HapCo : un prototype de simulateur temps réel avec retour haptique
4.3 SOFA: exemple d’intégration du solveur de contact frottantfrottant
«SOFA» pour «Simulation Open Framework Architecture»1 est un projet collabora-tif international (INRIA France, CIMIT USA, CSIRO Australie, Chine, Royaume-Uni et Allemagne), impliquant différentes équipes INRIA dont l’objectif est de développer une plateforme logicielle favorisant la recherche dans le domaine de la simulation temps réel et particulièrement pour les applications médicales. Les principaux objectifs du projet SOFA sont :
– Développer une librairie open-source pour la communauté de simulation médicale, – Favoriser l’échange de modèles et d’algorithmes,
– Optimiser les temps de développement en évitant de réinventer la roue, – Promouvoir les collaborations entre groupes de recherche,
– faciliter le transfert de technologie entre recherche et industrie,
– Standardiser certains éléments d’une simulation (modèles anatomiques par exemple),
– Permettre l’évaluation, la validation et la comparaison de nouveaux algorithmes. Les objets simulés sur SOFA sont modélisés à l’aide de composants indépendants at-tachés à une structure de données arborescente appelée graphe de scène. Les scènes sont décrites en langage XML à l’aide de composants appartenant à des catégories telles que champs de force, masses ou solveurs différentiels. Il est facile d’utiliser plusieurs modèles synchronisés d’un même objet afin d’optimiser des tâches différentes comme le calcul de forces internes, la détection des collisions ou l’affichage. Cette souplesse permet de modé-liser une grande variété d’objets. Des solveurs génériques d’équations différentielles sont utilisés pour piloter la simulation permettant à des objets régis par des lois de comporte-ment différentes d’interagir. SOFA peut, par exemple, simuler les interactions de structures déformables avec des fluides ou des objets rigides (grandes raideurs, grand pas de temps ...). Même si de nombreuses propriétés restent à implémenter, la version actuelle de SOFA contient déjà de nombreux modèles de déformation (masses ressorts, éléments finis), des méthodes d’intégration numérique (intégrateurs implicites et explicites), des méthodes de détection et de réponse aux collisions, ainsi que leur implémentation sur GPU.
Notre solveur générique de forces de contact frottant a ainsi été testé sur la plateforme SOFA pour des interactions entre objets utilisant des modèles de déformation différents. SOFA intègre un algorithme de résolution des forces de contact sans frottement fondé sur la méthode de pénalité. Dans cette dernière, des ressorts sont crées entre deux objets lorsque la distance les séparant passe en dessous d’un seuil prédéfini. Une force de contact est alors calculée afin d’éviter toute interpénétration. Une collaboration entre l’équipe Evasion (INRIA Grenoble) et notre équipe RVH (IBISC Evry) a été initiée afin d’intégrer et tester dans SOFA notre solveur de forces de contact avec frottement.
La figure 4.15 nous montre un exemple de scène contenant un objet déformable composé de3noeuds et un objet rigide composé de4noeuds. Les degrés de liberté sont représentés sous forme de cercle et les forces sous forme de lignes. La plate forme SOFA permet une représentation multimodale des objets composant la scène comme le montre la figure 4.16. La scène peut aussi être représentée sous forme d’un graphe comme le montre la figure 4.15. Les noeuds de ce graphe sont représentés sous forme d’étoiles qui représentent des groupes structurés de composants. Quand une collision est détectée, un noeud «Interaction force» est ajouté au graphe. Celui-ci permet de calculer les forces de contact par une méthode de pénalité.
Fig. 4.15 – En haut, deux solides en interaction. En bas, la représentation dans SOFA de cette
scène sous forme de graphe.
Fig. 4.16 – Représentation multimodale d’un objet dans la plate forme SOFA.
La figure 4.17 montre l’exemple étudié afin de tester le solveur «Multiple Contact Friction Solver». Il s’agit d’une barre modélisé en éléments finis tétraédriques et composée de125noeuds. Elle est encastrée d’un côté avec25noeuds bloqués (conditions de Dirichlet) et soumise à son propre poids. Elle admet un module de Young égal à 200 Mpa et un coefficient de Poisson de 0.49 (très peu compressible). Cet objet vient en contact avec un foie composé de 181 noeuds (dont 3 bloqués) avec un module de Young égal à 5000 Mpa et un coefficient de Poisson de 0.3. Ce système est supposé en équilibre quasi-statique, l’accélération n’est donc pas considérée. Le coefficient de frottement entre les deux objets est de 0.3.
Fig. 4.17 – Contact frottant entre une barre soumise à son poids et un foie dans SOFA. La figure 4.18 représente le graphe simplifié de cette expérience dans SOFA (figure 4.17). Notre solveur, baptisé dans SOFA «Static Friction Solver» est alors ajouté au graphe de la scène à la place du solveur «Interaction Force» afin de calculer les forces de contact frottant entre les deux objets. Le noeud « Static solver» représente le solveur de résolution du déplacement élastique. Basé sur la méthode du gradient conjugué, il permet de calculer
les nouvelles positions des noeuds de l’objet auquel il est rattaché. Dans cette expérience, ce même solveur est utilisé pour les deux objets. Nous aurions pu aussi considérer des solveurs de déplacements différents pour chacun des objets.
Fig. 4.18 – Le graphe SOFA associé à la scène barre foie .
L’algorithme 4.1 défini ci-après, décrit le contenu du solveur «Static Friction Solver» adapté à la plateforme logicielle SOFA. La valeur du paramètre ρmin fournie par la simu-lation est égale au minimum des raideurs locales aux points de contact.
L’intégration du «Static Friction Solver» dans SOFA a mis en évidence les difficultés suivantes:
– Concernant le calcul des positions libres des noeuds, la plateforme de SOFA ne per-mettait pas d’appeler le solveur de déplacement avant le «static Friction solver» (c’est à dire en l’absence des forces de contact). Des modifications ont ainsi été apportées pour remédier à ce problème.
– De plus, l’appel du solveur de déplacement uniquement pour les points en contact n’est pas possible dans SOFA. Cela entraîne ainsi le calcul des positions de tous les noeuds du modèle mécanique de l’objet. Il est alors très coûteux en temps de calcul de faire appel au solveur U à chaque incrément de l’algorithme de résolution des forces de contact frottant.
– De ce fait, nous n’avons pas pu calculer dans la boucle globale d’Uzawa uniquement la position du point en cours de traitement. Comme le montre l’algorithme 4.1, les positions des points en contact sont mises à jour à la sortie de la boucle globale après le traitement successif et indépendant des points en contact (itération de Jacobi). En effet, le traitement d’un contact ne considère pas les dernières forces associées aux points de contact précédents, contrairement à la version de base d’Uzawa globale (itération de Gauss Seidel). Ces restrictions peuvent amener à converger moins rapi-dement (voir pas du tout) et éventuellement conduire à des instabilités numériques.
Algorithme 4.1 : Static Friction Solver
1: Force de contact frottant r=0, N b−iter = 0
2: Appeler le static solver (gradient conjugué) pour chaque objet avec des forces de contact nulles.
3: while εGlobale > εGauss−Seidel et N b−iter < N b−iter−max do
4: r(k−1) =r
5: N b−iter+ = 1
6: for all α 1≤α≤Nc do
7: Calcul du déplacement relatif contraint en ce contact xα
xα = − →n · (X(Pα)−X(Qα)) − → t1 · (X(Pα)−X(Qα)) − → t2 · (X(Pα)−X(Qα))
8: Phase de prédiction-correction des forces de réaction selon Uzawa bi-potentiel
9: end for
10: // Calcul de l’erreur globale
εGlobale =
r−r(k−1)
krk
11: Appeler le static solver (gradient conjugué) pour chaque objet en contact avec les forces de contactR=HT r
Malgré ces difficultés et le manque de temps (séjour de deux semaines), nous avons réussi à intégrer dans SOFA le solveur «Multiple Contact Friction Solver», basé sur l’itération de Jacobi. Nous avons pu le tester dans le cadre d’une interaction avec frottement entre une barre soumise à son poids et un foie. Il faudrait tout de même réaliser d’avantages d’essais et valider la méthode pour d’autres applications. Par ailleurs, il reste à modifier SOFA afin de pouvoir intégrer ce même solveur, cette fois ci basé sur l’itération Gauss-Seidel.