4.2 Différents opérateurs de fusion syntaxique
4.2.1 Somme
La stratégie Somme vise la réduction du nombre total de formules retirées dans le profil de croyances en ne tenant aucun compte de leur répartition dans les différentes bases.
Les stratégies sont représentées par des pré-ordres sur les R-ensembles potentiels. Nous donnons le pré-ordre pour la stratégie Somme.
Définition 4.2.1 (Pré-ordre ≤Σ). Soit E = {K1, . . . , Kn} un profil de croyances. Soient X et X′ deux R-ensembles potentiels de E. Le pré-ordre ≤Σ est défini de la manière suivante : X≤Σ X′ si et seulement si X 1≤i≤n |X ∩ Ki| ≤ X 1≤i≤n |X′∩ Ki|
Grâce à ce pré-ordre, il est possible de définir le R-ensemble selon Somme de la manière suivante :
Définition 4.2.2 (R-ensemble selon Σ). Soient E = {K1, . . . , Kn} un profil de croyances et IC un ensemble de formules représentant les contraintes pesant sur l’opération tel que K1⊔ . . . ⊔ Kn⊔ IC est incohérent. X est un R-ensemble de E contraint par IC selon la stratégie Σ si et seulement si :
– X est un R-ensemble potentiel de E contraint par IC ;
– Il n’existe pas de R-ensemble potentiel X′⊆ K1⊔ . . . ⊔ Kn tel que X′ ⊂ X. – Il n’existe pas de R-ensemble potentiel X′ ⊆ K1⊔. . .⊔Kntel que P1≤i≤n|X′∩Ki| <
P
1≤i≤n|X ∩ Ki|.
Cela conduit à l’opérateur de fusion suivant :
Définition 4.2.3 (Fusion selon Σ). Soient E = {K1, . . . , Kn} un profil de croyances et IC un ensemble de formules représentant les contraintes. Soit FΣ,ICR(E) l’ensemble des R-ensembles de E contraint par IC selon Σ. L’opération de fusion est définie comme suit :
∆RSFΣ,IC(E) = _
X∈FΣ,ICR(E)
{((K1⊔ . . . ⊔ Kn)\X) ⊔ IC}
Dans le cas de la fusion pure, où IC = ⊤, nous notons indifféremment ∆RSF
Σ,⊤ (E) ou ∆RSF
Σ (E).
Exemple 4.2.1. Nous reprenons l’exemple 4.2.3 pour illustrer cette stratégie. Le R-ensemble selon la stratégie Σ est R1 ={¬s, d}. Ainsi, ∆RSF
Σ,⊤ (K1⊔ K2⊔ K3) = {¬d, s ∨ o, d ∨ o, ¬o ∨ ¬d, s, o}
4.2.1.1 Postulats KP
Nous allons montrer les propriétés de cet opérateur au regard des postulats KP re-formulés dans notre cadre.
Proposition 4.2.1. Soient E = {K1, . . . , Kn} un profil de croyances et IC un ensemble de formules représentant les contraintes. L’opération de fusion ∆RSF
Σ,IC(E) respecte les postulats suivants : (IC0),(IC1),(IC2),(IC5),(IC6),(IC7),(IC8).
Nous donnons maintenant la preuve de la proposition postulat par postulat. Pour sim-plifier l’écriture des preuves, nous définissons FP,ICΠRSF,sF(E) comme étant : FP,ICΠRSF,sF(E) = ∪X∈FΠRSF,s
P,IC R(E)(E\X). (IC0)
L’opération de fusion ∆RSF
Σ,IC(E) est définie de la manière suivante : ∆RSFΣ,IC(E) = _
X∈FΣ,ICR(E)
{((K1⊔ . . . ⊔ Kn)\X) ⊔ IC}
Ainsi, par définition de l’opération ∆RSF
Σ,IC(E), (IC0) est vérifié. (IC1)
Tous les éléments de F ∈ FΣ,ICF(E) sont définis tels que F ⊔ IC est cohérent. Ainsi, par définition de l’opération ∆RSF
Σ,IC(E), (IC1) est vérifié. (IC2)
Si E ⊔ IC est cohérent, alors par définition FΣ,ICR(E) = {∅} : – E ⊔ IC est cohérent ;
– ∅ est minimal pour l’inclusion ;
– Et il ne peut exister de R-ensemble potentiel plus petit au sens de ≤Σ. et donc il n’y qu’un seul élément dans FΣ,ICF(E) qui est égal à E.
(IC3)
Nous allons donner un contre-exemple invalidant le postulat (IC3). K1={a, b} K2 ={c}
K3 ={¬a} K4 ={a ∧ b}
E1= K1⊔ K2⊔ K3 E2= K2⊔ K3⊔ K4
Dans ce cas, on obtient :
FΣ,⊤RSFF(E1) ={{a, b, c}, {¬a, b, c}} FΣ,⊤RSFF(E2) ={{a ∧ b, c}, {¬a, c}}
On peut constater que les deux ensembles ne sont pas équivalents. Par exemple, ¬b ∧ c est cohérent avec {¬a, c} mais avec aucun élément du flock FRSF
Σ,⊤ F(E1). Le postulat (IC3) n’est donc pas vérifié.
4.2. DIFFÉRENTS OPÉRATEURS DE FUSION SYNTAXIQUE 101 (IC4)
Nous allons donner un contre-exemple invalidant le postulat (IC4). IC =⊤
K1 ={¬b}
K2 ={b ∨ ¬c, b ∨ ¬d, c, d} Dans ce contexte, ∆RSF
Σ,⊤ (K1⊔ K2) = K1 et ∆RSF
Σ,⊤(K1⊔ K2)⊔ K1 est cohérent alors que ∆RSFΣ,⊤(K1⊔ K2)⊔ K2 est incohérent.
Le postulat (IC4) n’est donc pas vérifié. (IC5)
Soient E1={K1, . . . , Km} et E2 ={Km+1, . . . , Kn} deux profils de croyances. Soient F1∈ FRSF
Σ,⊤ F(E1) et F2 ∈ FRSF
Σ,⊤ F(E2) tels que F1⊔ F2 est cohérent. Nous notons X1 le R-ensemble correspondant à F1 et X2 le R-ensemble correspondant à F2.
Supposons que F1⊔ F2 6∈ FRSF
Σ,⊤ F(E1⊔ E2). Il peut y avoir trois raison à cela : 1. F1⊔ F2 est incohérent ;
2. ∃X ⊂ (X1⊔ X2) tel que (E1⊔ E2)\X est cohérent. 3. ∃X tel que (E1⊔E2)\X est cohérent et tel queP
i∈{1,...,n}|X∩Ki| <P
i∈{1,...,n}|(X1⊔ X2)∩ Ki|
Nous montrons qu’aucune de ces possibilités n’est compatible avec les hypothèses. 1. F1⊔ F2 est cohérent par hypothèse.
2. Nous avons dans ce cas, on a soit X ∩ E1 ⊂ X1 soit X ∩ E2⊂ X2 :
– X ∩ E1 ⊂ X1. Or, ((E1 ⊔ E2)\X) ⊔ IC est cohérent. Donc, (E1\X) ⊔ IC est cohérent. Donc, (E1\(X ∩ E1)) ⊔ IC est cohérent. Mais dans ce cas, X1 ne pourrait pas être un R-ensemble de E1 selon Σ
– X ∩ E2 ⊂ X2. La preuve au similaire au cas X ∩ E1⊂ X1. 3. Nous avons alors dans ce cas soit Pi∈{1,...,m}|X ∩ Ki| <P
i∈{1,...,m}|X1∩ Ki| soit P
i∈{m+1,...,n}|X ∩ Ki| <P
i∈{m+1,...,n}|X2∩ Ki|. – Pi∈{1,...,m}|X ∩ Ki| < P
i∈{1,...,m}|X1∩ Ki|. Comme nous l’avons montré pré-cédemment, (E1\(X ∩ E1))⊔ IC est cohérent, cette hypothèse interdirait à X1
d’être un R-ensemble de E1 contraint par IC selon Σ. – Pi∈{m+1,...,n}|X ∩ Ki| <P
i∈{m+1,...,n}|X2∩ Ki|. La preuve au similaire au cas P
i∈{1,...,m}|X ∩ Ki| <P
i∈{1,...,m}|X1∩ Ki|. Le postulat (IC5) est donc vérifié.
(IC6)
Soient E1={K1, . . . , Km} et E2 ={Km+1, . . . , Kn} deux profils de croyances. Sup-posons qu’il existe F1 ∈ FRSF
Σ,⊤ F(E1) et F2 ∈ FRSF
Σ,⊤ F(E2) tels que F1⊔ F2 est cohérent. Nous notons X1 le R-ensemble correspondant à F1 et X2 le R-ensemble correspondant à F2.
Supposons également qu’il existe F ∈ FRSF
Σ,⊤ F(E1⊔E2) tel que F∩E1 6∈ FRSF Σ,⊤ F(E1) (Le cas F ∩ E2 6∈ FRSF
Σ,⊤ F(E2) est symétrique). Nous notons X le R-ensemble correspon-dant à F . Il peut y avoir trois raisons à cela :
1. (E1\(X ∩ E1))⊔ IC est incohérent.
2. Il existe X′ tel que (E1\X′)⊔ IC est cohérent et X′ ⊂ (X ∩ E1). 3. Il existe X′ tel que (E1\X′)⊔ IC est cohérent et
X
i∈{1,...,m}
|X′∩ Ki| < X
i∈{1,...,m}
|(X ∩ E1)∩ Ki|
Nous montrons qu’aucune de ces possibilités n’est compatible avec les hypothèses. 1. D’après les hypothèses, (E1⊔ E2)\X) ⊔ IC est cohérent. Donc, (E1\X) ⊔ IC est
cohérent. Donc, (E1\(X ∩ E1))⊔ IC est cohérent. 2. Découle du cas suivant.
3. X1 et X2 étant minimaux au sens de ≤Σ, nous avons : X i∈{1,...,m} |X1∩ Ki| < X i∈{1,...,m} |(X ∩ E1)∩ Ki| et X i∈{m+1,...,n} |X2∩ Ki| < X i∈{m+1,...,n} |(X ∩ E2)∩ Ki|
ce qui implique que X
i∈{1,...,n}
|(X1⊔ X2)∩ Ki| < X
i∈{1,...,n}
|X ∩ Ki|
ce qui est incompatible avec l’hypothèse selon laquelle X est un R-ensemble de E car F1⊔ F2 est cohérent par hypothèse.
Le postulat (IC6) est donc validé. (IC7)
Soit E = {K1, . . . , Kn} un profil de croyances. Supposons qu’il existe F ∈ FRSF Σ,IC1F(E) tel que F ⊔ (IC1∧ IC2) est cohérent. Nous notons X le R-ensemble correspondant à F .
Supposons que F 6∈ FRSF
Σ,IC1∧IC2F(E). Il peut y avoir trois raisons à cela : 1. F ⊔ (IC1∧ IC2) est incohérent ;
4.2. DIFFÉRENTS OPÉRATEURS DE FUSION SYNTAXIQUE 103 2. Il existe X′ tel que (E\X′)⊔ IC1∧ IC2 est cohérent et X′ ⊂ X ;
3. Il existe X′ tel que (E\X′)⊔ IC1∧ IC2 est cohérent et X
i∈{1,...,n}
|X′∩ Ki| < X
i∈{1,...,n}
|(X ∩ Ki|
Nous montrons qu’aucune de ces possibilités n’est compatible avec les hypothèses. 1. F ⊔ (IC1∧ IC2) est incohérent est impossible par hypothèse.
2. (E\X′)⊔ (IC1∧ IC2) est cohérent donc (E\X′)⊔ IC1 est cohérent aussi. Ce qui serait incompatible avec l’hypothèse selon laquelle X serait un R-ensemble de E contraint par IC1 selon la stratégie Σ.
3. Démonstration similaire au cas précédent. Le postulat (IC7) est donc validé.
(IC8)
Supposons qu’il existe F1 ∈ FRSF
Σ,IC1∧IC2F(E) tel que F1∧ (IC1∧ IC2) est cohérent. Nous notons X1 le R-ensemble correspondant à F1.
Supposons qu’il existe un F ∈ FRSF
Σ,IC1∧IC2F(E) tel que F 6∈ FRSF
Σ,IC1F(E). Il peut y avoir trois raisons à cela :
1. F ⊔ IC1 est incohérent ;
2. Il existe X′ tel que (E\X′)⊔ IC1 est cohérent et X′ ⊂ X ; 3. Il existe X′ tel que (E\X′)⊔ IC1 est cohérent et
X
i∈{1,...,n}
|X′∩ Ki| < X
i∈{1,...,n}
|(X ∩ Ki|.
Nous montrons qu’aucune de ces possibilités n’est compatible avec les hypothèses. 1. F ⊔ (IC1∧ IC2) est cohérent, donc F ⊔ IC1 est cohérent également.
2. Découle du cas suivant.
3. X1 est minimal au sens de ≤Σ. Ainsi, Pi∈{1,...,n}|X1∩ Ki| ≤P
i∈{1,...,n}|(X′∩ Ki|. Or, Pi∈{1,...,n}|X′∩Ki| <P
i∈{1,...,n}|(X ∩Ki| implique queP
i∈{1,...,n}|X1∩Ki| < P
i∈{1,...,n}|(X ∩ Ki|. Or (E\X1)⊔ IC1 est cohérent ce qui interdirait à X d’être un R-ensemble de E contraint par IC1 selon Σ.
Le postulat (IC8) est donc validé.
4.2.1.2 Équivalence avec l’opérateur Intersection L’opération de fusion ∆RSF
Σ,IC(E) est équivalente à l’opérateur Intersection ∆∩,Σ(E) décrit au paragraphe 3.2.5.2.
Proposition 4.2.2. Soit E = {K1, . . . , Kn} un profil de croyances IC un ensemble de formules représentant les contraintes. L’égalité suivante est vérifiée :
∆RSFΣ,IC(E) = ∆∩,ΣIC (E). Preuve.
Nous allons montrer la double inclusion : ∆∩,ΣIC (E)⊆ ∆RSF
Σ,IC(E) Supposons qu’il existe un élément M de FRSF
Σ,ICF(E) tel que M ∈ FΣ,ICRSFF(E) et M 6∈ ∆∩,ΣIC (E). Si M ∈ FΣ,ICRSFF(E), cela signifie que pour tout sous-ensemble M′ de E tel que M′⊔ IC est cohérent,P
Ki∈E|Ki∩ M′| ≤P
Ki∈E|Ki∩ M|. Or, si M 6∈ ∆∩,ΣIC (E), cela signifie qu’il existe au moins un sous-ensemble M′ de E tel que M′⊔ IC est cohérent et tel que P
Ki∈E|Ki∩ M| < P
Ki∈E|Ki ∩ M′|. Ce qui est incohérent avec l’hypothèse.
∆RSF
Σ,IC(E)∧ IC ⊆ ∆∩,ΣIC (E) La démonstration est similaire avec M 6∈ FRSF
Σ,ICF(E) et M ∈ ∆∩,ΣIC (E).