Sol rocailleux : estimation de quantile extrême de courant

Dans cette section, le câble est considéré au dessus d’un sol rocailleux, de conductivité σ= 10−3 _S/m.

6.4.3.1 Estimation de la corrélation entre les modèles simple et rigoureux Dans le but d’illustrer le comportement des courants∣I∣ calculés par TLT et par GORF, nous choisissons de les évaluer pour une même réalisation aléatoire des 7 variables d’entrée. En choisissant une configuration aléatoire des paramètres d’entrée, nous représentons l’évolution temporelle des courants ∣I∣ calculés par TLT (courbe rouge, voir Fig. 6.12(a)) et par GORF (courbe bleue, voir Fig.6.12(a)). On observe que le niveau maximum de courant∣I∣ évalué par TLT, est plus élevé que celui calculé par GORF. De plus, les pics de courant se produisent avec un décalage temporel qui n’a aucune signification physique (la référence temporelle utilisée dans TLT et GORF est différente). La différence d’amplitude maximale de courant entre les 2 modèles, s’explique par le fait que le modèle simple utilisé considère une connexion parfaite- ment conductrice, à l’interface du fil vertical et du sol (i.e. à l’endroit où le courant ∣I∣ est calculé).

Nous estimons d’abord les quantiles de référence à partir d’estimations empiriques avec un échantillon de taille importante. Les quantiles de niveau 99 % de TLT ( ˆZEE(0,99) = 115,1 A) et de GORF ( ˆYEE(0,99) = 75,8A) sont respectivement calculés à partir de 10000 et de 1000 réalisations par simulation de MC. Il est à noter qu’il n’est pas possible d’effectuer 10000 calculs avec GORF en raison du temps de calcul trop coûteux. On remarque que ces quantiles sont très différents. En observant la figure6.12(a), on s’aperçoit que pour cette configuration particulière de réalisations d’entrée, les niveaux maximums de courant ∣I∣ évalués par TLT et par GORF, i.e. zmax= 129,0 A et ymax= 91,4 A, sont plus élevés que leur quantile de niveau 99 % . Ceci met en évidence que la corrélation ˆρI(0,99)(5.14) entre les deux modèles de calcul n’est pas négligeable.

En effectuant une nouvelle simulation avec TLT et avec GORF pour une autre configuration aléatoire de réalisations d’entrée, nous observons que les courants ∣I∣ évalués par TLT (courbe rouge, voir Fig. 6.12(b)) et par GORF (courbe bleue, voir Fig.6.12(b)) sont cette fois différents vis-à-vis de leur quantile de niveau 99 %. D’une part, zmax= 123,9A est supérieur au quantile de niveau 99 % calculé pour TLT, i.e. ˆZEE(0,99) = 115,1 A. D’autre part, ymax = 73,2 A est inférieur au quantile de niveau 99 % obtenu pour GORF, i.e. ˆYEE(0,99) = 75,8 A. Cela montre que la corrélation ˆρI(0,99)n’est pas parfaite. Afin de mesurer la tendance entre TLT et GORFau voisinage de leur quantile, une estimation du coefficient de corrélation ˆ_{ρI(0,99) = 0,8} a été obtenue à partir de 1000 réalisations par simulation de MC. Cette estimation de la corrélation montre que le modèle TLT devrait permettre d’identifier un nombre très significatif de réalisations d’entrée fournissant des valeurs extrêmes de courant avec le modèle rigoureux GORF. Notons que si l’on sait a priori que le modèle simple est fiable sur le plan de la corrélation, alors cette procédure n’a pas besoin d’être renouvelée, et la méthode de SC peut être appliquée directement.

La section suivante a pour objectif d’appliquer la méthode de SC pour estimer le quantile d’ordre 99 % du courant Imax, à l’extrémité du câble illuminé par l’onde EM.

(a)

(b)

Figure 6.12 – Cas d’un sol rocailleux : évolution temporelle de l’amplitude du courant∣I∣ à l’extrémité du câble. Deux configurations aléatoires de variables d’entrée sont considérées en (a) et (b) pour le calcul de ∣I∣ avec le modèle simple TLT (courbe rouge) et avec le modèle rigoureux GORF (courbe bleue).

6.4.3.2 Approche par SC

Dans cette section, nous souhaitons appliquer la méthode de SC. Nous proposons de sé- lectionner 50 réalisations par strates à partir du modèle simple TLT. Pour cela, nous évaluons les quantiles de TLT à partir de 10000 réalisations de X par simulation de MC :

⎧⎪⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ ⎪⎩ α= 0,5�→ zα= 33,5 A α= 0,9�→ zα= 66,9 A α= 0,99�→ zα= 115,1 A.

Supposons que le quantile d’ordre α = 0,99 doive être estimé avec au maximum n = 200 appels au modèle rigoureux GORF. Ainsi, en utilisant n = 200 calculs de GORF, une estimation du quantile d’ordre 99 % par SC fournit ˆYSC(0,99) = 72,0 A. Il est à noter qu’une seule estimation par SC est effectuée en raison du temps de calcul très coûteux. La qualité de l’estimation par SC est assez satisfaisante car elle est assez proche du quantile empirique de référence donné à partir de 1000 réalisations par simulation de MC : ˆYEE(0,99) = 75,8A. Nous sommes également intéressés par examiner le niveau de corrélation entre TLT et GORF. Pour cela, nous représentons sur la figure 6.13, les réalisations du courant Imax obtenues dans la 4ème _{strate, i.e. où Z > z}

0,99= 115,1 A. L’histogramme représente la probabilité d’occurrence des valeurs de courant observées dans la 4ème_{strate du domaine de la réponse Y . A partir de la} figure6.13, nous vérifions qu’un nombre important de valeurs extrêmes de courant est atteint. En effet, parmi les 50 valeurs de courant Imax calculées, 48 d’entre-elles sont supérieures au quantile ˆYSC(0,99) = 72,0A. En observant ces valeurs extrêmes, il est intéressant de comparer la valeur maximale de courant obtenue sur la figure 6.13, et celle calculée avec l’échantillon de 1000 réalisations par simulation de MC avec GORF (échantillon utilisé pour l’estimation du coefficient de corrélation). Ainsi, cette comparaison montre que ces 50 calculs effectués ont permis d’identifier une valeur maximale de 125,7 A, alors que l’approche par simulation de MC avec un échantillon de taille importante a fourni un niveau maximum de 104,5 A. Cela met en évidence que même si le modèle TLT fournit des résultats très différents de GORF, il est capable de déterminer des réalisations d’entrée pertinentes fournissant des cas très extrêmes avec le modèle rigoureux GORF.

Observons les réalisations d’entrée qui ont permis d’obtenir ces 48 valeurs extrêmes de courant avec le modèle rigoureux GORF. Une représentation par histogramme de ces réalisations d’entrée est donnée sur la figure 6.14.

Nous remarquons alors que les valeurs extrêmes de courant sont obtenues pour des confi- gurations particulières d’angles de l’onde EM. En effet, nous observons que ces cas extrêmes sont essentiellement obtenus sur la 1ère _{moitié du quadrant de l’angle de polarisation θ}

p ([0° ; 45°]), avec un angle d’élévation θe généralement compris dans [10° ; 45°], et pour un angle d’azimut proche de l’axe du câble (φ≈ 0° ou φ ≈ 359°). Les réalisations du temps de largeur tl de l’onde EM sont principalement élevées, avec environ 90 % des valeurs supérieures à la moyenne du domaine initial : 225 ns. La longueur L du câble fournit des valeurs extrêmes pour des réalisations supérieures à environ 200 m, tandis que la hauteur h et le diamètre d semblent au contraire uniformément réparties sur leurs intervalles respectifs.

Ces tendances montrent alors un impact majeur des angles θp, θe et φ de l’onde EM sur les niveaux de couplage extrêmes. Le temps de largeur tlsemble avoir un effet significatif alors que les paramètres géométriques du câble semblent avoir peu d’influence sur les niveaux extrêmes d’interférences.

Figure6.13 – Cas d’un sol rocailleux : histogramme représentant le nombre de réalisations de courant Imaxobtenu dans la 4èmestrate. Parmi les 50 valeurs de courant calculées, 48 valeurs sont supérieures au quantile ˆYSC(0.99) = 72,0A du modèle rigoureux GORF.

(a)

(b)

Figure 6.14 – Cas d’un sol rocailleux : réalisations d’entrée (a) des paramètres incertains de l’onde EM et (b) des paramètres géométriques incertains du câble fournissant des valeurs extrêmes de courant Imax avec le modèle rigoureux GORF.