Le délai d’un flux

Un flux 𝑓 suit un chemin 𝑝𝑓= (𝑒_𝑂,𝑒₁… , 𝑒_𝑛) où le nœud émetteur de chaque lien 𝑒_𝑖 est noté 𝑢𝑖. Chaque nœud possède une file d’attente premier arri vé premie r se rvi (First In First Out -FIFO) et 𝑁_𝑓slots réservés pour chaque flux𝑓 qu’il doit transmettre. Un nœud émet un paquet à un slot rése rvé si, au début de ce de rnier, il en a au moins un en file d’attente. Pour rappel, chaque nœud 𝑢_𝑖 d’un lien 𝑒𝑖, sauf la destination, sur la route d’un flux 𝑓, possède un ve cteur de planification pour ce flux 𝜓^𝑓,𝑒𝑖 =( 𝜓₁^𝑓,𝑒𝑖, 𝜓₂^𝑓,𝑒𝑖… 𝜓_𝑁

𝑓

𝑓,𝑒_𝑖

). Chaque élément représente un numéro de slot pendant lequel le

nœud 𝑢_𝑖 peut émettre un paquet du flux 𝑓 (s’il possède alors, au moins un paquet en attente). Les éléments d’un ve cteur 𝜓^𝑓,𝑒𝑖sont rangés par ordre croissant, ainsi 𝜓₁^𝑓,𝑒𝑖 < 𝜓₂^𝑓,𝑒𝑖… < 𝜓_𝑁

𝑓

𝑓,𝑒_𝑖

a ve c 1, 2,… 𝑁_𝑓l’indice d’un élément.

Le temps é coulé entre le moment où un nœud re çoit intégralement un paquet et le moment où il l’a entièrement retransmis correspond au délai du paquet au ni veau du nœud. Un nœud transmet un paquet soit pendant la fenêtre de planifi cation où il re çoit le paquet, soit au cours de la fenêtre suivante. Les figures 23 et 24illustrent ce phénomène. Par e xemple, si un flux passant par les nœuds A, B et C, est planifié sur le slot numé ro 3 par A e t sur le slot numéro 7 par B, alors le délai d’un paquet du flux au niveau du nœud B est de 5 slots (7-3=4) (voi r fi gure 23). Si, par contre, le nœud A rése rve le slot numéro 7 pour émettre un paquet du flux e t B le slot numé ro 3, sachant que le nombre de slots par fenêtre de planification est de 12, alors le délai d’un paquet du flux au niveau du nœud B est de 7 slots (12-7+3=8) (voir figure 24).

- 71 -

Figure 23 : Le nœud B émet le paquet en provenance du nœud A au cours de la fenêtre de planification où il a reçu le paquet

Figure 24 : Le nœud B émet le paquet en provenance de A au cours de la fenêtre de planification suivant celle où il a reçu le paquet.

Ainsi, si un nœud 𝑢𝑖−1 é met un paquet au slot numéro 𝜓_𝑗^𝑓,𝑒𝑖−1 e t le nœud sui vant 𝑢𝑖 le retransmet au nœud 𝜓_𝑧^𝑓,𝑒𝑖 alors le délai du paquet au niveau du nœud 𝑢_𝑖 équivaut à :

𝑑_𝑖 𝑗 = ^𝜓𝑧 𝑓,𝑒_𝑖

− 𝜓_𝑗^𝑓,𝑒𝑖−1+ 1 𝑠𝑖 𝜓_𝑧^𝑓,𝑒𝑖 > 𝜓_𝑗^𝑓,𝑒𝑖−1

𝑁 − 𝜓_𝑧^𝑓,𝑒𝑖+ 𝜓_𝑗^𝑓,𝑒𝑖−1

+ 1 𝑠𝑖 𝜓_𝑧^𝑓,𝑒𝑖 < 𝜓_𝑗^𝑓,𝑒𝑖−1 ^{Équation 47}

Le délai d’un paquet équivaut à la somme des délais du paquet à chaque nœud intermédiaire de la route du paquet. Le délai d’un flux est le délai maximum que l’un des paquets du flux peut obtenir.

Le délai d’un paquet au niveau d’un nœud 𝑢_𝑖, transmis à ce de rnier au slot numé ro 𝜓_𝑗^𝑓,𝑒𝑖−1 est d’autant plus important qu’il a, lorsqu’il reçoit le paquet, de nombreux paquets en attente dans sa file d’attente FIFO. En effet, il de vra alors attendre que tous les paquets de sa file d’attente FIFO soient envoyés pour émettre le paquet re çu au slot numéro 𝜓_𝑗^𝑓,𝑒𝑖−1. Or, la file d’attente FIFO d’un nœud est d’autant plus longue qu’il re çoit un paquet à chaque slot réservé de son nœud précédent.

- 72 -

Ainsi, le délai d’un paquet, reçu par le nœud 𝑢_𝑖 au slot numé ro 𝜓_𝑗^𝑓,𝑒𝑖−1 ne peut pas être supérieur à celui qu’il aurait obtenu si son prédécesseur envoyait un paquet à chaque slot réservé . Ainsi, pour estimer le délai maximum d’un paquet au ni veau d’un nœud intermédiaire de la route, on suppose par la suite, que son prédécesseur lui envoie un paquet à chaque slot rése rvé.

Au cours de la première fenêtre de planifi cation, un nœud 𝑢𝑖−1 envoie donc𝑁𝑓paquets au nœud suivant sur la route du flux, 𝑢_𝑖. Ce dernie r fait suivre uniquement une partie de ces 𝑁_𝑓 paquets car, à ce rtains de ses 𝑁𝑓 slots réservés, il ne possède aucun paquet en attente, ces slots sont appelés des

slots perdus (voi r fi gure 25). A la fin de la première fenêtre de planification, un nœud 𝑢_𝑖 , intermédiaire sur la route d’un flux 𝑓, a donc autant de paquets dans sa file d’attente FIFO que de

slots perdus. Sur la figure 25, le nœud B ne possède au début de la pre mière fenêtre de planification aucun paquet en attente. Au cours de la première fenêtre de planification, le nœud B, à son slot rése rvé numéro 3, ne possède aucun paquet en attente à émettre, ce dernier est un slot perdu de B.

Figure 25 : Illustration du phénomène de slots perdus, lorsqu'un nœud ne peut émettre de paquet lors d’un slot réservé car il n'en possède aucun en attente

Lors de la seconde fenêtre de planification, 𝑢_𝑖 re çoit de nouveau 𝑁_𝑓 paquets de son prédécesseur sur la route du flux. Au cours de cette dernière, 𝑢𝑖 peutémettre à chaque slot réservé , car il possède au début de la fenêtre autant de paquets dans sa file d’attente qu’il a de slots perdus. Il stocke également, à la fin de la seconde fenêtre de planifi cation autant de paquets en attente qu’il a de slots

perdus puisqu’il aura pu réémettre sur les 𝑁𝑓 paquets re çus de son prédécesseur, 𝑁𝑓 paquets moins son nombre de slots perdus. Ainsi, le nœud 𝑢_𝑖 est, au début de la troisième fenêtre, dans le même état qu’au début de la deuxième fenêtre, il se re trouvera donc également dans la même situation au début de la quatrième, la cinquième, etc. On peut en conclure que, à partir de la fin de la première fenêtre de planification, le nœud 𝑢𝑖 envoie un paquet à chaque slot réservé .

En d’autres termes, une fois qu’un nœud 𝑢𝑖 transmet le 𝑁𝑓^è𝑚𝑒 paquet que son prédécesseur lui a envoyé, il fait sui vre un paquet à cha cun de ses slots planifiés. Ainsi, si le nœud 𝑢𝑖 envoie le 𝑁𝑓^è𝑚𝑒

- 73 -

paquet au slot 𝜓_𝑧^𝑓,𝑒𝑖 alors il transmettra, par la suite, chaque paquet reçu au slot numé ro 𝜓_𝑗^𝑓,𝑒𝑖−1

d’une fenêtre de planification au slot numéro 𝜓_𝑥^𝑓,𝑒𝑖 tel que l’indice 𝑥 du slot peut être obtenu via la formule suivante :

𝑥 = ^{(𝑧 + 𝑗)%𝑁}_{𝑧 + 𝑗 𝑠𝑖 𝑗 + 𝑧 ≤ 𝑁}^{𝑓 𝑠𝑖 𝑗 + 𝑧 > 𝑁𝑓}

𝑓 ^{Équation 48}

L’algorithme 1 sui vant permet d’établir le numéro d’indice 𝑧 du numé ro de slot réservé de 𝑢𝑖 pendant lequel ce dernier envoie le 𝑁_𝑓^è𝑚𝑒 paquet re çu de son prédécesseur sur la route du flux𝑢_𝑖−1. La connaissance de cet indice 𝑧 pe rmet de calculer, via l’équation 48, l’indi ce 𝑥 du slot réservé pendant lequel le nœud 𝑢𝑖 é met un paquet qu’il reçoit au slot numéro 𝜓_𝑗^𝑓,𝑒𝑖−1.

Algorithme 1 : Algorithme qui retourne l’indice z du numéro de slot 𝝍_𝒛^{𝒇 ,𝒆}𝒊 pendant lequel le nœud 𝒖_𝒊 fait suivre le 𝑵_𝒇^è𝒎𝒆 paquet reçu de 𝒖_𝒊−𝟏

Ce t algorithme prend en entrée les ve cteurs de planifi cation du flux du lien 𝑒𝑖 e t 𝑒𝑖−1 notés respecti vement 𝜓^𝑓,𝑒𝑖et 𝜓^𝑓,𝑒𝑖−1. L’indice𝑧 est initialisé à 1 et l’indice𝑦 du numéro de slot rése rvé par le nœud 𝑢𝑖−1 à 1 également (ligne 1). L’algorithme effectue ensuite une boucle ; tant que l’indice 𝑧 n’est pas supérieur à 𝑁𝑓, on vé rifie si 𝜓_𝑧^𝑓,𝑒𝑖 est située après 𝜓_𝑦^𝑓,𝑒𝑖−1 (ligne 3) et donc si le nœud 𝑢𝑖 pourrait envoye r le paquet, reçu au slot numé ro 𝜓_𝑦^𝑓,𝑒𝑖−1, au slot numé ro 𝜓_𝑧^𝑓,𝑒𝑖 de la même fenêtre de planification. Si c’est le cas, on augmente les indices 𝑧 et 𝑦 de 1 (ligne 4). Si la vérifi cation échoue, c.à .d si 𝜓_𝑧^𝑓,𝑒𝑖< 𝜓_𝑦^𝑓,𝑒𝑖−1, alors 𝑧 est incrémenté de 1. La boucle continue tant que 𝑧 ≤ 𝑁_𝑓, puisque l’indice maximum d’un slot réservé est 𝑁𝑓. L’algorithme s’arrête lorsque 𝑧 équi vaut à 𝑁𝑓 + 1. En effet à ce stade, on sait que y-1 éléments du ve cteur 𝜓^𝑓,𝑒𝑖 sont situés après un élément à chaque

- 74 - fois différent du ve cteur 𝜓^𝑓,𝑒𝑖−1

, on en déduit que 𝑦 − 1 paquets re çus par 𝑢_𝑖 au cours d’une fenêtre de planification peuvent ê tre réémis au cours de cette même fenêtre. Ainsi, le 𝑁_𝑓^è𝑚𝑒paquet que 𝑢𝑖 re çoit en provenance de 𝑢𝑖−1 peut être réémis au numéro de slot réservé dont l’indice 𝑧 équi vaut à 𝑁𝑓- 𝑦 − 1. La valeur de l’indi ce𝑧 est finalement retournée par l’algorithme.

A partir de la seconde fenêtre de planification, le nœud 𝑢_𝑖 retransmettra toujours un paquet reçu de son prédécesseur 𝑢𝑖−1 au 𝑗^è𝑚𝑒 slot réservé de ce de rnier (c.à.d. à 𝜓_𝑗^𝑓,𝑒𝑖−1) à son slot réservé d’indice 𝑥. Nous introduisons pour chaque nœud 𝑢_𝑖, la fonction 𝜌^𝑖: 𝑁 → 𝑁 qui renvoie, pour l’indice𝑗 du numé ro de slot 𝜓_𝑗^𝑓,𝑒𝑖−1 planifié par 𝑢𝑖−1,l ’indice 𝑥 du numéro de slot 𝜓_𝑥^𝑓,𝑒𝑖 pendant lequel 𝑢𝑖 re transmet le paquet qu’il a re çu au cours du numéro de slot 𝜓_𝑗^𝑓,𝑒𝑖−1 d’une fenêtre de planification.

Un nœud 𝑢𝑖 envoie donc au slot numéro 𝜓_𝜌𝑖 𝑗 𝑓,𝑒_𝑖

le paquet qu’il a reçu du nœud 𝑢𝑖−1 au slot numé ro 𝜓_𝑗^𝑓,𝑒𝑖−1. Le calcul du délai d’un paquet présenté dans l’équation 47 peut ainsi se réé crire comme suit : 𝑑_𝑖 𝑗 = ^{(𝜓𝜌𝑖 𝑗} 𝑓,𝑒_𝑖 − 𝜓_𝑗^𝑓,𝑒𝑖−1 ) ∗ Tslot si 𝜓_𝜌𝑖 𝑗 𝑓,𝑒_𝑖−1 > 𝜓_𝑗^𝑓,𝑒𝑖−1 𝑁 + 𝜓 𝜌^𝑖 𝑗 𝑓,𝑒_𝑖 − 𝜓_𝑗^𝑓,𝑒𝑖−1 ) ∗ T_slot si 𝜓 𝜌^𝑖 𝑗 𝑓,𝑒_𝑖 ≤ 𝜓_𝑗^𝑓,𝑒𝑖−1 Équation 49

Lorsqu’un nœud ne peut pas retransmettre un paquet au cours de la fenêtre de planification où il l’a re çu, le délai du paquet au ni veau du nœud est cal culé selon la se conde ligne de l’équation 49 sinon il est calculé selon la première ligne. Pour calculer le délai d’un paquet, on considère le pire cas, celui où tous les nœuds du chemin émettent un paquet à tous les slots qu’ils ont de planifiables. On note 𝑑: 𝑁 → 𝑁 , la fonction qui associe au numéro de slot sur lequel le paquet est envoyé pa r le nœud 𝑢₀ le délai du paquet. Ainsi, le délai d’un paquet émis par le nœud 𝑢₀ à 𝜓_𝑗^𝑓,𝑒0 équi vaut à :

𝑑 𝑗 = 𝑑₁ 𝑗 + 𝑑₂ 𝜌1(𝑗) + 𝑑₃ 𝜌2(𝜌1 𝑗 ) … 𝑑_𝑛 𝜌𝑛−1 𝜌𝑛−2 …𝜌1 𝑗 … ^{Équation 50}

a vec 𝑑1 𝑗 le délai du paquet au niveau du nœud 𝑢₁, 𝑑2 𝜌1(𝑗) le délai du paquet au niveau du nœud 2, 𝑑𝑛 𝜌^𝑛−1 𝜌𝑛−2 … 𝜌1 𝑗 … le délai du paquet au niveau du nœud précédent le nœud destination du flux, e tc.

Comme le nœud source 𝑢0 d’un flux peut émettre un paquet sur 𝑁𝑓 numé ros de slot différents, le délai maximum d’un paquet peut uniquement prendre 𝑁_𝑓 valeurs possible. Ainsi, le délai 𝑑_𝑓 d’un flux

- 75 -

𝑓 est le plus grand des délais parmi les 𝑁_𝑓 délais maximums que peut obtenir un paquet du flux, ainsi :

𝑑_𝑓= max

𝑗∈[1,𝑁_𝑓]𝑑(𝑗) Équation 51

Nous a vons, dans cette section, présenté une méthode qui pe rmet, en connaissant la planification du flux au ni veau de chaque lien de sa route, cal culer son délai. Afin d’établi r le délai ma ximum du flux, on suppose que chaque nœud envoie au nœud suivant sur la route de flux un paquet à chaque slot qu’il a réservé . Le cal cul du délai s’effe ctue en plusieurs étapes :

1. L’algorithme 1 est lancé pour chaque nœud inte rmédiaire sur la route du flux. Ce dernier établit pour chaque nœud l’indice de son slot réservé sur lequel il envoie le 𝑁𝑓^è𝑚𝑒 paquet qu’il re çoit du nœud précédent sur le chemin du flux.

2. Pour chaque nœud 𝑢𝑖−1 sur la route du flux, sauf la destination et chacun de ses 𝑁𝑓 slots rése rvés, on effectue l’équation 48. Ce tte formule perme t, pour un indice 𝑗 de numéro de slot planifié d’un nœud 𝑢𝑖−1, d’obtenir l’indice 𝑥 du numéro de slot planifié du nœud suivant𝑢𝑖 pendant lequel il fera sui vre le paquet que le nœud pré cédent 𝑢𝑖−1lui envoie à son numéro de slot planifié dont l’indice est 𝑗. Ainsi, cette deuxième étape permet d’é tablir pour chaque nœud 𝑢𝑖, le résultat de la fonction 𝜌^𝑖: 𝑁 → 𝑁 .

3. Pour chaque nœud 𝑢_𝑖−1 et chacun de ses 𝑁_𝑓 slots réservés, on effe ctue l’équation 49. Ce tte formule permet, d’obtenir le délai maximum 𝑑𝑖 𝑗 d’un paquet au niveau d’un nœud 𝑢_𝑖 lorsque ce dernier le reçoit du nœud 𝑢𝑖−1 au numéro de slot 𝜓_𝑖^𝑓,𝑒0.

4. L’équation 50 est ensuite réalisée pour chaque 𝑁𝑓 slots réservés du nœud 𝑢0. Ce tte formule permet d’établir le délai maximum d’un paquet lorsqu’il est envoyé par le nœud 𝑢0 à son slot planifiée dont l’indi ce est 𝑗, le délai d’un paquet étant la somme des délais à chaque nœud intermédiaire de sa route.

5. L’équation 51 perme t finalement d’obtenir le délai du flux. Cette dernière calcule le délai ma ximum d’un flux comme étant l’un des plus importants délais parmi les 𝑁𝑓 délais possibles ma ximums d’un paquet du flux.

- 76 -