II.4 Diagramme de phase global
4.3 Simulations par Monte-Carlo quantique
Le mod`ele pSO(5) a d´ej`a ´et´e largement ´etudi´e par ce type de techniques num´eriques et nous ren- voyons le lecteur `a la revue (85) pour une liste des r´esultats et r´ef´erences. Nous avons utilis´e l’algorithme de d´eveloppement en s´eries stochastique (SSE)104 avec des mises `a jour non locales105. Ce type d’algo- rithme s’est montr´e tr`es efficace dans la simulations de mod`eles de bosons de cœur dur101,106,97et nous rappelons bri`evement son principe.
4.3.1 Algorithme SSE
Le point de d´epart de cet algorithme consiste en un d´eveloppement de haute temp´erature pour la fonction de partition105: Z = Tr e−βH = α ∞ n=0 (−β)n n! α|H n|α,
dans une base|α orthogonale.
La convergence de ce d´eveloppement est assur´ee pour tout syst`eme fini `a temp´erature finie, ce qui permet d’effectuer une troncation contrˆol´ee `a un ordre suffisamment grand. Ainsi, la somme r´esultante peut ˆetre estim´ee par une proc´edure Monte-Carlo qui va ´echantillonner les diff´erents termes en fonction de leur poids. Afin d’´eviter le probl`eme de signe, il faut absolument que les poids soient positifs, ce qui n´ecessite d’avoir des ´el´ements de matrice tous n´egatifs. En pratique, les ´el´ements diagonaux peuvent toujours ˆetre rendus n´egatifs en ajoutant une constante suffisante `a l’hamiltonien et ce sont donc les signes de termes hors-diagonaux qui vont permettre ou non l’utilisation de cet algorithme. Cette condition est bien v´erifi´ee pour notre mod`ele II.1.
Dans chaque simulation, le nombre de boucles (ou plutˆot de((vers)))105est calcul´e de mani`ere auto- coh´erente durant l’´etape de thermalisation, afin d’assurer que le nombre de vertex visit´es par ces vers soit ´egal `a Cn, o`u n est le nombre moyen apparaissant dans le d´eveloppement et C est une constante de proportionnalit´e choisie entre 1 et 5.
Bien qu’´etant un algorithme tr`es efficace, nous avons rencontr´e des difficult´es pour la simulation de certaines phases ou bien au voisinage des transitions de phases. En effet, les phases isolantes pr´esentant des structures en stripes donnent des temps d’autocorr´elation qui divergent car il est tr`es difficile `a basse temp´erature, de passer de l’´etat (π,0) `a (0,π). Ce ralentissement critique est connu pour ce type de syst`emes et nous a limit´es `a des tailles de syst`emes de longueur lin´eaire L ≤ 10 et `a des temp´eratures T ≥ 0.1. Toutefois, en dehors de ces points difficiles, nous pouvons clairement identifier les phases en pr´esence.
Ainsi, grˆace `a sa nature bosonique et `a ses ´el´ements de matrice hors-diagonaux tous n´egatifsa, ce mod`ele peut ˆetre simul´e par Monte-Carlo quantique sans probl`eme de signe. Ceci contraste naturellement par rapport au mod`ele fermionique qui reste tr`es difficile `a simuler dans la r´egion int´eressante.
4.3.2 Param `etres d’ordre et diagramme de phase
Afin de tracer le diagramme de phase num´erique, nous devons calculer les param`etres d’ordre des phases antiferromagn´etique (AF), cristal de paires (PDW) et superfluide (SF). Les param`etres sontΔs =
4.8, V1= 4.1010 et V2 = 3.6329 et nous autorisons Jc `a varier afin de d´ecrire les diff´erents compos´es.
Pour la phase superfluide, il suffit de calculer la densit´e superfluide ρc qui est reli´ee simplement `a
l’enroulement des world-line lors de la simulation Monte-Carlo107,108. Les r´esultats sont montr´es sur la
a Sur un r´eseau bipartite, il est possible de changer le signe de certaines interactions entre proches voisins grˆace `a une
transformation unitaire sur l’un des sous-r´eseaux. Pour la mˆeme raison, le mod`ele de Heisenberg antiferromagn´etique peut ˆetre simul´e bien que ses ´el´ements de matrice hors-diagonaux soient positifs.
II.4 Diagramme de phase global 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.0 0.1 0.2 0.3 ρ c δ Jc=1.5 L=8 Jc=1.2 L=8 Jc=1.0 L=8 Jc=0.8 L=8 Jc=0.6 L=8 Jc=0.6 L=10
FIG. II.12 – : Densit´e superfluide ρc en fonction du dopage pour plusieurs valeurs de Jc. La courbe
obtenue pour Jc = 1.0 ressemble beaucoup `a la forme en dˆome mesur´ee dans les supraconducteurs.
Quant `a Jc ≤ 0.8, ρcpr´esente une d´epression autour de δ = 1/8 comme cela est observ´e dans la famille
LSCO. Figure extraite de la publication [19].
Fig. II.12. Or, comme la densit´e superfluide contrˆole les fluctuations de phase, qui sont tr`es importantes dans la r´egion sous-dop´ee, nous pouvons relier son comportement `a celui de la temp´erature critique Tcqui
existerait dans un syst`eme tridimensionnel74. `
A faible dopage, on trouve que ρcsuit le dopage, ce qui correspond `a une observation exp´erimentale
due `a Uemura109et qui constitue une signature de la physique de Mott sous-jacente. En diminuant Jc, on
voit d’abord apparaˆıtre la structure en dˆome mesur´ee dans les supraconducteurs, puis on observe une diminution de ρcpour un dopage de nh = 1/4 (soit δ = 1/8) qui est due `a la phase isolante.
De mˆeme, les phases solides sont caract´eris´ees par leurs facteurs de structure P DW(qx,qy), qui
sont les transform´ees de Fourier des corr´elations densit´e-densit´e : P DW (q) = L12
i,r
exp(iq.r)nh(i)nh(i + r)
Dans une phase ordonn´ee, le facteur de structure doit diverger comme le volume du syst`eme, c’est-`a-dire que P DW(qx,qy)/L2doit tendre vers une valeur finie (L est la taille lin´eaire du syst`eme).
La Fig. II.13 montre des donn´ees typiques pour P DW(π,0)/L2 obtenues pour diff´erentes tailles. Pour ces valeurs de param`etres et dans la limite thermodynamique, il semble qu’il persiste un param`etre d’ordre fini pour tous les dopages nh ≥ 0.25. Ceci sugg`ere `a la fois la pr´esence de phases isolantes pour
nh = 0.25 et nh= 0.5, mais aussi de phases supersolides pour les remplissages interm´ediaires.
Ainsi, nous obtenons le diagramme de phase g´en´erale de la Fig. II.14. Les caract´eristiques en sont les mˆemes que celui obtenu dans l’approximation de champ moyen (Fig. II.11) mais en regardant pr´ecis´ement, on voit que les valeurs num´eriques exactes sont fortement diminu´ees, ce qui se comprend par l’effet des fluctuations, qui sont n´eglig´ees dans le calcul en champ moyen.
Nous retrouvons en particulier la possibilit´e d’une phase cristalline constitu´ee de paires pour nh =
0.25 (δ = 0.125) lorsque Jc ≤ 0.7. Cette phases est caract´eris´ee par un facteur de structure non nul pour
(π,0), (0,π) et (π,π) (ordre solide) ainsi qu’une absence de superfluidit´e (ρc = 0). Cet ´etat correspond `a
la localisation d’une paire de trous tous les 4 sites.
Une autre pr´ediction de notre mod`ele concerne la possibilit´e d’observer des phases supersolides pour 0.25 < nh < 0.5 (0.125 < δ < 0.25) `a faible Jc. Par d´efinition, de telles phases poss`edent `a
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 L=6 L=8 L=10 PDW( π ,0) δ
FIG. II.13 – : P DW(π,0) en fonction du dopage δ pour plusieurs tailles (L = 6,8 et 10) pour Jc = 0.6.
Dans la limite thermodynamique, il existe un param`etre d’ordre fini pour nh ≥ 0.25 (δ ≥ 0.125). Figure
extraite de la publication [19].
la fois des param`etres d’ordre solide et superfluide non nuls et ont d´ej`a ´et´e observ´ees dans des mod`eles bosoniques sur r´eseaux102,103. Nous avons v´erifi´e que ces phases sont stables par rapport `a une s´eparation de phases, en accord avec le mod`ele `a une seule esp`ece de bosons lorsque V2 est suffisamment grand
(phase(π,0) au demi-remplissage) et proche du demi-remplissage101. Cependant, il est tr`es difficile de situer pr´ecis´ement la fronti`ere d’une telle phase `a cause de difficult´es num´eriques. Il serait d’ailleurs int´eressant d’´etudier l’existence et la stabilit´e d’une telle phase autour de nh = 1/4 (δ = 1/8) pour le
mod`ele plus simple `a une seule esp`ece de boson.
0 5 10 15 20 0.0 0.5 1.0 1.5 J c -Δc AF AF+SC SC PDW+SC PDW PDW+AF
FIG. II.14 – : Diagramme de phase global obtenu par simulations Monte-Carlo quantiques. Les lignes sont indicatives. La topologie g´en´erale est en accord avec les r´esultats obtenus en champ moyen (Fig. II.11), bien que les valeurs num´eriques soient renormalis´ees. Figure extraite de la publication [19].
II.4 Diagramme de phase global
4.4 Cons ´equences exp ´erimentales
L’´etude de notre mod`ele effectif, par champ moyen ou par simulations Monte-Carlo quantique, a conduit `a un diagramme de phase g´en´eral d´ecrivant quelques aspects des cuprates comme la structure en dˆome de Tc, l’anomalie pour un dopage de 1/8 due `a un ordre de charge, ainsi que la possible coexistence
des diverses phases. Ces divers aspects ont ´et´e discut´es souvent s´epar´ement et il est remarquable de tous les observer `a partir d’un seul mod`ele.
Dans notre publication [19], nous discutons en d´etails plusieurs comparaisons avec les exp´eriences dont voici les principales.
4.4.1 Relation entre la densit ´e superfluide et le dopage
Une caract´eristique remarquable de ces compos´es est la d´ependance en forme de dˆome de Tc
en fonction du dopage. En particulier, dans la r´egion sous-dop´e, Tc et la densit´e superfluide ρc varient
lin´eairement avec le dopage x : ceci constitue la loi d’Uemura109. Le fait que Tc ne soit pas du tout pro-
portionnel au gap montre une violation des r´esultats de la th´eorie BCS (valable pour les supraconducteurs usuels). C’est au contraire un argument en faveur des sc´enarios qui consid`erent que la r´egion pseudogap est constitu´ee de paires pr´eform´ees74; ces paires poss´edant une faible densit´e, et donc une faible densit´e superfluide, n’acqu`erent une coh´erence de phase qu’au-dessous de Tc proportionnel `a ρc.
Nos r´esultats pour la densit´e superfluide sont montr´es sur la Fig. II.12 et montrent effectivement `a la fois un comportement lin´eaire `a faible dopage, et une allure en dˆome au-del`a pour des valeurs in- term´ediaires de Jc. Le maximum se situe autour de δ ∼ 18% pour Jc = 1.2. La raison physique de cette
diminution est la proximit´e d’une phase avec ordre de charge pour des dopages de3/16 ou 1/4. Ainsi, dans la r´egion surdop´ee, l’ajout de trous suppl´ementaire va cr´eer une phase avec ordre de charge (qui va coexister ou non avec la supraconductivit´e) qui est en comp´etition avec la supraconductivit´e. Le r´esultat est une diminution de ρc.
Nous pr´edisons par cons´equent l’existence d’une phase avec ordre de charge dans la r´egion sur- dop´ee. Mentionnons que cette phase ne poss`ede pas de magn´etisme et ne peut pas ˆetre observ´ee par diffusion de neutrons. Toutefois, nous avons d´ej`a soulign´e que notre mod`ele effectif devient moins perti- nent dans la r´egio surdop´ee et il faudrait inclure les ´etats fermioniques pour obtenir une th´eorie compl`ete et quantitative.
4.4.2 Anomalie `a 1/8 et mesures sous pression
La d´epression prononc´ee de la densit´e superfluide pour le dopage δ = 1/8 ressemble fortement `a celle observ´ee111 dans les compos´es LSCO. R´ecemment, il a ´et´e montr´e que la comp´etition entre cette phase 1/8 et la phase supraconductrice pouvait ˆetre modifi´ee par la pression110,112. Par exemple, dans le cas de films de LSCO, le d´esaccord de maille avec le substrat va jouer le rˆole de la pression et modi- fier les param`etres de saut (correspondant `a Jc dans notre mod`ele); ainsi, on attend respectivement une
suppression de cette anomalie ou bien un renforcement de la phase isolante, selon qu’on applique une compression ou une expansion respectivement, ce qui a ´et´e mesur´e exp´erimentalement (voir la Fig. II.15). Notre mod`ele explique naturellement ces donn´ees comme observ´ee sur la Fig. II.12. La d´epression est caus´ee par la proximit´e de la phase isolante PDW pour ce dopage. L’ajout d’une pression peut modifier le param`etre de saut Jcet ainsi stabiliser `a nouveau la phase superfluide, ou au contraire renforcer la phase
isolante.
Il serait int´eressant de pouvoir tester exp´erimentalement la possibilit´e de stabiliser les phases iso- lantes PDW correspondant aux autres dopages, 1/16 ou 3/16 par exemple.
FIG. II.15 – : Mesures de Tc dans des films LSCO (les donn´ees obtenues sur le solide sont en ligne
pointill´ee). Selon les conditions exp´erimentales, il est possible d’annuler l’anomalie pour un dopage 1/8 (cercles) ou bien de la renforcer (triangles). Figure extraite de la r´ef´erence (110).