Deux sources en champ libre

Le premier exemple est une source primaire ponctuelle qui rayonne en champ libre. On souhaite r´eduire l’´energie rayonn´ee par un contrˆole utilisant une source secondaire ponctuelle. On suppose que les sources rayonnent `a la pulsation ω. Les d´ebits des sources primaire et secondaire sont not´es qp et qs respectivement. Le d´ebit de la source primaire est fix´e tandis que le d´ebit de la source secondaire peut ˆetre ajust´e par le dispositif de contrˆole. Les amplitudes complexes de la pression `a proximit´e des points occup´es par les sources primaire et secondaire sont donn´ees par

p_p = Z_ppq_p+ Z_psq_s

ps= Zspqp+ Zssqs (14.4)

Les Z sont les diff´erentes imp´edances qui, en champ libre, sont donn´ees par Z = −i^ρ0ω2 4πc ^e

ikr kr , ρ₀ ´etant la densit´e du fluide, c la vitesse du son, k = ^2π_λ le nombre d’onde et λ la longueur d’onde.

Les puissances rayonn´ees par les sources primaire et secondaire sont donn´ees par

Wp = ¹ 2x→x^limp Re(q_p^∗pp(x)) W_s= ¹ 2x→x^lims Re(q^∗_sp_s(x)) (14.5)

L’exposant * d´esigne le complexe conjugu´e, Re la partie r´eelle et xp et xs sont les positions des sources primaires et secondaires. La puissance totale rayonn´ee par le syst`eme `a deux sources est donn´ee par

W_T = W_p+ W_s= ¹

2[|qs|²R_ss+ q^∗_sR_spq_p+ q^∗_pR_psq_s+ |qp|²R_pp] (14.6) avec Rss= Re(Zss), Rpp = Re(Zpp) et Rsp = Re(Zsp). Les premier et dernier termes sont respec-tivement les puissances rayonn´ees par les sources secondaire et primaire si celles-ci ´etaient seules

dans l’espace. Le terme incluant R_sp traduit le couplage entre les deux sources. Il d´ecrit l’influence de la source secondaire sur la puissance rayonn´ee par la source primaire. En champ libre nous avons

R_ss = R_pp= ^ρ0ω 2 4πc R_sp = ^ρ0ω 2 4πc ^{sinc kr (14.7)}

avec sinc kr = ^{sin kr}_kr . source dipolaire

Si la source secondaire est choisie en opposition de phase avec la source primaire, l’´energie totale rayonn´ee est

W_T = 2W_pp[1 − sinc kr] (14.8)

W_pp = |qp|²R_pp/2 ´etant la puissance rayonn´ee lorsque la source primaire est seule dans l’espace. Si kr < 1.89, ce qui s’´ecrit aussi r < 0.3λ, la puissance rayonn´ee par l’ensemble des deux sources est inf´erieure `a la puissance qui serait rayonn´ee par la source primaire seule. Pour r > λ la puissance totale rayonn´ee est approximativement ´egale au double de la puissance de la source primaire seule. Dans ce cas le contrˆole actif est inefficace.

Source secondaire optimale

La puissance totale rayonn´ee est une fonction quadratique de l’amplitude q_s de la source secondaire qui a un minimum pour une valeur unique de cette amplitude. En d´erivant par rapport `a cette amplitude, on obtient

q_s0= −R⁻¹ssR_spq_p= −qpsinc kr (14.9)

On peut alors calculer la puissance totale rayonn´ee qui est donn´ee par

W_T = W_pp[1 − sinc²kr] (14.10)

Cette puissance est toujours inf´erieure `a la puissance que rayonnerait la source secondaire seule mais ne conduit `a une r´eduction significative de la puissance rayonn´ee que quand r < 0.3λ, voir la figure 14.4.

Le domaine d’application du contrˆole actif est donc les basses fr´equences, typiquement jusqu’`a environ 1000 Hz dans les applications courantes. Pour contrˆoler les hautes fr´equences, il faut utiliser des moyens passifs tels que les isolants, cloisons, laines de roche qui eux ne sont pas efficaces dans les basses fr´equences. La combinaison des moyens passif et actif est efficace sur tout le spectre.

Consid´erons une source ponctuelle de d´ebit acoustique q_p et de fr´equence angulaire ω plac´ee en champ libre et envisageons le contrˆole de l’´emission acoustique par l’interf´erence g´en´er´ee par une deuxi`eme source ponctuelle de d´ebit acoustique qs et de fr´equence ´egale, plac´ee `a distance d de la source primaire. La source ponctuelle monopolaire est, de fa¸con id´eale, une sph`ere de diam`etre infinit´esimal qui g´en`ere des ondes de pression sph´eriques de fr´equence donn´ee ; son d´ebit correspond au volume balay´e dans l’unit´e de temps par la surface de la sph`ere. Il s’agit d’un mod`ele utilis´e pour les haut parleurs en champ libre.

On se place dans les conditions de l’hypoth`ese de champ lointain, de sorte que le champ de pression acoustique g´en´er´e par les deux sources s’´ecrit

p(r, θ) = −iωρ0e^ikr 4πr



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 W T /W pp r/λ

Fig.14.4 – Efficacit´e d’un contrˆole en champ libre.

Une strat´egie simple de contrˆole consiste `a annuler la pression dans une direction θ0 : p(r, θ0) = 0 ; ce r´esultat est obtenu en donnant `a la source secondaire le d´ebit

q_s= −qpe^{ikd cos θ}0 (14.12) ailleurs dans le champ lointain on obtient alors

p(r, θ) = −iωρ0q_pe^ik(r+d2cos θ)

4πr



1 − e^{−ikd(cos θ−cos θ}0)^ (14.13)

qui correspond `a la solution due `a la seule source primaire, pp(r, θ), multipli´ee par un facteur d’att´enuation complexe fonction de θ₀

p(r, θ) = p_p(r, θ)^1 − e^{−ikd(cos θ−cos θ}0)^ (14.14)

Si on calcule le rapport des carr´es des modules de la pression acoustique avec et sans source secondaire (on rappelle que |1 − e^jx| =

q

(1 − ejx)(1 − ejx) =p2(1 − cos x) ), on obtient |p(r, θ)|²

|pp(r, θ)|2 = 2 (1 − cos (kd(cos θ0− cos θ))) (14.15)

La figure 14.5 donne le trac´e polaire du facteur d’amplification d´efini `a l’´equation (14.15) pour

θ0 = 0 et pour une distance entre les sources de (respectivement de gauche `a droite et de haut

en bas) 2λ, λ, λ/2, λ/4. La figure 14.6 donne le trac´e polaire du facteur d’amplification d´efini

`a l’´equation (14.15) pour θ₀ = π/3 et pour une distance entre les sources de (respectivement de

gauche `a droite) λ/2, λ/4.

On voit que l’on obtient l’att´enuation du champ lointain pour tout θ tel que

Les in´egalit´es (14.16) peuvent ˆetre v´erifi´ees pour θ et θ₀ donn´es par un choix ad´equat de d, la distance entre les sources

d ≤ ^π

3k| cos θ0− cos θ| ^(14.17)

qui, ´etant donn´e que max | cos θ0− cos θ| = 2, conduit `a la solution

d = ^π

6k ⁼

λ

12 ^(14.18)

pour la distance maximale `a laquelle il faut positionner les deux sources afin d’att´enuer en tout point l’´emission acoustique dont la longueur d’onde est sup´erieure ou ´egale `a λ.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 -3 -2