à la com-posée :

f^0∗i^{! η}

!

∗(i)

//i^0!i⁰_∗f^0∗i^{! Ex}

∗

∗(C)⁻¹

//i^0!f^∗i∗i^{! δ}

!

∗(i)

//i^0!f^∗

Voici une caractérisation des2-morphismes d’échangeEx^!,∗ : Proposition 1.4.16 — 1-Soit un carré cartésienC :

T ⁱ

0

//

f⁰

Y

f

Z ⁱ //X

On suppose queiest une immersion fermée. Le2-morphismee=Ex^!,∗est l’unique2-morphismee: f^0∗i^! //i^0!f^∗ rendant le diagramme suivant commutatif :

(1.20) f^∗i∗i^! //

Ex^∗_∗

f^∗

i⁰_∗f^0∗i^!

e

i⁰_∗i^0!f^∗ //f^∗ 2- Formons le diagramme commutatif :

T ⁱ

0

//

f⁰

Y

f

j⁰ V

oo

f⁰⁰

Z ⁱ //X U^joo

avec j les inclusions des ouverts complémentaires à i. Le carré de droite est également cartésien. Le morphisme e=Ex^!,∗ fournit pour toutA∈H(X)un morphisme de triangles distingués :

(1.21) f^∗A //f^∗j∗j^∗A //

f^∗i∗i^!A[+1] //

Ex^∗_∗◦Ex^!,∗

f^∗A[+1]

f^∗A //j∗j^∗f^∗A //i∗i^!f^∗A[+1] //f^∗A[+1]

Demonstration La preuve de cet énoncé est facile. La preuve de l’existence et l’unicité du morphismeeest totalement analogue à celle du fait queA→C(A)est un foncteur (voir lemme 1.4.8)⁴. On prouvera donc seulement queEx^!,∗=e.

Mais pour cela il suffit de prouver que le diagramme obtenu un remplaçant epar Ex^!,∗ dans le diagramme 1.20 de

l’énoncé est commutatif. Mais ceci découle de la proposition 1.2.5. c.q.f.d

Corollaire 1.4.17 — Supposons quef est lisse. Le2-morphisme d’échangeEx^!,∗est alors un2-isomorphisme.

Demonstration Il suffit d’appliquer la proposition 1.4.13 et le lemme 1.4.14 et d’utiliser le morphisme de triangles

distingués 1.21 de la proposition 1.4.16. c.q.f.d

Par adjonction on a aussi :

Corollaire 1.4.18 — Sous les hypothèses du corollaire 1.4.17 le2-morphisme d’échange : Ex∗,#: f#i⁰_∗ //i_∗f_#⁰

relativement à l’échange sur(H∗,^LissH#)est un2-isomorphisme.

4Il faut utiliser en plus le fait queEx^∗∗est un2-isomorphisme, ce qui découle du lemme 1.4.14.

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