Une question intéressante est de définir la contrepartie sémantique de l’opération de fusion syntaxique que nous avons définie. Selon le point de vue sémantique, le résultat de la fusion est un ensemble d’interprétations.
Afin de pouvoir définir la contrepartie sémantique de la fusion par R-ensembles, il est nécessaire de modifier sa définition afin qu’elle prenne en compte les conséquences des formules appartenant ∆RSF
P,IC(E). Ainsi, pour cette section, nous considérerons la définition suivante :
Définition 4.3.1. Soient E = {K1, . . . , Kn} un profil de croyances et IC un ensemble de formules représentant les contraintes. Soit P une stratégie de fusion. Soit FP,ICR(E)
4.3. CONTREPARTIE SÉMANTIQUE 111 l’ensemble des R-ensembles de E contraint par IC selon P . Nous définissons l’opération de fusion de la manière suivante :
∆RSFP,IC(E) = _
X∈FP,ICR(E)
Cons({((K1⊔ . . . ⊔ Kn)\X) ⊔ IC}).
Soit E = {K1, . . . , Kn} un profil de croyances. Soit ω une interprétation. Nous notons N SE(ω) l’ensemble des formules de E qui sont falsifiées par ω. Nous définissons un pré-ordre sur les interprétations pour une stratégie P .
Définition 4.3.2. Soit E = {K1, . . . , Kn} un profil de croyances. Soient ωi et ωj deux interprétations. Soit P une stratégie de fusion. Nous définissons le pré-ordre total ≤E
P,sem
de la manière suivante :
ωi≤P,semωj si et seulement si N SE(ωi)≤P N SE(ωj).
Grâce à ce pré-ordre, nous pouvons définir la contrepartie sémantique de l’opération de fusion, que nous notons NRSF
P,IC(E). Les interprétations qui seront retenues comme résultats de l’opération de fusion seront celles qui sont minimales au sens de la stratégie P choisie. Ainsi :
Définition 4.3.3. Soit E = {K1, . . . , Kn} un profil de croyances et IC un ensemble de formules représentant les contraintes. Soit P une stratégie de fusion.
NRSF
P,IC(E) = min(M od(IC),≤P,sem) .
L’équivalence entre les opérateurs sémantiques et syntaxiques est donnée par la pro-position suivante.
Proposition 4.3.1. Soit E = {K1, . . . , Kn} un profil de croyances et IC un ensemble de formules représentant les contraintes. Soit P une stratégie de fusion.
M od(∆RSFP,IC(E)) = NRSFP,IC(E) . Preuve. M od(∆RSF P,IC(E))⊆ NRSF P,IC(E) ∀ω ∈ Mod(∆RSF
P,IC(E)), il existe au moins un R-ensemble X ∈ FRSF
P,ICR(E) tel que ω ∈ Mod((E\X) ⊔ IC). Soit N SE(ω) l’ensemble des formules de E non satisfaites par ω. X étant un R-ensemble, nous savons queN SE(ω) = X.
Si ω 6∈ min(Mod(IC), ≤P), alors il existe une interprétation ω′ ∈ Mod(IC) tel que N SE(ω′) <P N SE(ω). Or N SE(ω′) <P N SE(ω) =P X n’est pas compatible avec le fait que X soit un R-ensemble. Ainsi, Mod(∆RSF
P,IC(E))⊆ NRSF P,IC(E).
NRSF
P,IC(E)⊆ Mod(∆RSF P,IC(E))
∀ω ∈ min(Mod(IC), ≤P), nous supposons que N SE(ω) 6= ∅ car K1⊔ . . . ⊔ Kn est incohérent. N SE(ω) ⊆ E et ω |= IC et ω |= (E\N SE(ω)). Donc (E\N SE(ω)) est cohérent.
∀ω′ ∈ Mod(IC), on a N SE(ω)≤P N SE(ω′) car dans le cas contraire ω n’appartien-drait pas à min(Mod(IC), ≤P) ). Ainsi, N SE(ω) est un R-ensemble de E contraint par IC selon la stratégie P et NRSFP,IC(E)⊆ Mod(∆RSF
P,IC(E)).
M od(∆RSFP,IC(E)) NRSF
P,IC(E) = min(M od(IC),≤P,sem)
E, IC (W, ≤p,sem)
équivalence ∆RSF
P,IC NRSFP,IC
Figure 4.1 – Liens entre la Fusion par R-ensembles et sa contrepartie sémantique
4.3.1 Contrepartie sémantique de l’opérateur Somme
Nous définissons le pré-ordre pour la contrepartie sémantique de la stratégie Somme de la manière suivante :
Définition 4.3.4 (Pré-ordre ≤Σ,sem). Soit E = {K1, . . . , Kn} un profil de croyances. Soient ωi et ωj deux interprétations. Le pré-ordre ≤Σ,sem est défini de la manière sui-vante : ωi≤Σ,semωj si et seulement si X 1≤i≤n |N SE(ωi)∩ Ki| ≤ X 1≤i≤n |N SE(ωj)∩ Ki|.
À partir de la définition précédente, nous pouvons définir la contrepartie sémantique de l’opération de fusion selon la stratégie Somme.
Définition 4.3.5 (Fusion selon Σ). Soient E = {K1, . . . , Kn} un profil de croyances et IC un ensemble de formules représentant les contraintes. La contrepartie sémantique de
4.3. CONTREPARTIE SÉMANTIQUE 113 l’opération de fusion de E contraint par IC selon la stratégie Somme est définie de la manière suivante :
NRSFΣ,IC(E) = min(M od(IC),≤Σ,sem). Nous donnons un exemple pour illustrer la stratégie Somme.
Exemple 4.3.1. Reprenons l’exemple 3.2.2. Soient 3 bases de croyances proposition-nelles, K1={¬d, s ∨ o}, K2 ={¬s, d ∨ o, ¬d ∨ ¬o}, K3 ={s, d, o}.
Nous donnons un tableau qui récapitule les différentes interprétations et leur valeur selon la stratégie Somme. Les valeurs grisées correspondent aux minimaux selon ≤Σ.
ωi K1 K2 K3 Σ {¬s, ¬d, ¬o} 1 1 3 5 {¬s, ¬d, o} 0 0 2 2 {¬s, d, ¬o} 2 0 2 4 {¬s, d, o} 1 1 1 3 {s, ¬d, ¬o} 0 2 1 3 {s, ¬d, o} 0 1 1 2 {s, d, ¬o} 1 1 1 3 {s, d, o} 1 2 0 3
Nous voyons donc que NRSF
Σ,IC(E) ={{¬s, ¬d, o}, {s, ¬d, o}}.
4.3.2 Contrepartie sémantique de l’opérateur Card
Nous définissons le pré-ordre pour la contrepartie sémantique de la stratégie Card de la manière suivante :
Définition 4.3.6 (Pré-ordre ≤Card,sem). Soit E = {K1, . . . , Kn} un profil de croyances. Soient ωi et ωj deux interprétations. Le pré-ordre ≤Card,sem est défini de la manière suivante :
ωi≤Card,semωj si et seulement si |N SE(ωi)| ≤ |N SE(ωj)|.
À partir de la définition précédente, nous pouvons définir la contrepartie sémantique de l’opération de fusion selon la stratégie Card.
Définition 4.3.7 (Fusion selon Card). Soient E = {K1, . . . , Kn} un profil de croyances et IC un ensemble de formules représentant les contraintes. La contrepartie sémantique de l’opération de fusion de E contraint par IC selon la stratégie Card est définie de la manière suivante :
NRSF
Card,IC(E) = min(M od(IC),≤Card,sem). Nous donnons un exemple pour illustrer la stratégie Card.
Exemple 4.3.2. Reprenons l’exemple 4.3.1. Nous donnons un tableau qui récapitule les différentes interprétations et leur valeur selon la stratégie Card. Les valeurs grisées correspondent aux minimaux selon ≤Card.
ωi K1 K2 K3 Card {¬s, ¬d, ¬o} 1 1 3 5 {¬s, ¬d, o} 0 0 2 2 {¬s, d, ¬o} 2 0 2 4 {¬s, d, o} 1 1 1 3 {s, ¬d, ¬o} 0 2 1 3 {s, d, ¬o} 0 1 1 2 {s, d, ¬o} 1 1 1 3 {s, d, o} 1 2 0 3
Nous voyons donc que NRSF
Card,IC(E) ={{¬s, ¬d, o}, {s, ¬d, o}}.
4.3.3 Contrepartie sémantique de l’opérateur M ax
Nous définissons le pré-ordre pour la contrepartie sémantique de la stratégie Max de la manière suivante :
Définition 4.3.8 (Pré-ordre ≤M ax,sem). Soit E = {K1, . . . , Kn} un profil de croyances. Soient ωi et ωj deux interprétations. Le pré-ordre ≤M ax,sem est défini de la manière suivante :
ωi≤M ax,semωj si et seulement si max
1≤i≤n|N SE(ωi)∩ Ki| ≤ max
1≤i≤n|N SE(ωj)∩ Ki|. À partir de la définition précédente, nous pouvons définir la contrepartie sémantique de l’opération de fusion selon la stratégie Max.
Définition 4.3.9 (Fusion selon Max). Soit E = {K1, . . . , Kn} un profil de croyances et IC un ensemble de formules représentant les contraintes. La contrepartie sémantique de l’opération de fusion selon la stratégie Max est définie de la manière suivante :
NRSF
M ax,IC(E) = min(M od(IC),≤M ax,sem). Nous donnons un exemple pour illustrer la stratégie Max.
Exemple 4.3.3. Reprenons l’exemple 4.3.1. Nous donnons un tableau qui récapitule les différentes interprétations et leur valeur selon la stratégie Max. Les valeurs grisées correspondent aux minimaux selon ≤M ax.
4.3. CONTREPARTIE SÉMANTIQUE 115 ωi K1 K2 K3 M ax {¬s, ¬d, ¬o} 1 1 3 3 {¬s, ¬d, o} 0 0 2 2 {¬s, d, ¬o} 2 0 2 2 {¬s, d, o} 1 1 1 1 {s, ¬d, ¬o} 0 2 1 2 {s, ¬d, o} 0 1 1 1 {s, d, ¬o} 1 1 1 1 {s, d, o} 1 2 0 2
Nous voyons donc que NRSF
M ax,IC(E) ={{¬s, d, o}, {s, ¬d, ¬o}, {s, ¬d, o}}.
4.3.4 Contrepartie sémantique de l’opérateur GM ax
Nous rappelons que pour chaque R-ensemble potentiel X et chaque base de croyances Ki, nous définissons que pi
X = |X ∩ Ki| alors LEX est définie comme étant la séquence (p1
X, . . . , pn
X) du R-ensemble potentiel X sur le profil de croyances E ordonnée de façon décroissante. Nous définissons le pré-ordre pour la contrepartie sémantique de la stratégie GM ax de la manière suivante :
Définition 4.3.10 (Pré-ordre ≤GM ax,sem). Soit E = {K1, . . . , Kn} un profil de croyances. Soient ωiet ωj deux interprétations. Le pré-ordre ≤GM ax,semest défini de la manière sui-vante :
ωi ≤GM ax,semωj si et seulement si LE
N SE(ωi)<lexLEN S
E(ωj).
À partir de la définition précédente, nous pouvons définir la contrepartie sémantique de l’opération de fusion selon la stratégie GMax.
Définition 4.3.11 (Fusion selon GMax). Soient E = {K1, . . . , Kn} un profil de croyances et IC un ensemble de formules représentant les contraintes. La contrepartie sémantique de l’opération de fusion de E contraint par IC selon la stratégie GMax est définie de la manière suivante :
NRSFGM ax,IC(E) = min(M od(IC),≤GM ax,sem).
Nous donnons un exemple pour illustrer la stratégie GMax.
Exemple 4.3.4. Reprenons l’exemple 4.3.1. Nous donnons un tableau qui récapitule les différentes interprétations et leur valeur selon la stratégie GMax. Les valeurs grisées correspondent aux minimaux selon ≤GM ax.
ωi K1 K2 K3 GM ax {¬s, ¬d, ¬o} 1 1 3 (3, 1, 1) {¬s, ¬d, o} 0 0 2 (2, 0, 0) {¬s, d, ¬o} 2 0 2 (2, 2, 0) {¬s, d, o} 1 1 1 (1, 1, 1) {s, ¬d, ¬o} 0 2 1 (2, 1, 0) {s, ¬d, o} 0 1 1 (1,1,0) {s, d, ¬o} 1 1 1 (1, 1, 1) {s, d, o} 1 2 0 (2, 1, 0) Nous voyons donc que NRSF
GM ax,IC(E) ={{s, ¬d, o}}.