Modèle masses-ressorts

De part leur simplicité et leur aspect intuitif, les modèles masses-ressorts ont eu un grand succès dans le domaine de l’image de synthèse. Une vision continue de l’espace

étant difficilement compatible avec la modélisation informatique, on va le discrétiser pour ne plus le considérer que comme un ensemble de valeurs ponctuelles. En effet, l’objet va être représenté par un nombre fini de points, si possible équi-répartis pour une meilleure représentation. Leur comportement les uns vis-à-vis des autres est intuitivement celui de petites masses ponctuelles reliées à leurs voisines par des relations de type ressorts, figure 1.7, [Pro95], [LPC95], [GW97], [NT98], [TGG00], [BC00].

Fig. ^{1.7 –A droite : Discrétisation d’un objet 2D à l’aide de masses-ressorts. A gauche : un}

maillage en 3D modèle masse ressort, tiré de [Aul01].

Ce réseau Masse-ressort sera utilisé pour discrétiser les équations du mouvement. Le ressort qui relie une paire de noeuds définit une élasticité locale, il sera ainsi facile de cal-culer la force interne subie par chaque masse à chaque instant en fonction des distances à ses voisines : P

j∈V(i)

kij(k−−→p_ip_jk −l₀) ^−−→pipj

k−−→_p

ipjk^{. V(i) représente les points voisins du point i}

etkij la raideur entre les points p_i et p_j. Ces forces internes sont souvent linéaires; cepen-dant, l’utilisation de ressorts non linéaires permet d’obtenir des comportements élastiques non linéaires (grandes déformations). Nedel et Thalmann ont utilisé cette technique pour modéliser des tissus mous à comportement non élastique [NT98].

Dans le système dynamique, la seconde loi de Newton gouverne le mouvement de chaque point-masse p_i de l’objet modélisé par un réseau masse-ressort :

m_ip¨_i+d_ip˙_i+k_ip_i+ ^X j∈V(i) k^ij(k−−→p_ip_jk −l₀) −−→ p_ip_j k−−→p_ip_jk ^=fext

m_i,d_i etk_i sont trois scalaires désignant respectivement la masse, le coefficient d’amor-tissement et la raideur du point i. f ext représente les forces externes appliquées à l’objet comme la force de gravité, la force appliquée par un utilisateur ou les frottements visqueux

etc. L’algorithme consistera donc à intégrer ces équations au cours du temps, et ce pour chaque point séparément.

Les ressorts permettent d’insuffler au modèle des énergies de déformation qui ont pour tâche de définir le comportement de l’objet. Ainsi, le choix du type de ressort est des plus importants dans l’élaboration d’un modèle masses-ressorts. Pour cela, voici une liste non exhaustive de quelques types de ressorts utiles [Len04] : ressort d’élongation, ressort d’élongation amorti et ressorts angulaires.

Le comportement d’un modèle masses-ressorts est directement lié au type de ressort employé. Ainsi, puisque les ressorts décrits ci-dessus ne permettent pas de décrire certaines déformations, de nombreux travaux ont été menés à ce sujet. Provot [Pro95] propose de définir une contrainte sur l’élongation des ressorts. En effet, les ressorts sont munis d’une élongation maximale qui permet de limiter le comportement trop élastique des simula-tions masses-ressorts sans pour autant augmenter de manière démesurée le coefficient de raideur des ressorts. Ainsi le modèle proposé permet de simuler des tissus très peu élas-tiques sans soulever de problèmes d’intégration numérique (problème raide). Bourguignon et Cani [BC00] proposent de contrôler l’anisotropie des déformations en exprimant des pro-priétés élastiques du matériau en tout point de l’objet sur différents axes. Boux de Casson et al [dCL99] ont mis au point une technique qui permet d’augmenter le réalisme de la simulation de déformation du rein, en modélisant le caractère hétérogène de ce matériau, ce dernier est recouvert d’une fine peau qui sert de protection (capsule de Glisson dans le cas du foie). Le comportement du matériau global est obtenu par la combinaison du comportement de ces deux modèles : l’élasticité de la peau et la viscosité de l’intérieur.

L’un des premiers modèles temps réel fut développé par [RL96]; Il s’agit d’un maillage 2D déformable entourant un corps rigide et les résultats obtenus sont qualitativement sa-tisfaisants. Cependant, le maillage 3D est essentiel pour se rapprocher de la réalité et avoir des résultats exploitables.

Ce modèle masses-ressorts est largement utilisé : nous citons [BHG92], [BHW94], [BHW94], [Pro95], [VCMT95], [LPC95], [EWW96], [BW98], [HB00], [VMT00] et [BWK03] pour la simulation de vêtements ou tissus textiles. Zara et al [ZFV02] simulent un modèle masses-ressorts de vêtements sur une architecture distribuée. [TGG99] pour la simulation chirur-gicale, Chadwick [CHP89] pour animer la chair de personnages (sans coefficient d’amor-tissement) [PB81], [PNT98] et [ZPS01] pour l’animation faciale. Nous pouvons aussi noter les travaux de Montgomery et al [MHBW01] qui ont mis au point un simulateur d’hysté-roscopie, ou ceux de Dower et al [DCG⁺98] dont le simulateur est dédié à l’entraînement d’opérations en laparoscopie. Une autre application particulièrement avancée utilisant des modèles de masses-ressorts est le «Karlsruhe Endoscopic Surgery Trainer», un simulateur de chirurgie laparoscopique (endoscopie à travers l’abdomen) adapté notamment à l’enlève-ment de la vésicule biliaire et à des opérations gynécologiques [KKH+97], [KaM00], [CK00]. Ce simulateur (figure 1.8) est sans doute le plus avancé dans ce domaine.

Fig.^{1.8 – Simulation de laparoscopie.}

En effet, la simulation produit une vue virtuelle telle que la produirait en réalité la caméra endoscopique et offre au chirurgien un ensemble d’outils identiques à ceux dont il dispose au cours d’une opération réelle, lui permettant de saisir, couper ou coudre des organes. Les organes ont été modélisés par des maillages surfaciques ou volumiques de masses-ressorts et se comportent comme des matériaux élastiques linéaires. La simulation se fait avec retour de force et permet :

– La manipulation de la caméra et le changement de vues selon la position de l’endo-scope.

– La manipulation d’instruments variés tels que les pinces, scalpels, etc.

– La simulation du saignement et de la pression artérielle (ressentie via le système haptique).

– La simulation de la fumée dégagée lors de l’opération. – La suture (pose de clips pour arrêter le saignement). – L’irrigation pour nettoyer la cavité puis aspiration.

Ce simulateur permet ainsi de modéliser plusieurs gestes caractéristiques d’une opé-ration chirurgicale de type laparoscopie. Néanmoins, de part le modèle et dés différentes simplifications nécessaires au temps réel, il reste peu réaliste [Pac].

La méthode masses-ressorts a l’avantage d’être facile à implémenter. De plus, elle per-met une résolution temps réel, rendant possible le couplage avec un système de retour de force. Par conséquent, elle devient un outil puissant dans l’apprentissage de gestes opéra-toires (figure 1.9).

Fig. 1.9 – simulation masse ressort.

Par contre, les résultats obtenus en terme de comportement mécanique sont peu réalistes et l’identification des paramètres masses, raideurs et coefficients d’amortissement est très délicate. Par ailleurs, le temps réel nécessaire au couplage avec un système haptique limite la taille du maillage. Le temps réel a donc un prix, celui de la précision. Ne se basant pas sur des principes continus, les résultats sont moins fiables que pour les modèles à éléments finis.