contexte et formulation du problème

On considère dans notre étude le système non linéaire incertain et perturbé donné par l’équation suivante :

L’entrée et la sortie du système sont représentées respectivement par u et y. La perturbation externe d est considérée inconnue mais bornée telle que d <χ (χ est une constante positive). mathématique, mais sa valeur réelle n'est pas nécessaire, ni pour la mise en œuvre, ni pour l’implémentation de la loi de commande.

Nous supposons également l’existence des dérivées de y_d jusqu’à l’ordre deux et que y_d^{( )i} , i=0,1,2, sont bornées. Par conséquent, il existe une constante positive κ telle que y_d^{( )i} ≤κ. L’objectif de ce travail est de synthétiser un contrôleur robuste capable de forcer la sortie du système y à poursuivre une trajectoire de référence y_d avec la contrainte que tous les signaux impliqués soient bornés. Pour cela, on propose d’utiliser une loi de commande par mode glissant.

Dans le cas classique, on peut utiliser la surface de glissement suivante :

S= +e λe (3-2)

où e= y_d−y est l’erreur de poursuite et λ représente la pente de glissement. Néanmoins, l’utilisation de cette surface présente deux inconvénients majeurs :

71 1. durant la phase d'approche, le système est sensible aux incertitudes et aux perturbations,

ce qui provoque le phénomène de broutement au voisinage de la surface.

2. Le choix d'une grande valeur de la pente λ permet de réduire la phase d'approche, mais nécessite une sollicitation importante durant le régime transitoire. Par contre, une faible valeur engendre une réponse lente. Un compromis entre la commande appliquée et le temps de réponse peut être proposé (équation (2-9)).

Dans ce chapitre, nous proposons de modifier la structure de la surface de glissement de telle sorte que celle-ci passe par le point initial, ce qui permet la suppression de la phase d'approche, et, par conséquent, le système sera sur la surface dès l’instant initial

(

^t=0

)

^.

Dans le but d’améliorer les performances dynamiques, plusieurs travaux se sont focalisés sur la modification de la surface de glissement en la rendant non linéaire [Cho, 93], [Cho, 1994], [Sir, 94], [Su, 94], [Chu, 96], [Roy, 97], [Yu, 97], [Ha, 1999]. Dans [Lee, 89], l’expression de la surface se compose de deux parties, l’une linéaire, et l’autre non linéaire. Cependant, cette structure rend la mise en œuvre de la loi de commande plus complexe et compromet ainsi la convergence du système vers la surface. Dans le même contexte, Tokat et al [Tok, 03], ont modifié la surface sous forme oblique. Néanmoins, on constate que ces travaux permettent, certes, d’améliorer quelques performances dynamiques, mais au détriment de la complexité de la loi de commande et de la sensibilité du système vis-à-vis des perturbations externes. Dans notre étude, on propose d’éliminer la phase d’approche, ce qui nous permet, à la fois, de résoudre le problème de sensibilité du système et de réduire le temps de convergence. L’idée est de trouver une expression qui nous permet d’avoir le système sur la surface dès l’instant initial. Pour cela, on considère une surface de glissement sous la forme suivante :

( )

La dérivée de (3-3) par rapport au temps peut être réécrite sous la forme :

( )

En utilisant (3-1), l’équation (3-4) devient :

72 utiliser, pour atteindre notre objectif, la loi de commande suivante :

( ) ( )

difficile, si ce n’est impossible, à calculer, la loi de commande (3-6) ne peut pas être utilisée sous cette forme. Dans ce qui suit, nous allons résoudre ces contraintes en proposant une nouvelle loi de commande pour assurer aussi bien la bonne performance de poursuite que la robustesse du système bouclé.

L'idée principale est d’approximer les termes inconnus en utilisant un seul SF-T2 sous les contraintes suivantes :

1. la robustesse du système doit être garantie en boucle fermée,

2. le nombre de paramètres impliqués dans la loi de commande conçue doit être réduit.

D’après l’équation (1-10), la sortie du SF-T2 peut être donnée par :

( )

^,

( )

^, qu’on peut réécrire sous la forme simplifiée suivante :

( )

^{, T}

( )

^,

Cette structure simplifiée nous permettra d’approximer les dynamiques inconnues et d’exploiter aisément les différentes techniques de commande adaptative. Il est à noter, que nous allons utiliser un seul approximateur afin de réduire aussi bien le temps de calcul que la complexité de la mise en œuvre tout obtenant une excellente approximation.

Dans la section suivante, on présentera la mise en œuvre de la loi de commande proposée.

73 III.3. Mise en œuvre de la loi de commande

On considère la fonction de Lyapunov suivante :

2 2

Etant donné que les perturbations externes sont supposées bornées

(

^{d <χ}

)

, la dérivée de la fonction de Lyapunov vérifie l’inégalité suivante :

( )

On peut toujours trouver une constante positive, a, vérifiant :

2

Utilisant (3-13), (3-12) peut être réécrite sous la forme :

(

d d

( )

^,

) ( )

^, ₂^{2 ˆ}

fd x x l’est également. Le SF-T2 donné par (3-7) peut être utilisé pour approximer cette fonction.

74 D’après le théorème d’approximation universelle [Lee, 05], [Yin, 08] on peut trouver une constate positive ε telle que :

( )

^{, T}

( ) ( )

^{, ,}

fd x x =φ ψ x x +δ x x (3-15)

avec ^δ

( )

^{x x, ≤ε}

Dans ce cas, l’équation (3-14), devient :

(

^{d T}

( )

^,

) ^{( )}

^{, a}₂^{2 b ˆ}

V S y φ ψ x x ε g x x uS αα

≤ − − − + −γ

(3-16)

En introduisant deux constantes positives ρ et η (comme dans (3-13)) et en utilisant le fait que

1 2

garantit la stabilité et la robustesse du systèmes bouclé, ainsi que la bornitude de toutes les variables.

75

où σ est une constante positive introduite comme dans (3-13).

Soient :

Ce qui nous permet d’obtenir l’inégalité suivante :

( ) ( )

^{0 0 0}

Les deux variables S et α appartiennent à l’ensemble suivant :

( ) ( ) ( )

⁰ On a donc montré que l’erreur et la surface sont bornées. En analysant l’expression de la loi de commande, on remarque que celle-ci reste également bornée. Ainsi, l’approche proposée permet de garantir la bornitude de tous les variables du système (états, commande). De plus, l’application

76 du lemme de Barbalat [Wan, 94], nous permet d’affirmer que non seulement l’erreur est bornée mais tend vers zéro à horizon infini.

Dans le document CONTRIBUTION A LA COMMANDE ADAPTATIVE ROBUSTE PAR MODES GLISSANTS (Page 79-85)