cas SISO d’ordre 2 :

F y y y convergera vers F y( _d,y_d) [Cha, 05].

Ainsi, pour estimer F y y y( , , _d), on utilisera un RO dont les entrées sont y_d et y_d. L’expression analytique de cet approximateur est donnée par :

[ ]

ˆ ( , )_{d d} ^{T T} _d, _d ^T F y y =C ψ +A y y +B qui peut être réécrite sous la forme :

ˆ ( )_d ^{T T} _d

F Y =C ψ +A Y +B (2-15)

où Y_d =[y_d,y_d]^T.

On considère les régions de contrainte de C, A et Bdéfinies respectivement par :

Selon le théorème d’approximation, il existe une valeur optimale finie de F Y^ˆ

( )

d qui vérifie que : ˆ*

( ) ( )

F F Yd F Yd

δ = − (2-16)

où F Y^ˆ*( _d)=C^ˆ*Tψ +A Y^ˆ*T _d +B^ˆ*.

Par conséquent, l’équation (2-14) peut être réécrite sous la forme :

*

ˆ 0

( ) ( _d) _{F d} ( )

S t = −F Y −δ −g u+y +λe t (2-17)

Proposition 1 cas SISO d’ordre 2 : [Hus, 08a]

La loi de commande suivante garantit la stabilité globale du système en boucle fermée et la convergence de l’erreur de poursuite vers zéro.

1

Démonstration 1 cas SISO d’ordre 2 :

En prennent en compte la loi de commande (2-18), la dérivée de S peut être réécrite sous la forme :

31

( ) ^{T T} _{d F} S2

S t C ψ A Y B δ

= + + − −ρ (2-20)

Pour étudier la stabilité du système bouclé et pour trouver les lois d’adaptation pour les paramètres du réseau d’ondelettes, nous considérons la fonction de Lyapunov suivante :

2 2

La substitution de (2-20) dans (2-22) donne :

2

En choisissant les lois d’adaptation suivantes,

C= −γ ψCS (2-25)

A d

A= −γ SY (2-26)

B= −γBS (2-27)

l’équation (2-24) devient :

32

En intégrant cette inégalité entre 0 et T, nous obtenons :

2

En utilisant le lemme de Barbalat [Wan, 94], on peut constater que la surface de glissement converge asymptotiquement vers zéro malgré la présence des perturbations externes. Etant donné que la surface de glissement est attractive, quand le système atteint la surface, il y reste et converge vers l’origine [Utk, 77]. Le schéma bloc de la commande proposée est donné par les figures (2-2) et (2-3).

33

Figure (2-2) : Le schéma bloc de l’approche proposée

Le RO

Figure (2-3) : Illustration de réseau adaptatif d’ondelettes

34 II.4.2. Simulation et résultats

Pour montrer l’efficacité et la performance de la méthode proposée, on considère le système amortisseur donné par la figure (2-4).

y

Figure (2-4) : Le système amortisseur

On note par M la masse, K la raideur du ressort, B le coefficient des frottement visqueux, et u l’effort appliqué. L’équation dynamique du système peut être donnée par :

( ) ( ) ( ) valeurs et les définitions des paramètres nominaux, et les forces du ressort et des frottements de Coulomb.

Paramètres nominaux M =1,K =2,B=2 Les forces du ressort

et des frottements de Coulomb Tableau (2-1) : Paramètres de simulation

Pour construire l’approximateur, on a défini les fonctions d’ondelettes sur l’intervalle

[

^{−1.5, 1.5}

]

pour les deux entrées. On considère que γ_C =200γ_A au moins, ainsi que γ_A =γ_B. Ce choix garantit la non-linéarité de l’approximateur. Donc, ce réseau sera mis à jour en choisissant

35

A B 0.05

γ =γ = et γ_C =10. Concernant les paramètres ajustables, leurs valeurs initiales ont été choisies nulles. En fait, le terme S₂

ρ dans l’équation (2-18) maintient la stabilité du système et permet aux valeurs de paramètres ajustables d’être initialisées à zéro. Le terme S₂

ρ dans (2-18) ne nous a pas permi d’avoir une commande nulle au début de régime transitoire même si les variables ajustables de notre approximateur sont initialisés à zéro.

Pour avoir un bon compromis entre le temps de réponse et l’amplitude de l’effort appliqué, nous avons choisi la pente de la surface de glissement λ( )e comme suit : ( ) ⁵

e 0.2 λ = e

+ .

Pour tester la robustesse de la commande proposée, nous avons introduit des variations paramétriques et des perturbation externes données par :

0.1sin( ) , 0.5, 0.5, 0.125 (2 )

M y K B d sin t

Δ = Δ = Δ = = .

Plusieurs simulations ont été effectuées sur ce système. Les figures (2-5)-(2-7) donnent les résultats pour un taux d’atténuation d’une valeur de ρ=4.5. Nous remarquons que la sortie du système et sa dérivée rejoignent rapidement leurs signaux de référence correspondants. La figure (2-7) montre l’absence du phénomène de broutement dans la commande appliquée au système.

Si nous comparons les résultats obtenus avec ceux qui sont dans le cas de surface de glissement fixe (une valeur constante de λ), l’approche proposée garantit les mêmes performances de poursuite en économisant 65% de la valeur initiale de contrôle (figure (2-8)).

En comparant les performances de RO classique avec notre RO proposé, comme le montre la figure (2-9), nous remarquons que le RO proposé est bien meilleur dans la poursuite de la trajectoire désirée.

36

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Figure (2-5) : La position du système « amortisseur » et sa trajectoire de référence

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

Figure (2-6) : La vitesse du système «amortisseur » et sa trajectoire de référence

yd

y

yd

y

37

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-2 0 2 4 6 8 10

Figure (2-7) : La commande appliquée au système « amortisseur »

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 5 10 15 20 25 30

variable surface Fixed Surface

Figure (2-8) : Comparaison entre la commande avec une surface fixe et une autre variable

Surface fixe Surface variable

38

Figure (2-9) : Comparaison entre l’approximation utilisant RO classique et Proposé

II.5. Commande adaptative avec un réseau d’ondelettes flou II.5.1. Cas d’un système mono-entrée mono-sortie d’ordre 2

Dans cette section, on s’intéressera au développement d’une nouvelle loi de commande pour un système non linéaire et incertain dont la dynamique est complètement inconnue. Pour cela, on utilisera un nouvel approximateur qui est le réseau d’ondelettes flou.

Le réseau d’ondelettes flou (ROF) peut être considéré comme un cas particulier des systèmes flous. L’intérêt principal de ce type de système est l’approximation de non linéarité par la superposition de fonction d’ondelettes [Lin, 06]. De plus, il a été démontré dans [Del, 95] que ce type de systèmes est un approximateur universel.

On suppose que l’on ne dispose de la partie nominale g x x₀( , ). Dans ce cas, la loi de commande développée précédemment ne peut pas être utilisée.

Pour remédier ce problème, on propose d’effectuer d’abord une manipulation mathématique de telle sorte qu’un seul approximateur soit requis pour mettre une loi de commande. Ensuite, on regroupera toutes les fonctions inconnues en une seule fonction en vue de son approximation.

Ainsi, le système étudié (2-7) également décrit par :

( ) ( ) ( ) ( )

39

Si l’on considère la surface de glissement non linéaire (2-9), sa dérivée peut être donnée par :

d d d

Puisque la fonction F x x y

(

^{, ,} d

)

contient des termes inconnus et non linéaires, nous proposons de l’approximer à l’aide de ROF en utilisant l’équation suivante :

ˆ ( , )_{d d} ^{T T} fait que si le système converge vers la trajectoire de référence alors, F x x y

(

^{, ,} d

)

convergera vers

(

d^, d

)

F y y .

Nous pouvons considérer

yd tel que yd =

[

yd^,yd

]

^T.

La prochaine tâche est de développer une commande robuste en mesure d'assurer une bonne performance de poursuite malgré la présence de l’erreur d’approximation et de la perturbation externe.

40

( )

^, d ^ˆ*( d⁾

F x y =F y +δ (2-41)

où δ désigne l'erreur minimale d'approximation; δ =F y

( ) ( )

d −F^ˆ* yd . Dans ce cas, la dérivée de la surface de glissement par rapport au temps devient :

ˆ ( )* _{d d}

S =F yd +y − −u d +δ (2-42)

Proposition 2 cas SISO d’ordre 2 :

La loi de commande suivante garantit la stabilité et la robustesse du système (2-7) en boucle fermée.

ˆ ( ) _{d d}

u=F yd +y −k S (2-43)

où k_d est une constante positive donnée par le concepteur.

Démonstration 2 cas SISO d’ordre 2 :

En substituant (2-43) dans (2-42), nous obtenons :

ˆ*( ) ˆ( )

Pour étudier la stabilité du système en boucle fermée et trouver les lois d'adaptation, nous considérons la fonction de Lyapunov suivante :

2 2

41 La dérivée par rapport au temps de (2-45) devient alors :

1 ^T 1 ^T 1

Par conséquence, l’équation (2-46) sera :

1 ^T ˆ 1 ^T ˆ 1 ˆ

c a b

V SS C C A A BB

γ γ γ

= − − − (2-47)

En substituant (2-44) dans (2-47), et supposant que ( ) ^{T T}

d d

Si nous choisissons maintenant les trois lois d’adaptation suivantes :

ˆ a d

42

Après quelques manipulations, nous obtenons

2 2

En se basant sur le fait que tous les éléments dans la partie droite de cette inégalité sont bornés,

le terme ²

0 2

Tkd

∫

S dt devient également borné. Selon le lemme de Barbalat, nous avons lim ( ) 0

t S t

→∞ = .

A partir du moment où la surface de glissement est conçue et construite pour être attractive, nous aurons alors lim ( ) 0

t e t

→∞ = .

II.5.3. Cas d’un système mono-entrée mono-sortie d’ordre n Considérons le système SISO non linéaire d’ordre n suivant :

( )ⁿ ( ) ( )

43 ( )

f x et g x( ) sont deux fonctions continues mais inconnues, u et y représentent l’entrée et la sortie du système respectivement,

( 1)

, , , ^{n T}

x= ⎣⎡x x… x ⁻ ⎤⎦ représente le vecteur d’état et

d représente la perturbation externe considérée inconnue mais bornée.

Selon (2-39), l’équation (2-57) peut être réécrite sous la forme suivante :

( )n

d d

x = f + +u d (2-58)

tels que, f_d = −(1 g⁻¹( ))x y^{( )n} +g⁻¹( ) ( )x f x et d_d =g⁻¹( )x d. La surface de glissement sera définie par :

( 2) ( 1)

1 1

n n

S =λn₋e+ +… λe ⁻ +e ⁻ (2-59)

où λ_i est une constante positive choisie afin que les polynômes de (2-59) aient des racines à partie réelle négative. Alors, nous proposons de choisir λ_i comme suit :

( 1 )ⁱ ; 1, , 1

En conséquence, la dérivée par rapport au temps de (2-60) sera donnée par :

1 1 rapport au temps de la surface de glissement devient :

( )

^, d ^{d( )n d}

44 Puisque la fonction F x y

( )

^, d contient des termes inconnus et non linéaires, nous proposons de l’approximer à l’aide de ROF donné par l’équation (2-40).

Proposition 3 cas SISO d’ordre n [Hus, 07a], [Hus, 07b] :

La loi de commande suivante garantit la stabilité et la robustesse du système (2-57) en boucle fermée.

ˆ ( ) _d( )ⁿ _d

u=F yd +y −k S (2-63)

où k_d est une constante positive donnée par le concepteur.

Dans le document CONTRIBUTION A LA COMMANDE ADAPTATIVE ROBUSTE PAR MODES GLISSANTS (Page 38-52)