1.3 Synthèse
2.1.5 Situer un individu
Dans beaucoup de contextes, le psychologue a pour fonction d’évaluer la position d’un individu, en déficit ou en performance, dans un groupe de référence. Il peut être amené à évaluer le retard scolaire d’un enfant par rapport à sa classe d’âge, le déficit en mémoire à court terme d’un malade Alzheimer par rapport à la popula-tion saine ou la compétence d’un candidat à un poste de travail par exemple. Dans tous ces cas, il doit pouvoir positionner la performance de l’individu par rapport à un groupe de référence. On peut faire cela de deux manières.
Etalonnage par quantilage
Pour situer un individu dans une distribution, il est toujours possible d’observer simplement quelle est la proportion d’individus qui sont dans les modalités de per-formance supérieures (ou inférieures) à la sienne. Cette procédure est en principe applicable à toute variable au moins de niveau ordinal (mais plus couramment utilisée en psychologie sur des variables numériques).
Par exemple, à partir des tableaux précédents, on voit qu’un homme de niveau d’anxiété 3 compte 91.6% d’hommes ayant un score inférieur ou égal au sien.
Autrement dit il est jugé plutôt anxieux dans son groupe car peu d’hommes (8.4%) sont plus anxieux que lui. Pour le même score, seulement 29.4% des femmes ont un score égal ou inférieur, et ce niveau d’anxiété n’a rien d’extrême dans ce groupe.
Si l’on dispose d’un quantilage habituel sur la variable, le score d’un sujet peut être qualifié de façon plus parlante. Avec un quintilage par exemple (distinction de 5 classes de sujets d’effectifs égaux), on parlera de sujets très faibles, faibles, moyens, bons, très bons. C’est ce qu’on appelle un étalonnage en quantiles. Un grand nombre de tests psychologiques sont étalonnés de cette façon, avec des dé-coupages en déciles ou en centiles.
Un homme d’anxiété 1 fait partie de la classe des 20% de scores inférieurs : on dira qu’il a un score « très faible » d’anxiété dans l’étalonnage arbitraire en 5 classes ci-dessus (fréquences cumulées de 0 à 0.20). Une femme de score 4 fait partie, dans son groupe, de la troisième classe de scores (fréquences cumulées de 0.40 à 0.60), dits « moyens », selon le même découpage.
Etalonnage sigmatique
Lorsque la variable est numérique et qu’elle est correctement résumée par sa moyenne (ce qui suppose la symétrie de la distribution), on peut juger de la per-formance d’un individu en observant comment il se situe par rapport à la moyenne de son groupe. Un sujet masculin qui a un score d’anxiété de x= 7 s’écarte de e =x−x¯ = 7−2.72 = 4.28points de la moyenne. Dans le groupe des femmes, ce score de 7 représente un écart plus petit de e=x−x¯ = 7−4.16 = 2.84 par rapport à la moyenne des femmes.
Scores centrés réduits (notes « z »)
Néanmoins, ce moyen de repérage n’est pas complètement satisfaisant quand les dispersions des scores ne sont pas les mêmes dans les divers groupes. Un point d’écart à la moyenne n’a pas le même sens dans le groupe des femmes et celui des hommes, puisque les écarts sont en moyenne plus grands chez les femmes. Une manière commode de situer un individu par rapport à la moyenne de son groupe, en contrôlant les différences de dispersion, est de mesurer cet écart en nombre d’écarts types du groupe. On définit ainsi à partir du score brut x un nouveau score zdit « centré réduit » :
z= x−x¯ s .
Un homme ayant un score brut de 7 a un score centré réduit de : z= x−x¯H
sH =7−2.72 0.62 = 6.9.
Le même score brut, dans le groupe des femmes, donne un score centré réduit de : z= x−x¯F
sF = 7−4.16
1.32 = 2.15.
Avec cette mesure, on voit que le même score 7 représente un niveau d’anxiété plus élevé dans le groupe des hommes que dans le groupe des femmes, quand on élimine l’effet des variabilités distinctes. Le score 7 est à 6.9 écarts types de la moyenne
dans le groupe des hommes, et à 2.15 écarts types de la moyenne dans le groupe des femmes.
On peut là aussi fixer des coupures repère pour définir des classes de sujets : les 4 coupures −1.5,−0.5, 0.5, 1.5 définissent 5 classes de scores qui distinguent des sujets très faibles, faibles, moyens, bons, très bons, sur la variable considérée.
Naturellement, les classes ainsi définies sur les scores (et non sur les effectifs) ne sont pas d’effectifs égaux, mais les intervalles (non extrêmes) sont de largeur constante. C’est ce qu’on appelle unétalonnage sigmatique (en référence à l’écart type qui sert d’unité de mesure).
Un score de 7 chez les hommes ou chez les femmes représente un score « très élevé », selon le découpage en 5 classes ci-dessus.
La question de savoir s’il est légitime de standardiser les écarts par l’écart type est toujours délicate. Le psychologue préfère dans la plupart des comparaisons découvrir que les groupes ne diffèrent qu’en moyenne mais pas en dispersion, car l’interprétation de la situation est plus simple (elle n’est alors qu’une comparaison de niveaux moyens). Quand une différence de variabilité apparaît, cela révèle que les performances des sujets sont affectés par d’autres facteurs qui ne jouent pas un rôle égal dans l’un et l’autre groupe. Cela rend la comparaison des groupes diffile.
Propriétés
D’après la propriété barycentrique de la moyenne (équation 1.2), nous savons déjà que, quelle que soit la variableX :
N
La moyenne des noteszsera donc toujours nulle.
La variance des notesz, calculée avec la formule (« moyenne des carrés moins carré de la moyenne »), est par ailleurs :
s2z =
Elle peut aussi être rapidement obtenue par application de la propriété sur la variance d’une variable soumise à changement d’échelle. Les notes z ne diffèrent
des notes d’origine que d’un facteur d’échelle1/s(on se souvient que le changement d’origine n’a pas d’impact sur la variance). On a donc :
s2z= 1 s