Les solutions approchées sont dans des espaces à poids

établit dans cette section des estimations pondérées similaires, qui ne sont toutefois plus uniformes lorsque ε tend vers 0 ; ceci cependant suffit à nos applications, comme on l’a vu au chapitre précédent. Nous voyons de plus dans l’appendice A (fin de la section A.1) que l’uniformité en ε n’est pas possible dans le cas où le diviseur admet des croisements, car les ϕ du théorème 3.2 ne sont pas dans des espaces à poids > 0 tels que nous les avons définis.

4.2.1 Un contrôle C0 à poids entraîne un contrôle à poids à tout ordre

Une fois que l’on sait qu’un des potentiels ϕε du théorème 3.2 est dans un C0

γ, γ > 0, la décroissance rapide de ses dérivées s’en déduit facilement :

Proposition 4.11. Sous les hypothèses du théorème 3.2, soit ε ∈ (0, 1]. On suppose que ϕ_ε∈ C0

γ pour un γ ∈ (0, ν]. Alors ϕε∈ Cγ^∞.

Démonstration. On commence par prouver que ϕ_{ε∈ C}1,α

γ , où α ∈ (0, 1) est fixé. L’assertion est locale près de D ; on regarde donc ce qui se passe au voisinage du diviseur. On prend un petit polydisque de coordonnées U = (c∆)k× ¹₂∆
^m−k (c > 0 petite) autour d’un point d’un croisement de codimension k, dans lequel les composantes de D sont données de la manière habituelle, i.e. par l’annulation des k premières coordonnées. On pose P =

1

2∆
^k_{× ∆}m−k et Φ_δ : P → ∆m comme en section 1.1 pour δ ∈ (0, 1)k, de sorte que

U\D ⊂^S_δ∈]0,1[kΦδ ¹₂P
. On veut une estimation de kργϕ_εkC1,α(U\D), quantité comparable à sup δ∈(0,1)k 1 (1 − δ1)γ· · · (1 − δk)γ Φ_δ∗ϕε C1,α(¹_{2 P)}.

On considère à présent sur P l’opérateur du second ordre

P_δ: v 7→ ^{i∂∂v∧ Φ}δ∗[(ω′)m−1+ · · · + (ω′ ε)m−1] Φδ∗(ω′)m−1

pour δ ∈ (0, 1)k. Comme ϕ_{ε ∈ C}∞(X\D), on a ellipticité uniforme et contrôle Cℓ pour tout ℓ ≥ 0 uniforme sur les coefficients de Pδ, ce qui implique par exemple qu’il existe une constante C telle que pour tout δ ∈ (0, 1)k,

kvk_C1,α(¹_{2 P)} ≤ C kPδvkC0(P)+ kvkC0(P)

pour toute fonction v ∈ C2(P) telle que kPδvkC0(P) soit finie. Or on remarque également que Pδ(Φδ∗ϕ_ε) = 1−eΦδ^∗f +εΦδ^∗ϕε pour tout δ ∈ (0, 1)k. Puisque f ∈ C0

ν et ϕε∈ C0

γ, γ ≤ ν, on a que kPδ(Φ_δ∗ϕε)kC0(P)≤ C(1 − δ1)γ· · · (1 − δk)γ pour une constante C indépendante de δ. De la même manière, kΦδ∗ϕ_εkC0(P) ≤ C^′(1 − δ1)γ· · · (1 − δk)γ, C′ ne dépendant pas de δ. Ainsi 1

80 Chapitre 4. Preuve du théorème de Calabi-Yau sur X\D

kργϕ_εkC1,α(U\D)est finie. On prend alors un nombre suffisant de petits polydisques U pour déclarer que kργϕ_εkC1,α(X\D) est finie, ou de manière équivalente que ϕ_{ε∈ C}1,α

γ (X\D). On réinjecte alors cette borne dans l’argument que l’on vient de développer (au moment de contrôler les kPδ(Φδ∗ϕ_ε)kC2ℓ−1,α(P)) pour obtenir par récurrence que ϕε ∈ C2ℓ+1,α

γ (X\D)

pour tout ℓ ≥ 1. 

4.2.2 Contrôle C0 à poids

Au vu de la dernière proposition, notre démonstration du théorème 3.2 sera complète une fois établi le résultat suivant :

Proposition 4.12. Sous les hypothèses du théorème 3.2, il existe une constante c > 0 telle que ϕ_{ε∈ C}0

cε(X\D) pour tout ε ∈ (0, 1].

Démonstration. On prend ε ∈ (0, 1]. On part des inégalités ∆ϕε+ 2εϕ_{ε ≤ 2f et ∆ε}ϕ_ε+ 2εϕε ≥ 2f. Soit γ ∈ 0, min(¹₂, ν)

; on désigne par Lγ,ε l’opérateur ργ(∆ + 2ε)(ρ−γ·), de

sorte que

Lγ,ε(ργϕ_ε) ≤ 2ργf ≤ M (4.3)

pour une constante réelle M = M(f, γ).

Majoration pondérée. Soit ψ une fonction C∞(X\D) telle que Lγ,ε(ψ) = M hors d’un domaine compact K de X\D ; une telle ψ d’après la preuve du lemme 3.6, si l’on suppose

γ≤ cε (c indépendante de γ). Or si A est une constante assez grande, v := ργϕ_ε−ψ−A ≤ 0

sur ∂K et Lγ,ε(v) ≤ 0 sur le complémentaire V de K dans X\D. On veut en déduire que

v≤ 0 sur V , ce qui nous donnera une majoration sur ϕε; pour cela, on utilise les arguments de la démonstration du lemme 1.15.

Plus précisément, on se donne une suite exhaustive croissante (Up)p≥0 d’ouverts rela-tivement compacts de X\D contenant K, et on pose Vp = U_{p\K pour tout p, de sorte que}

V =S

pV_p. Pour tout p, on note vp la solution du problème de Dirichlet

       Lγ,ε(v_p) = Lγ,ε(v) sur V_p vp= v sur ∂K v_p= 0 sur ∂Up.

Toujours en suivant la démonstration du lemme 1.15, on sait qu’il suffit pour conclure de démontrer que les v_p sont négatives, et qu’il existe sur kvpkL2(Vp) une borne ne dépendant pas de p. On commence par la négativité ; fixons p. On sait déjà que vp est négative sur les bords de son domaine Vp; supposons qu’elle soit strictement positive en un point de Vp, et notons x ∈ Vp un point tel que v_p(x) = sup_Vpv > 0. En ce point, ∆v_p(x) ≥ 0, tandis que

0 ≥ Lγ,ε(vp)(x) = ∆vp(x) + 2ε − γ∆ρ(x)

ρ(x) − 2γ(γ + 1)^dρ_ρ²_ω′,x

vp(x).

Dès que la parenthèse dans le membre de droite est > 0, ce qui est le cas grâce à notre hypothèse sur γ, on a v_p(x) ≤ −∆vp(x) 2ε−γ^∆ρ(x)_{ρ(x) −2γ(γ+1)dρ} ρ  2 ω′,x

≤ 0, ce qui est absurde.

Reste à contrôler les kvpkL2(Vp)indépendamment de p. Pour ce faire, on écrit vpcomme la somme ξp + ηp, où ξp|∂Vp ≡ 0 et Lγ,ε(ηp) = 0, de sorte qu’il s’agisse de contrôler

kξpkL2(Vp) et kηpkL2(Vp) indépendamment de p. Les arguments ci-dessus donnent η_{p≤ 0 et} infVpη_p = inf∂Vpη_p= inf∂Kη_p = inf∂Kv, donckηpkL2(Vp)≤ Vol(V )^1/2inf∂Kv

Enfin, une intégration par parties donne : Z Vp ξ_pLγ,ε(ξp) volω′ =^Z Vp 2ε − γ2_dρ ρ  ² ω′
ξ_p²volω′ +^Z Vp |dξp|²volω′ .

Quitte à réduire la constante c, 2ε − γ2_dρ

ρ

 2

ω′ ≥ 0 sur X\D ; on a de plus vu que

R

Vp|dξp|^2volω′ ≥ _C^Vol(K)_PVol ^RVpξ_p²volω′

, d’où ^R_Vpξ_p²volω′ ≤ ^CPVol Vol(K) R Vpξ_pLγ,ε(ξ_p) volω′ . Or on remarque que^R_VpLγ,ε(ξ_p)2volω′

=^R_VpLγ,ε(v)2volω′

=^R_Vp(ργ(∆ϕ_ε+ 2εϕ_ε) − M)2volω′

≤

R

V\D(ργ(∆ϕε+ 2εϕε) − M)2volω′

< +∞, car ∆ϕε+ 2εϕε est borné et ργ est de carré intégrable car γ < 1

2 On conclut alors par Cauchy-Schwarz. On a démontré que ϕ_{ε≤ Cρ}−γ

sur V , pour tout γ ∈ [0, cε) (c indépendante de ε), et une constante C pouvant dépendre de ε et γ.

Minoration pondérée. L’inégalité réciproque ∆εϕ_ε+ 2εϕε ≥ 2f nous donne près de D la

minoration pondérée ϕ_{ε≥ −Cρ}−γ pour tout γ ∈ [0, cε), quitte à réduire c. Ceci est fait en travaillant par rapport à ω′

ε plutôt que ω′. On peut néanmoins garder c indépendante de

5

Unicité des métriques à courbure

scalaire constante (K_X[D] ample)

C

e court chapitre décrit une application des constructions des géodésiques approchées (chapitre 2) et des métriques de type Poincaré à forme de Ricci négative (chapitre 3) à l’unicité au sein de PMΩ d’une éventuelle métrique à courbure scalaire constante, sous l’hypothèse K_X[D] ample ; on rappelle à nouveau que Ω est une classe de Kähler

quelconque sur X.

5.1 Énoncé du résultat

Nous obtenons le résultat suivant :

Théorème 5.1. On suppose K_X[D] ample. Alors sous réserve d’existence, une métique

ω^′ ∈ PMΩ à courbure scalaire s(ω′) constante sur X\D est unique dans PMΩ.

La démonstration est faite dans la prochaine section. Pour l’instant, nous énonçons et démontrons un lemme qui est utile à la démonstration du théorème 5.1, et qui ex-plique également l’énoncé d’unicité de ce théorème. En effet, le lemme spécifie que le groupe des automorphismes de X tangents au diviseur est discret si K_X[D] est ample, et par conséquent pourquoi on a simplement unicité, et pas unicité modulo l’action de tels automorphismes homotopes à l’identité, d’une métrique kählérienne à courbure scalaire constante sur X\D.

Lemme 5.2. On suppose K_X[D] ample. Alors l’espace des champs de vecteurs

holo-morphes L2 par rapport à une métrique de type Poincaré est trivial.

Démonstration. On munit X\D de la métrique de Kähler-Einstein construite par Tian et

Yau [TY87], disons ̟ ; on a donc ̺̟≤ −c̟ pour une constante c > 0. Soit Z un champ

de vecteurs holomorphe L2

̟; un tel champ est automatiquement dans C∞

loc(T1,0). Comme

̟ domine n’importe quelle métrique lisse à travers D, Z est en réalité lisse sur X tout

entière. De plus, comme Z est L2

̟, sa composante normale s’annule le long du diviseur. Plus précisément, au voisinage d’un point d’une composante, et loin des croisements pour simplifier, on a Z = Zj ∂

∂zj, avec les Zj holomorphes. Si la composante est donnée par

84 Chapitre 5. Unicité des métriques à courbure scalaire constante

|Z|̟& _|z1|| log |z^c 1|| sur le voisinage U d’un point du diviseur, ce qui fait diverger l’intégrale

Z U|Z|²̟vol̟≥ c Z U 1 |z1|2(log |z1|)2 idz1∧ dz1 |z1|2(log |z1|)2 ∧ m Y j=2 idz^j ∧ dzj = +∞.

On peut donc écrire Z = z1_Z˜1 ∂

∂zj +^Pm j=2Zj ∂

∂zj sur le voisinage considéré, et obtenir une écriture analogue près des croisements. Ceci a pour conséquence l’estimation |Z|̟∈ C²(X\D) (dérivées d’ordre ≤ 2 bornées). Le reste de la démonstration est à présent le même que dans le cas compact ; on a en effet ∆_̟|Z|2

̟= Ric_̟(Z, Z) − 2|∇̟Z|²≤ −c|Z|^2,

de sorte que ∆̟|Z|2 ̟+ c

2|Z|2

̟≤ 0. À présent l’intégration par parties

Z X\D  d|Z|²̟  ²vol̟=^Z X\D|Z|²̟∆_̟|Z|2 ̟vol̟ ≤ −ckZk⁴_L4 ̟ oblige |Z|2

̟ à être constante, et donc à être nulle car alors ∆̟|Z|2

̟= 0. 

Dans le document Équation de Monge-Ampère complexe, métriques kählériennes de type Poincaré et instantons gravitationnels ALF (Page 80-85)