5.5 Application au cas d’une simulation « full-wave » avec une autre simulation
5.5.1.1 Evaluation de la corrélation entre les modèles simple et rigoureux
Comme dans la section 5.4.1.1, nous voulons à nouveau illustrer les différences entre les modèles simple et rigoureux.
Par conséquent, pour les mêmes réalisations d’entrée, nous représentons les courants in- duits I42en fonction de la bande de fréquence [70-110 MHz] avec MoMcoa (courbe avec cercles roses, voir Fig. 5.4(a)) et avec MoM (courbe avec carrés bleus, voir Fig. 5.4(a)). De nouveau, nous pouvons noter une tendance similaire entre les deux courbes mais nous apercevons des différences entre les niveaux maximums d’amplitude de courant et des fréquences de résonance calculées par MoMcoa (i.e. zmax= 0,4359 mA) et MoM (i.e. ymax= 0,5591 mA). Notez que pour cette simulation, un maillage grossier avec 49 segments des fils a été utilisé par le modèle simple MoMcoa, et un maillage fin avec 150 segments des fils a été requis par le modèle rigoureux MoM. De plus, nous avons également évalué les quantiles de niveau 95 % de MoMcoa( ˆZEE(0,95) = 0,3897mA) et de MoM ( ˆZEE(0,95) = 0,4521mA) à partir de 7000 réalisations par simulation de MC. Cette fois encore, les quantiles d’ordre 95 % sont différents. Cependant, nous observons sur la figure5.4(a) que les niveaux maximums des deux courbes zmax= 0,4359mA et ymax= 0,5591 mA, respectivement calculés par MoMcoa et par MoM, sont supérieurs à leur quantile de niveau 95 %. Cette configuration montre une nouvelle fois un certain niveau de corrélation (5.14) entre les deux simulations.
En réalisant des simulations pour une nouvelle configuration aléatoire des variables d’en- trée, les courants I42obtenus par MoMcoa(courbe avec cercles roses, voir Fig.5.4(b)) et par MoM (courbe avec carrés bleus, voir Fig. 5.4(b)) sont dans ce cas assez différents vis-à-vis de leur quantile d’ordre 95 %. D’une part, zmax= 0,3599mA (les fils sont maillés en 49 segments) est inférieur à son quantile de niveau 95 % correspondant, ˆZEE(0,95) = 0,3897mA. D’autre part, ymax = 0,4598mA (les fils sont maillés en 147 segments) est supérieur à son quantile relatif d’ordre 95 %, ˆYEE(0,95) = 0,4521mA. Pour quantifier la similitude entre MoMcoaet MoM autour de leur quantile respectif, nous avons estimé le coefficient de corrélation ˆρI(0,95) = 0,76à par- tir de 1000 réalisations par simulation de MC. Dans ce cas, le niveau de corrélation entre les modèles simple et complexe est plutôt élevé. Ceci devrait permettre d’identifier de nombreuses réalisations pertinentes avec le modèle simple. Nous nous attendons donc à une amélioration significative de la qualité de l’estimation du quantile d’ordre 95 % par rapport à celle de la section5.4.
5.5.1.2 Estimation de quantile par SC et SCA
Comme auparavant, nous appliquons la méthode de SC avec une stratégie de répartition uniforme.
Nous choisissons 50 réalisations par strates à partir du modèle simple MoMcoa. En utilisant 7000 réalisations à partir de simulation de MC, nous identifions les quantiles de Z permettant de définir les strates :
⎧⎪⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ ⎪⎩ α= 0,5�→ zα= 0,1750 mA α= 0,9�→ zα= 0,3277 mA α= 0,95�→ zα= 0,3897mA.
Nous avons effectué 10000 estimations du quantile ˆYSC(0,95) par la méthode de SC (avec n = 200 calculs de MoM à chaque estimation), et nous avons obtenu une espérance de
(a)
(b)
Figure 5.4 – Le courant induit I42 est évalué sur la bande de fréquence [70-110 MHz]. Deux configurations aléatoires des variables d’entrée sont utilisées en (a) et (b) afin de calculer I42 avec le modèle simple MoMcoa (courbe avec cercles roses) et avec le modèle rigoureux MoM (courbe avec carrés bleus).
ˆ
µYSC(0,95) = 0,4547 mA ainsi qu’un écart-type de ˆσYSC(0,95) = 0,0202 mA. En utilisant une estimation empirique, il aurait été nécessaire de recourir à n = 400 calculs de MoM à chaque estimation pour obtenir un écart-type de même ordre. Ce cas montre que la technique de SC avec une stratégie de répartition uniforme permet de réduire de 50 % le temps de calcul si
l’on néglige le temps de simulation utilisé par MoMcoa. Nous remarquons que l’estimation par SC du quantile est meilleure lorsque l’on dispose du modèle simple MoMcoa, au lieu du modèle TLT (cf. section5.4), où l’écart-type de la méthode de SC est supérieur i.e. ˆσY
SC(0,95)= 0,0265 mA. Cette exemple confirme bien que, lorsque le coefficient de corrélation ˆρI(0,95)(5.14) est plus élevé, la technique de SC est plus efficace.
En ayant à notre disposition un bon modèle simple, nous appliquons l’approche par SCA avec n = 200 réalisations pour vérifier sa contribution additionnelle à la technique de SC. Notez que dans la section5.4, la méthode de SCA n’a pas fourni une estimation de meilleure qualité que la SC, vraisemblablement car le modèle simple utilisé était de qualité insuffisante.
Dans un premier temps, nous appliquons la méthode de SC avec un choix a priori de ˜n = 100 réalisations et une stratégie de répartition de 25 réalisations dans chacune des 4 strates. Dans un second temps, nous estimons la répartition optimale (parmi les 100 réalisations restantes) dans chaque strate ˜βj, pour j = 1, . . . ,4. Lorsque cette répartition est identifiée, nous ajou- tons les réalisations requises dans chaque strate et nous estimons les quantiles ˆYSCA(0,95). En reproduisant 10000 estimations du quantile par SCA, nous trouvons une espérance de
ˆ
µYSCA(0,95)= 0,4452mA et un écart-type de ˆσYSCA(0,95)= 0,0157mA. Pour obtenir un écart- type de même ordre, nous aurions dû utiliser autour de n = 600 réalisations. Le bénéfice de la méthode SCA est de 3 fois en termes de temps de calcul (sans considérer le coût de calcul du modèle simple). Cela permet de confirmer le fait que, la technique de SCA peut être très efficace lorsqu’elle s’appuie sur un modèle simple hautement corrélé au modèle rigoureux pour l’estimation des événements extrêmes. Les écarts-types des estimations du quantile d’ordre 95 % et le nombre de simulations requis par le modèle rigoureux, sont donnés pour les méthodes de SC, SCA et EE sur la table 5.2.
Table5.2 – Cas d’un modèle simple basé sur une simulation « full-wave » avec un maillage grossier : comparaison des résultats obtenus par SC, SCA et EE pour l’estimation du quantile d’ordre 95 % du courant. Méthode Nombre de simulations du modèle rigoureux Écart-type de l’estimation du quantile d’ordre 95 % SC avec une répartition uniforme dans les
4 strates : {50; 50; 50; 50} n= 200 σˆYSC(0,95)= 0,0202 mA SCA n= 200 σˆYSCA(0,95)= 0,0157 mA EE n= 200 σˆYEE(0,95)= 0,0305 mA EE n= 400 σˆYEE(0,95)≈ 0,0202 mA EE n= 600 σˆYEE(0,95)≈ 0,0157 mA