Généralisation de la Révision par R-ensembles

La révision par R-ensembles, rappelée dans la section 3.1.3.3 et détaillée dans [BnBPW04], est définie dans le cas où les formules sont sous Forme Normale Conjonctive. L’opéra-tion de révision est définie de la manière suivante. Soit K et A deux ensembles cohé-rents de clauses et soit R(K ∪ A) l’ensemble des R-ensembles de K ∪ A : K ◦RSRA = W

R∈R(K∪A)Cons({(K\R) ∪ A}).

Afin de montrer que la fusion par R-ensembles est une généralisation de l’opération de révision par R-ensembles, nous modifions légèrement la définition de RSF :

∆^RSF_Σ,IC(E) = ^_

X∈FΣ,ICR(E)

Cons({((K1⊔ . . . ⊔ Kn)\X) ⊔ IC}).

C’est à dire que l’opération de fusion par R-ensembles du singleton E = {K1} contraint par IC est équivalente à la révision par R-ensembles de K₁ par IC.

Proposition 4.4.1. Soit E = {K1} un profil de croyances constitué d’un singleton et IC un ensemble de formules représentant les contraintes, alors :

∆^RSF_Card,IC(E)≡ K1◦RSRIC.

Preuve. ∆RSF

Card,IC(E) ≡ Cons({K1\X | tel que (K1\X) ⊔ IC est cohérent et ∀X′ tel que (K1\X′)⊔ IC est cohérent

alors |X| < |X′|}) ≡ K1◦RSRIC.

4.4. GÉNÉRALISATION DE LA RÉVISION PAR R-ENSEMBLES 117 Exemple 4.4.1. Soit K = {¬c, a ∨ c, b ∨ c} et A = {¬a, ¬b, d ∨ e, ¬d ∨ ¬e} deux bases de croyances. Nous obtenons pour la révision par R-ensembles :

K◦RSRA = Cons({a ∨ c, b ∨ c, ¬a, ¬b, d ∨ e, ¬d ∨ ¬e}). Et nous obtenons pour la fusion par R-ensembles :

∆^RSF_Card,A(K) = Cons({a ∨ c, b ∨ c, ¬a, ¬b, d ∨ e, ¬d ∨ ¬e}). Nous constatons que les résultats sont similaires.

Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre l’opération de fusion par R-ensembles ainsi que l’adaptation des opérateurs classiques (Somme, Card, Max et GMax) à notre cadre. Nous avons montré les propriétés de ces opérateurs par rapport aux postulats de Ko-nieczny et Pino-Perez. Nous avons également montré que les opérateurs de fusion par R-ensembles ∆RSF

Card,IC(E), ∆RSF

M ax,IC(E) et ∆RSF

GM ax,IC(E) étaient indépendants de la ma-jorité. Nous avons montré que l’opération de fusion par R-ensembles est une généralisation de la révision par R-ensembles. Nous avons également présenté une caractérisation séman-tique des opérations de fusion par R-ensembles. Ce résultat a fait l’objet de publications dans [HPW07b, HPW07a, HPW08b, HPW08a].

Nous allons maintenant montrer une méthode pour mettre en œuvre la fusion par R-ensembles à l’aide de la programmation logique avec sémantique des modèles stables.

Chapitre 5

Mise en œuvre

On ne retient vraiment que ce qui s’intègre dans l’ensemble de ses connais-sances. Monique Corriveau, Compagnon du soleil

Introduction

Nous allons maintenant proposer une méthode pour mettre en œuvre de la fusion par R-ensembles. Cette méthode est basée sur la traduction du problème de fusion en un programme logique dont les modèles stables permettent de donner effectivement les résultats de l’opération de fusion.

Cette traduction est composée de deux parties. La première partie calcule l’ensemble des R-ensembles potentiels de E contraint par IC. La seconde partie s’attèle à la sélection des R-ensembles potentiels qui sont minimaux en fonction de la stratégie choisie.

Nous montrons tout d’abord la traduction du problème de fusion du profil E contraint par IC en un programme logique ΠE,IC. Puis nous montrons que les modèles stables de ce programme correspondent aux R-ensembles potentiels du profil. Ensuite, nous donnons la définition de modèles stables préférés avant de montrer que les R-ensembles de E contraint par IC selon la stratégie P sont les modèles stables préférés d’un programme Π_E,IC selon cette même stratégie.

5.1 Traduction en programme logique avec sémantique des

modèles stables

Le programme que nous allons décrire dans cette section se base sur le constat qu’il est possible de définir les R-ensembles potentiels à partir des interprétations. Ainsi nous allons créer un programme qui génère l’ensemble des interprétations puis, à chacune de ces interprétations nous allons associer un R-ensemble potentiel — qui sera simplement l’ensemble des formules falsifiées par l’interprétation. Cette méthode fournit l’ensemble des R-ensembles qui sont minimaux au sens de l’inclusion.

Soient un profil de croyances E = {K1, . . . , Kn} et IC un ensemble de croyances représentant les contraintes. Nous construisons un programme Π_E,IC dont les solutions correspondent aux R-ensembles potentiels E contraint par IC. Dans le cas où IC = ⊤, nous écrivons indifféremment Π_E,⊤ ou Π_E.

Cette traduction s’effectue en plusieurs étapes :

– la première étape génére les interprétations sur lesquelles vont se baser la construc-tion des R-ensembles potentiels ;

– la deuxième étape construit les R-ensembles potentiels basés sur ces interpréta-tions ;

– la troisième étape permet de construire les R-ensembles restants à construire ; – la quatrième étape permet de représenter les contraintes IC et d’exclure les

R-ensembles potentiels en contradiction avec elles.

Le programme ΠE,IC que nous construisons permet d’associer à chaque modèle stable un R-ensemble potentiel.

Nous répresentons les atomes de E dans Π_E,IC. Un atome a dans le profil de croyances E sera représenté par un atome a dans ΠE,IC. L’ensemble de tous les littéraux positifs de Π_E,IC est noté V+.

À partir de chaque atome a de V+, nous construisons un atome a′ représentant la négation de a. L’ensemble de tous les littéraux négatifs de ΠE,IC est noté V−.

Nous présentons maintenant les quatre parties constitutives de notre traduction.

5.1.1 Première étape : génération des interprétations

Dans la première étape, nous introduisons des règles permettant de construire une correspondance entre les modèles stables de ΠE,IC et les interprétations de V+. Pour chaque atome, a ∈ V+ nous introduisons deux règles :

– a ← not a′. – a′ ← not a.

Exemple 5.1.1. Soit E = {K1, K₂, K₃} le profil de croyances défini dans l’exemple 4.1.4. Les interprétations de Π_E sont générées par les règles suivantes :

s← not s^′ s^′ ← not s d ← not d^′ d^′ ← not d o ← not o^′ o^′← not o

5.1.2 Deuxième étape : détermination des R-ensembles potentiels

cor-respondants

Dans la seconde étape, nous supprimons les formules qui ne sont pas cohérentes avec l’interprétation courante. Formellement, nous excluons les modèles stables S qui correspondent aux interprétations qui ne sont pas des modèles de (K₁ ⊔ . . . ⊔ Kn)\Ci

avec Ci ={f | rf ∈ S}.

L’ensemble de tous les atomes représentant les formules est défini par R+={rⁱf | f ∈ Ki} et FO(rⁱ_f) représente les formules de Ki correspondant à ri

f dans ΠE,IC, autrement dit ∀ri

f ∈ R+, F_O(ri

5.1. TRADUCTION EN PROGRAMME LOGIQUE AVEC SÉMANTIQUE DES MODÈLES STABLES121 règle. L’absence d’une formule dans le R-ensemble potentiel est représentée par l’atome

r^′i_f qui est, en quelque sorte, une négation de ri

f. L’ensemble des atomes de règle dans un R-ensemble potentiel R est noté R−.

5.1.2.1 Le cas clausal

Dans ce cas, les formules sont mises sous forme CNF.

Pour chaque clause c de K_j telle que c = ¬b0 ∨ . . . ∨ ¬bn∨ bn+1∨ . . . ∨ bm, nous introduisons la règle suivante :

– rc^j ← b0, . . . , b_n, b^′_n+1, . . . , b^′_m.

Exemple 5.1.2. Soit E = {K1, K₂, K₃} le profil de croyances défini dans l’exemple 4.1.4. Les atomes suivants seront utilisés dans le programme logique Π_E en fonction de leur utilité :

– V+={s, d, o} ; – V−={s^′, d^′, o^′} ; – R+={r1

¬d, r¹_s∨o, r²_¬s, r²_d∨o, r_¬d∨¬o² , r³_s, r³_d, r_o³}. – R−={r¹¬d^′ , r¹_s∨o^′ , r²_¬s^′, r_d∨o^2′ , r_¬d∨¬o^2′ , r_s^3′, r³_d^′, r_o^3′}.

Les atomes de règles de chaque modèle stable de Π_E sont générés à l’aide des règles suivantes : r_¬d¹ ← d r¹_s∨o ← s′, o^′ r_¬s² ← s r_d∨o² ← d^′, o^′ r²_¬d∨¬o← d, o r³s ← s^′ r3 d← d^′ r3 o ← o^′

Les règles du programme Π_E décrites dans les exemples 5.1.1 et 5.1.2 génèrent les modèles stables suivants (entre parenthèses les R-ensembles potentiels correspondants) :

– S₁ ={s^′, d^′, o^′, r_s∨o¹ , r_d∨o² , r_s³, r³_d, r³_o}, (R1={s ∨ o, d ∨ o, s, d, o}) ; – S₂ ={s, d^′, o^′, r2 ¬s, r2 d∨o, r3 d, r3 o}, (R2 ={¬s, d ∨ o, d, o}) ; – S3 ={s′, d^′, o, r³_d, r_s³}, (R3={d, s}) ; – S₄ ={s, d^′, o, r²_¬s, r_d³}, (R4 ={¬s, d}) ; – S₅ ={s^′, d, o^′, r1 ¬d, r1 s∨o, r3 s, r3 o}, (R5 ={¬d, s, o, s ∨ o}) ; – S6 ={s, d, o′, r¹_¬d, r_¬s² , r³_o}, (R6 ={¬d, o, ¬s}) ; – S₇ ={s^′, d, o, r¹_¬d, r_¬d∨¬o² , r³_s}, (R7 ={¬d, s, ¬d ∨ ¬o}) ; – S₈ ={s, d, o, r1 ¬d, r2 ¬s, r2 ¬d∨¬o}, (R8={¬d, ¬s, ¬d ∨ ¬o}) ;

Nous pouvons constater que ce programme calcule l’ensemble minimal de clauses à retirer pour chaque interprétation. Les R-ensembles potentiels non-minimaux (dont la plupart sont inutilement gros) ne sont pas calculés. Les règles décrites dans 5.1.3 permettent de les calculer.

5.1.2.2 Cas des bases de croyances composées de formules quelconques Soient f, f1, . . . , fn des formules de K_i. L’ensemble des littéraux positifs (resp. né-gatifs) de ΠE est noté V+ (resp. V−). Soit f ∈ Ki une formule, nous notons ri

f l’atome de règle qui correspond à f. L’ensemble des tous les atomes représentant les formules, appelés atomes de règle, est défini par R+={ri

nécessite la création d’atomes intermédiaires représentant les sous-formules de f. Nous notons ρ^j_f l’atome intermédiaire représentant fj qui est une sous-formule de f ∈ Ki. De plus, nous notons F_O(r_fⁱ) la formule de K_i correspondant à ri

f dans Π_E. En d’autres termes ∀ri

f ∈ R+, FO(rⁱ_f) = f . La création de ΠE se déroule en plusieurs étapes. Les étapes sont similaires à celles décrites dans 5.1, à l’exception de 5.1.2 qui doit représenter la complexité des formules bien formées quelconques.

Cette étape introduit les atomes de règle qui permettent de déterminer les R-ensembles potentiels associés aux interprétations. La présence de l’atome de règle ri

f dans le modèle stable S signifie que f est dans le R-ensemble potentiel correspondant. Quelle que soit la formule f, les règles suivantes sont introduites selon la syntaxe de f :

1. Si f ≡ a, la règle correpondante est ri

f ← not a ; 2. Si f ≡ ¬f1, la règle correpondante est ri

f ← not ρf1; 3. Si f ≡ f1∨ . . . ∨ f^m, la règle correpondante est ri

f ← ρf1, . . . , ρ_fm;

4. Si f ≡ f1∧. . .∧fm, il est alors nécessaire de rajouter plusieurs règles au programme. Les règles correpondantes sont ∀1 ≤ j ≤ m, ri

f ← ρfj.

Exemple 5.1.3. Soit E = {K1, K₂, K₃} le profil de croyances constitué des bases K1 = {a ∨ b, b}, K2 = {a ↔ b, b} et K3 ={¬a ∧ ¬b, ¬a ∨ ¬b}. Le programme logique corres-pondant est le suivant :

Π_E =                        a← not a^′. a^′ ← not a. b← not b′. b′ ← not b. r_a∨b¹ ← not a, not b. r_b¹ ← not b. r²_a↔b← ρ²1. r_a↔b² ← ρ²2. ρ2 1 ← a, not b. ρ2 2 ← not a, b. r_b²← not b. r³_¬a∧¬b← ρ3 1. r³_¬a∧¬b← ρ³2. ρ³₁← a. ρ3 2 ← b. r3 ¬a∨¬b← a, b.                       

Le programme Π_E possède les modèles stables suivants (entre parenthèses, le R-ensemble potentiel correspondant) :

– S₁={a, b, r3

¬a∨¬b, ρ3 2, ρ3

1, r3

¬a∧¬b}, (R1 ={¬a ∨ ¬b, ¬a ∧ ¬b}) ; – S2={a′, b, ρ³₂, r_¬a∧¬b³ , ρ²₂, r_a↔b² }, (R2={¬a ∧ ¬b, a ↔ b}) ;

– S₃={a, b′, ρ³₁, r_¬a∧¬b³ , r_b², ρ²₁, r_a↔b² , r¹_b}, (R3 ={¬a ∧ ¬b, b, a ↔ b, b}) ; – S₄={a^′, b^′, r2

b, r1 a∨b, r1

b}, (R4={b, a ∨ b, b}) ;

5.1.3 Troisième étape : génération des R-ensembles restants

Les deux précédentes étapes dessinent un programme qui génère l’ensemble des R-ensembles potentiels minimaux au sens de la cardinalité. Mais ceux qui ne sont pas mini-maux ne sont pas tous générés. Cependant s’il est nécessaire de les générer le programme suivant le permet.

5.2. ÉQUIVALENCE ENTRE MODÈLE STABLE ET R-ENSEMBLE POTENTIEL123