Sol en terre : estimation de quantile extrême de courant

Dans cette section, nous considérons le câble au dessus d’un sol en terre de conductivité σ = 5 × 10−2 _{S/m. Comme précédemment, le but est d’estimer le quantile d’ordre 99 % du} courant Imax avec le modèle rigoureux GORF. A travers cette étude, nous souhaitons évaluer l’influence du sol sur les niveaux extrêmes de courant.

6.4.4.1 Estimation de la corrélation entre les modèles simple et rigoureux Comme dans la section 6.4.3.1, nous souhaitons illustrer à nouveau la différence entre les modèles simple et rigoureux. Par conséquent, pour les mêmes réalisations d’entrée, nous représentons les courants ∣I∣ dans le domaine temporel avec TLT (courbe rouge, voir Fig. 6.15(a)) et avec GORF (courbe bleue, voir Fig. 6.15(a)). Une fois encore, nous observons une tendance similaire entre les 2 courbes avec un décalage temporel qui n’a aucune signification physique, et des niveaux d’amplitude différents des pics de courant. De plus, nous avons également évalué les quantiles de niveau 99 % de TLT ( ˆZEE(0,99) = 71,3 A) et de GORF ( ˆYEE(0,99) = 75,9A) respectivement à partir de 10000 et de 1000 réalisations par simulation de MC. Nous constatons que les quantiles de niveau 99 % de TLT et GORF sont différents, mais plus proches que dans le cas d’un sol rocailleux. Cela s’explique en partie par l’augmentation de la conductivité, de σ = 10−3 _{S/m à σ = 5 × 10}−2 _{S/m. En effet, dans le modèle TLT, la} connexion entre le fil vertical et le sol (au niveau du courant Imax) est considérée comme parfaitement conductrice. Cela implique que pour un sol de conductivité plus élevé, l’erreur commise par le modèle TLT soit moins importante. Sa réponse tend à se rapprocher de celle du modèle rigoureux GORF. Cependant, nous pouvons voir sur la figure6.15(a) que les niveaux maximums des 2 courbes zmax= 86,7 A et ymax= 84,2 A, respectivement calculés par TLT et par GORF, sont supérieurs à leur quantile de niveau 99 %. Cette configuration montre encore qu’il existe un certain niveau de corrélation ˆρI(0,99)entre les deux modèles.

En effectuant des simulations pour une autre configuration aléatoire des variables d’entrée, les courants ∣I∣ obtenus par TLT (courbe rouge, voir Fig. 6.15(b)) et par GORF (courbe bleue, voir Fig.6.15(b)) sont cette fois plutôt différents vis-à-vis de leur quantile de niveau 99 %. D’un côté, zmax= 74,8 A est supérieur au quantile de niveau 99 % associé, ˆZ_EE(0,99) = 71,3A. De l’autre, ymax= 68,0A est inférieur au quantile de niveau 99 % correspondant, ˆY_EE(0,99) = 75,9 A. Pour quantifier la similitude entre TLT et GORF autour de leur quantile respectif de niveau 99 %, nous avons estimé le coefficient de corrélation ˆρI(0,99) = 0,3à partir de 1000 réalisations par simulation de MC. Dans ce cas, le niveau de corrélation entre les modèles simple et rigoureux est toujours significatif, mais moins élevé que pour un sol rocailleux. Cela devrait également permettre d’identifier des réalisations d’entrée pertinentes, pour l’estimation du quantile de courant de niveau 99 % avec le modèle rigoureux. Cette étude est effectuée dans la section suivante.

(a)

(b)

Figure _{6.15 – Cas d’un sol en terre : évolution temporelle de l’amplitude du courant} ∣I∣ à l’extrémité du câble. Deux réalisations des variables aléatoires d’entrée sont utilisées en (a) et (b) pour l’évaluation de ∣I∣ avec le modèle simple TLT (courbe rouge) et avec le modèle rigoureux GORF (courbe bleue).

6.4.4.2 Estimation par SC

Comme mentionné précédemment, nous souhaitons estimer par SC le quantile d’ordre 99 % avec le modèle rigoureux GORF. Nous sélectionnons alors 50 réalisations par strates avec le modèle simple TLT. Afin de définir ces strates, nous calculons les quantiles de TLT par simulation de MC avec 10000 réalisations de X comme suit :

⎧⎪⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ ⎪⎩ α= 0,5�→ zα= 33,1 A α= 0,9�→ zα= 51,7 A α= 0,99�→ zα= 71,3 A.

Nous cherchons encore à estimer le quantile d’ordre 99 % avec au maximum, n = 200 appels au modèle rigoureux GORF. En ayant recours à ces n = 200 calculs de GORF, l’estimation du quantile d’ordre 99 % obtenue par SC est ˆYSC(0,99) = 77,1A. On s’aperçoit alors que cette estimation par SC est de bonne qualité dans la mesure où elle est proche du quantile empirique de référence obtenu à partir de 1000 réalisations par simulation de MC, ˆYEE(0,99) = 75,9A. Nous analysons également le niveau de corrélation entre TLT et GORF. Ainsi, nous illustrons sur la figure 6.16, les réalisations du courant Imaxcalculées dans la 4èmestrate, où Z > z0_,99= 71,3 A. L’histogramme représente la probabilité d’occurrence des valeurs de courant observées dans la 4ème _{strate de l’espace de la sortie Y de GORF. La figure 6.16 montre alors qu’un nombre} significatif de valeurs extrêmes de courant est identifié : sur les 50 réponses de courant Imax calculées, 18 valeurs sont supérieures au quantile ˆYSC(0,99) = 77,1A, ce qui est évidemment bien moins spectaculaire que dans le cas du sol rocailleux pour lequel la corrélation ˆρI(0,99) était plus élevée. Comme pour le sol rocailleux, nous souhaitons comparer le niveau maximum de courant obtenu par l’approche de SC dans la 4ème_{strate, et celui calculé par l’approche de} simulation de MC avec un échantillon de taille importante. Nous remarquons que le niveau maximum de courant Imax de la figure 6.16 est de 100,6 A, alors que celui obtenu à partir de 1000 réalisations par simulation de MC est de 93,9 A. L’approche par SC a une nouvelle fois, permis d’obtenir un cas très extrême, non identifié par un échantillonnage de MC de taille importante. Ceci souligne encore la capacité du modèle simple TLT à identifier des réalisations d’entrée qui fournissent des cas très rares avec le modèle rigoureux GORF.

Nous nous sommes également intéressés aux réalisations d’entrée qui ont fournit ces 18 cas extrêmes de courant avec GORF. Une illustration par histogramme de ces réalisations d’entrée est donnée sur la figure 6.17. On remarque à nouveau que les cas extrêmes de courant se produisent pour des réalisations d’entrée comprises sur la 1ère _{moitié du quadrant de l’angle} θp ([0° ; 35°]), avec une incidence θe rasante (inférieure à 30°). Par contre, les réalisations de l’angle d’azimut φ sont très différentes car elles apparaissent au voisinage de 3 valeurs : 0°, 90°et 270°. Les réalisations du temps de largeur tl sont particulièrement élevées : plus de 90 % des valeurs sont supérieures à la moyenne du domaine initial, soit 225 ns. En ce qui concerne les paramètres géométriques du câble, la longueur L est toujours supérieure à 180 m, et on remarque qu’autour de 90 % des réalisations de la hauteur h et du diamètre d sont supérieures à leurs moyennes respectives (9 m et 10,5 cm).

L’observation de ces réalisations d’entrée montre un rôle important des angles θp, θe et φ sur les cas extrêmes d’interférences. Le temps de largeur tl, et les paramètres géométriques L, h et d du câble semblent également avoir un effet significatif sur les niveaux extrêmes de couplage. Ces observations rejoignent les conclusions établies au cours de l’analyse fiabiliste.

Figure6.16 – Cas d’un sol en terre : histogramme représentant le nombre de réalisations de courant Imax obtenu dans la 4ème strate. Sur les 50 valeurs de courant calculées, 18 valeurs sont supérieures au quantile ˆYSC(0,99) = 77,1A du modèle rigoureux GORF.

(a)

(b)

Figure 6.17 – Cas d’un sol en terre : réalisations d’entrée (a) des paramètres incertains de l’onde EM et (b) des paramètres géométriques incertains du câble fournissant des valeurs extrêmes de courant Imax avec le modèle rigoureux GORF.