Notre démonstration suit de près celle que Chen donne pour le cas compact [Che00, §6], ce pourquoi ne serons assez brefs.
On fixe quelques notations. On désigne par ω une métrique de PMΩ telle que ̺ω ≤
−cω, c > 0, donnée par le théorème 3.3 ; on la voit comme point-base de PMΩ, de sorte que les potentiels vont être calculés par rapport à cette métrique ω, i.e. : ϕ est un potentiel de ω′ ∈ PMΩ si ω′ = ω + i∂∂ϕ. On se donne de plus deux métriques ω0 et ω1 de PMΩ à courbure scalaire constante ; on appelle vτ le potentiel associé à ωτ tel que
R
X\Dvτvolωτ = 0, τ = 0, 1. On considère enfin les ε-géodésiques (vε
t)t∈[0,1] de v0 vers v1
pour ε > 0 petit ; on a ainsi vε
τ ≡ vτ, τ = 0, 1, et si l’on pose fε t := ωm (ωvε t)m, alors ¨ vε t − ∂ ˙vε t 2 ωvε t = εfε t pour tout t ∈ [0, 1] := I.
On rappelle que l’on a sur ¨vε t et d ˙vε
t des bornes uniformes sur (X\D)×I indépendantes de ε, ainsi que sur i∂∂vε
t ω. On pose Eε : t 7→ ˜E(vε t) ; d’après la proposition 1.7, ¨ Eε(t) =Z X\D|Dtε˙vε t|2ωvε t volωvεt − Z X\D εsvε t volω+εs Vol (5.1) pour tout t ∈ I, où Dε
t désigne l’opérateur ∇− ωvε
t
d.
5.2.1 Une inégalité cruciale
On fixe provisoirement t dans le deuxième terme du membre de droite de (5.1), que l’on peut réécrire sous la forme −εRX\Dftεsεtvolε
t (avec les simplifications de notation évidentes). Comme sε t = 2Λε t̺εt et ̺ε t = ̺ω+ i∂∂ log(fε t), il vient : Z X\Dftεsεtvolε t = 2Z X\Dftε trε t(̺ω) − ∆ε tlog(fε t)volε t.
Or log(fε
t) ∈ C∞(X\D), et en utilisant volε
t = volω
fε
t , une intégration par parties donne
R X\Dftε∆ε tlog(fε t) volε t =RX\D|d log(fε t)|2 ωε
t volω. Ainsi, on réécrit (5.1), après avoir intégré sur I et divisé par ε :
Z (X\D)×I |Dε t˙vε t|2 ωε t εfε t volωdt− 2 Z (X\D)×I trε t(̺ω) − |d log(fε t)|2 ωε t volωdt =−s Vol
car ˙Eε(0) = ˙Eε(1), puisque les extrémités du chemin considéré sont à courbure scalaire constante. On utilise à présent l’égalité ̺ω ≤ −cω pour obtenir :
Z (X\D)×I " |Dε t˙vε t|2 ωε t εfε t + 2c trε t(ω) + 2|d log(fε t)|2 ωε t #volωdt≤ −s Vol := C, (5.2)
pour tout ε > 0. Cette inégalité, ou plutôt les trois inégalités qu’elle contient, sont essen-tielles pour obtenir les contrôles du paragraphe suivant.
5.2.2 Bornes Lp, limites faibles, et conclusion
À présent que nous disposons de l’inégalité (5.2) ainsi que de contrôles indépendants de
ε sur certaines dérivées d’ordre 2 des (vtε), on peut utiliser les calculs de Chen, et obtenir des contrôles sur les objets suivants : wε
t := log(fε t), Xε t := ♯ε t∂ ˙vεt, Yε t := e−wε tXtε, pour tout t ∈ I, ε > 0. Résumons ces contrôles de la manière suivante :
Lemme 5.3. (Xε
·)ε>0 est borné dans L2 | · |ω, volωdt, Yε ·
ε>0 est borné dans L∞ | · |ω, volωdt, et ∂Yε
·
ε>0 est borné dans Lq(| · |ω, volωdt, 1 < q < 2. De plus, (wε
·)ε>0 est borné dans Lp volωdt
pour tout p ≥ 1 fini, et e−wε ·
ε>0 est borné dans L∞ et ∂wε
·
ε>0 est borné dans L2 | · |ω, volωdt. Enfin, e−wε
·∂X·ε
ε>0 tend vers 0 dans les Lq(| · |ω, volωdt, 1 < q < 2.
Démonstration. [Che00], p. 225-229. On extrait des sous-suites faiblement convergentes dans ces espaces Lprespectifs, et on note les limites en remplaçant les ε par 0. Ceci ne crée pas d’ambiguïté, car par exemple
∂Y·0 coïncide avec la limite faible des ∂Yε · . On veut démontrer que ∂X0
· = 0, ce dont nous ne sommes pas si loin formellement, car si tout était lisse on pourrait écrire ∂X0
· = ew0
· ∂Y0 · +∂w0
·⊗Y0
· = 0. Pour atteindre cela, on doit faire un détour par des versions tronquées des X0
·, à savoir les X0,k := Pk j=0(w 0 ·)j j! Y·0
définis pour k ≥ 0. Ceci fournit ∂X0
· = 0 au sens des distributions, i.e. pour toute ψ du type correct,R(X\D)×I Xt0, ∂ψ(t)volωdt = 0. De ceci on passe à l’assertion selon laquelle
sur presque toute tranche (X\D)×{t}, ∂X0
t = 0 ; puisque l’espace des champs de vecteurs holomorphes L2
ω est réduit à 0 par le lemme 5.2, X0
t = 0 pour ces t. Or dans un ouvert de coordonnées, ∂ ˙vε
t =Pm j,k=1(gε
t)j¯k(Xε
t)¯kdzj. Le membre de droite tend donc faiblement vers 0, car gε
t est bornée indépendamment de ε. Ainsi d ˙vε
t tend faiblement vers 0 dans L2 ω; d’autre part, pour tout ε > 0 et en tout point, ∂(v1− v0) = ∂vε
1− ∂vε 0 = R1
0 ∂ ˙vtεdt, d’où
pour toute (2m − 1)-forme ψ à support compact dans X\D,
d(v1− v0), ψ=Z 1 0 d ˙vtε∧ ψ dt = Z (X\D)×Id ˙vεt ∧ ˜ψ dt = d ˙vεt, ˜ψ ,
où ˜ψ(·, t) = ψ pour tout t ∈ [0, 1]. En faisant tendre ε vers 0, ceci nous dit que d(v1− v0) est nulle au sens des distributions, et est donc identiquement nulle car localement lisse.
86 Chapitre 5. Unicité des métriques à courbure scalaire constante
Ceci implique v0 = v1 à une constante près, d’où ω0= ω1 (et v0 = v1 par normalisation). On renvoie le lecteur à [Che00, p. 229-231] pour les détails.
6
Existence de métriques à courbure
scalaire constante : contrainte
topologique
O
ù l’on démontre une contrainte topologique sur (X, D) lorsque PMΩ contient une métrique à courbure scalaire constante.6.1 Énoncé du résultat
6.1.1 Courbures scalaires moyennes
On se réfère toujours au chapitre 1 pour la terminologie concernant les métriques kählériennes de type Poincaré. Rappelons toutefois les faits suivants concernant la courbure scalaire de telles métriques.
En sus de leur propriété de complétude et de volume fini, les métriques de PMΩ ont aussi en commun d’avoir leur forme de Ricci dans −2πc1 KX[D] (en tant que classe de cohomologie L2, proposition 1.6). Par conséquent, elles ont toutes même courbure scalaire moyenne ; on note
s= −4πmc1(KX[D])[ω0]m−1
[ω0]m
cette quantité.
On observe finalement lorsque D est lisse que la métrique modèle ω (de la section 1.1) induit pour tout j une forme de Kähler ω|Dj sur Dj. La classe de cette forme induite est [ω0|Dj], ce qui ne dépend que de Ω ; toute forme de Kähler sur Dj est de plus à forme de Ricci dans −2πc1(KDj), que l’on peut réécrire comme −2πc1 KX[D]|Dj
, d’après la formule d’adjonction, et le fait que sur Dj, Dkest trivial pour tout k 6= j. Toute métrique de [ω0|Dj], en particulier ω|Dj, a ainsi pour courbure scalaire moyenne
sDj := −4π(m − 1)c1(KX[D]|Dj)[ω0|Dj]m−2
[ω0|Dj]m−1 . (6.1)
Lorsque D n’est plus lisse, et que Dj croise d’autres composantes, la métrique induite sur Dj\Sj′6=jDj′est de type Poincaré ; sa forme de Ricci est donc de classe −2πc1 KDj[Dj∩
88 Chapitre 6. Contrainte topologique
P
j′6=jDj′], ce qui à nouveau se réécrit sous la forme −2πc1 KX[D]|Dj
; la courbure sca-laire moyenne que l’on obtient pour la forme induite par ω est donc encore donnée par la formule (6.1) ; on conserve la notation sDj. Finalement, on associe dans les deux cas ce nombre à [ω0|Dj] (cas D lisse) ou PM[ω0|Dj] (cas où D a des croisements) ; on parle de
courbure scalaire moyenne associée à cette classe.
6.1.2 Obstruction topologique
Nous pouvons à présent énoncer le principal résultat de ce chapitre :
Théorème 6.1. Soit sDj la courbure scalaire moyenne associée à la classe (éventuellement de type Poincaré) de ω|Dj pour j = 1, . . . , N comme ci-dessus. On suppose qu’il existe une métrique kählérienne de type Poincaré et de classe Ω = [ω0] (au sens de la définition
1.3) à courbure scalaire constante sur X\D. Alors pour tout j indexant une composante irréductible de D, s < sDj. Autrement dit, on a pour tout j l’inégalité
mc1 KX[D][ω0]m−1
[ω0]m > (m− 1)c1 [Dj]
c1 KX[D][ω0]m−2
c1 [Dj][ω0]m−1
en termes de classes définies sur X.
Ce théorème est tout à fait propre aux métriques kählériennes de type Poincaré, car la contrainte qu’il stipule est vide en l’absence de diviseur. Il représente de plus une première étape vers la notion de K-stabilité que G. Székelyhidi [Szé06] suggère pour les paires (X, D), formulée de sorte à tenir compte d’un tel comportement de type Poincaré ; nous expliquons ces liens dans la prochaine section, premier paragraphe. Notons toutefois dès à présent que le contenu du théorème est assez intuitif, et peut simplement se comprendre comme une contribution négative à la courbure scalaire de la composante de la métrique normale au diviseur, dont le comportement se rapproche de celui de la métrique d’Einstein à courbure de Ricci négative sur le disque épointé de Poincaré.
Apportons le commentaire supplémentaire suivant au choix fait dans la définition 1.3 pour l’espace des potentiels. Nous avons déjà commenté les contrôles L∞ requis sur les dérivées d’ordre au moins 1, choix gouverné par des raisons analytiques ; nous avons aussi expliqué pourquoi nous ne demandions pas des asymptotiques plus précises, ce qui nous permettait par exemple d’avoir un théorème d’unicité assez large. Dans la même direc-tion, ce chapitre illustre l’intérêt d’éviter, tout du moins a priori, la situation asymptoti-quement produit. En effet, on voit dans la section 6.2, paragraphe 6.2.2, que l’existence sur X\D d’une métrique de type Poincaré asymptotiquement produit et à courbure sca-laire constante implique l’existence sur D d’une métrique kählérienne à courbure scasca-laire constante, dont résulte la K-stabilité de D, du moins si D est lisse (voir le commentaire suivant la conjecture 2 de l’introduction) ; il n’est pas clair néanmoins que cette stabilité soit impliquée par la K-stabilité de (X, D). On évite donc de supposer que D est K-stable en travaillant avec des métriques ayant un comportement assez libre près du diviseur. Il s’ensuit que le théorème 6.1 n’est plus une conséquence immédiate des hypothèses, comme il le serait si les métriques étaient supposées asymptotiquement produits ; nous regardons ce point plus en détail dans le paragraphe indiqué.
Précisons enfin que le théorème 6.1 est une conséquence de contraintes sur la croissance du potentiel d’une métrique de type Poincaré en général, établies dans les propositions 6.4 et 6.5 de ce chapitre, combinées à la propriété de courbure scalaire constante. On a besoin d’un description convenable de X près de D pour énoncer et démontrer ces propositions,
énonçons et démontrons les propositions, et en déduisons le théorème 6.1, dans la section 6.4 dans le cas où D et lisse. Le cas général est traité à la section 6.5.