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Solutions basées sur le modèle d’interférence additif

Nœud récepteur

3.3.2. Solutions existantes de planification des liens

3.3.2.3. Solutions basées sur le modèle d’interférence additif

Dans (Gousse vskaia, Oswald et Wattenhofer, Complexity in geometri c SINR 2007) , les auteurs prouvent analytiquement que le problème de planification de l’ensemble des liens d’un réseau selon le modèle d’inte rfé rence additif ave c minimisation de la taille de la fenêtre de planifi cation est NP-complet. Les auteurs proposent un algorithme approximatif de planification de liens basé sur une

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réduction du problème. Ce t algorithme réparti t les liens dans des ensembles. Chaque ensemble, noté 𝑅𝑖, cet regroupe les liens du réseau dont la longueur 𝑙 est comprise entre 2𝑖 ≤ 𝑙 ≤ 2𝑖+1. Ainsi, chaque lien appa rtient à un ensemble 𝑅𝑖 tel que, 𝑅𝑖∈ 𝑅 = 𝑅0, … 𝑅𝑙𝑚𝑎𝑥 . Pour chaque ensemble 𝑅𝑖 non vide, l’espa ce est parti tionné en ca rré de longueur 𝜇2𝑖, ave c 𝜇 une valeur fixe. Chaque carré (ou cellule) est ensuite colorié de telle manière qu’a ucun ne soit de la même couleur qu’un ca rré adjacent et que le nombre de couleurs utilisées ne soit pas supérieur à quatre. Un lien appartient à une cellule si son récepteur est dans la cellule. Puis, l’algorithme choisit aléatoirement, dans chaque cellule d’une même couleur issue de la pa rtition d’un ensemble 𝑅𝑖 , un lien encore non planifié. L’ensemble des liens séle ctionnés sont associés à un même nouveau slot. Pa r exemple, d’après la fi gure 17, si l’algori thme choisit un lien par carré jaune, représenté par une flèche sur la figure, alors on associe tous ces liens à un même slot.

Figure 17 : Division de l’espace de l’ensemble 𝑹𝒊. Un lien par carré jaune est associé à un même slot.

On recommence la procédure jusqu’à ce que tous les liens de 𝑅𝑖soient planifiés puis que tous les liens de tous les ensembles 𝑅𝑖 de R le soient également. Si on note ∆ le nombre maximum de liens dans une cellule, sachant qu’il y a quatre couleurs et que le nombre d’ensemble s est |R|, alors la taille de la fenêtre de planification est au maxi mum de ∆ ∗ |𝑅| ∗ 4. Par la suite, les auteurs montrent que l’algorithme génère une planification sans interférence selon le modèle additif. La valeur de |R| dépend du nombre de liens et peut s’exprime r sous la forme d’une fonction g(L) a vec L l’ensemble des liens du réseau. Les auteurs prouvent analytiquement que leur algorithme approxime la solution optimale du problème a vec un taux 𝑂(𝑔(𝐿)). Ce t arti cle présente ainsi un algorithme permettant de résoudre approximati vement le problème de planification de lien basé sur un modèle d’inte rférence additif. Cependant, il ne précise pas comment intégre r ce t algorithme dans un réseau, de plus il considère que tous les liens supportent la même charge réseau ce qui est rarement le cas dans un réseau mesh multi-sauts, ce rtains liens étant plus sollici tés que d’autres

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Dans (Wan, Xu et Friede r 2010), les auteurs proposent deux algorithmes d’approximation pour résoudre le problème de la minimisation de la fenêtre de planifi cation des liens (SLS pour Shortest

Link Schedule) dans un réseau ad-hoc multi sauts. Le premier algorithme permet de résoudre le

problème de la minimisation de la planification de liens dans un réseau mesh où l’ensemble des nœuds possèdent la même puissance d’émission, et le second algorithme perme t de résoudre le problème SLS dans un réseau mesh où l’ensemble des nœuds sont capable s de modifier leur puissance d’émission. Ils peuvent alors choisir leur puissance, cette dernière doit être comprise dans un ensemble 𝑃 de valeurs possibles. Le problème de la minimisation de la fenêtre planification de liens consiste à trouver la planification de liens possédant la plus petite fenêtre de planification pour un ensemble 𝐸’ de liens appartenant à l’ensemble 𝐸 des liens du réseau. Les auteurs résol vent ce problème via un algori thme d’approximation glouton qui planifie les liens, slot après slot cet algorithme va faire appel à un second algorithme qui diffère selon si le réseau mesh est basé sur de nœuds ave c puissance de contrôle ou non. Ce t algori thme glouton associe, à chaque slot, un ensemble ma ximum de liens indépendants (MLSI Maximum Independant Set Of Links) dans E’ qui n’ont encore jamais été planifiés. L’algori thme s’arrête quand tous les liens ont été planifiés. Un ensemble maximum de liens indépendant (MISL) est le plus grand ensemble 𝐼 de liens indépendants, c.à .d. qui peuvent émettre simultanément sans collision selon le modèle d’interférence additif, dans un sous ensemble 𝐸’. Afin de trouver un ensemble ma ximal de liens indépendants dans E’ qui n’ont encore jamais été planifiés, l’algori thme glouton fait soit appel à l’algori thme approxi matif proposé dans (Wan, Xiaohua et Frances 2009) si le réseau est composé de nœuds ne pouvant pas contrôler leur puissance ou leur propre algorithme approximatif sinon. Ainsi, ce t article présente deux algorithmes gloutons dont l’un résout le problème SLS dans un réseau mesh sans puissance de contrôle a vec une approximation en 𝑂(𝑙𝑛 𝛼 ) a vec 𝛼 le nombre d’ensembles de liens indépendants 𝐼 existants dans le réseau, et un second qui résout le problème SLS dans un réseau mesh avec puissance de contrôle a vec une approximation en 𝑂(𝛽𝑙𝑛 𝛼 ). Le paramètre 𝛽 est la plus petite valeur 𝑘 telle qu’il e xiste une pa rti tion de P en k sous-ensembles dont les éléments diffèrent au ma ximum d’un facteur de 2, ainsi :

𝛽 ≤ 1 + 𝑙𝑜𝑔 min 𝑝 ∈𝑃𝑝 max 𝑝 ∈𝑃𝑝 Équation 22

Chaque lien, dans leurs algorithmes, est associé aux mêmes nombres de slots, or un lien dans un réseau mesh peut avoir une charge différente selon la quantité de flux qui le traverse ou celle qu’il envoie.

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3.3.3. Limitations des solutions existantes de planification des