Echelles de spin 25 ´

L’´etude th´eorique des ´echelles de spins pr´esente un grand int´erˆet car de tels syst`emes ont un com- portement interm´ediaire entre les syst`emes en une et deux dimensions20. En outre, il existe une activit´e exp´erimentale sur ces mat´eriaux qui pr´esentent une structure en ´echelle. Par exemple depuis le d´ebut des ann´ees_{90, sont synth´etis´es des mat´eriaux compos´es de strontium et d’oxyde de cuivre de formule g´en´erale} SrnCun+1O2n+1qui pr´esentent des structures en ´echelles `a n montants.

En particulier, le comportement avec le nombre de montants n est non trivial puisque, dans le cas de conditions aux bords ouvertes le long des barreaux et pour des spins S_{= 1/2, on a une alternance entre} un fondamental ayant un gap de spin fini (n pair) ou nul (n impair).

J J⊥ (a) (b) J⊥ J J

FIG. I.7 – : (a) ´Echelle `a deux montants divis´ee en blocs 2 × 2. (b) Tore `a trois montants dont le bloc

´el´ementaire est un triangle. Les couplages selon les barreaux et les montants sont respectivement J_⊥et J.

Nous allons consid´erer des ´echelles `a deux et trois montants repr´esent´ees sur la Fig. I.7, pour un mod`ele de Heisenberg (Eq. I.1) dans la limite des couplages isotropes (J_{⊥= J).}

I.3 ´Etude de syst`emes magn´etiques isolants

3.2.1 Echelle `a deux montants´

Ce syst`eme a ´et´e tr`es ´etudi´e et poss`ede un gap de spin21. L’´etat fondamental peut ˆetre compris `a partir de la limite de couplage fort(J⊥  J) comme un produit d’´etats singulets sur les barreaux. Ainsi,

une excitation magn´etique n´ecessite de briser un singulet, ce qui coˆute une ´energie finie.

Nous choisissons comme bloc ´el´ementaire une plaquette (voir la Fig. I.7 (a)) et nous ne conservons que le fondamental singulet et la premi`ere excitation triplet (voir la Fig. I.8).

S=1 S=1 S=0 S=2 S=0 (0,0) E (π,π) S=1

FIG. I.8 – : Spectre exact du mod`ele de Heisenberg pour une plaquette. La r´egion gris´ee indique les ´etats

qui ne sont pas conserv´es dans l’approche CORE.

Ce syst`eme ´etant relativement simple, nous pouvons calculer les interactions effectives jusqu’`a une port´ee r= 4, ce qui est n´ecessaire pour ´etudier la convergence des hamiltoniens effectifs.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 1/L 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 gap r=2 OBC r=3 OBC r=4 OBC QMC OBC ED PBC r=2 PBC r=3 PBC r=4 PBC QMC PBC

FIG. I.9 – : Gap de spin d’une ´echelle de Heisenberg 2 × L obtenus `a partir d’un hamiltonien effectif incluant des interactions jusqu’`a une port´ee r variable. Ces mod`eles effectifs sont r´esolus exactement sur des syst`emes de taille finie avec des conditions aux bords ouvertes (OBC) ou p´eriodiques (PBC) le long des chaˆınes. Pour comparaison, nous trac¸ons ´egalement des donn´ees obtenues par Diagonalisation Exacte (ED) et Monte-Carlo quantique (QMC), fournies par F. Alet, ainsi que la valeur extrapol´ee dans la limite thermodynamique21.

Pour chacun de ces mod`eles effectifs, nous faisons une diagonalisation exacte sur des syst`emes de taille finie jusqu’`a Nc = 12 blocs, soit N = 48 sites pour le mod`ele initial. Les r´esultats obtenus pour

le gap de spin sont montr´es sur la Fig. I.9 et compar´es aux valeurs obtenues par Monte-Carlo quantiquea ainsi qu’`a la valeur extrapol´ee thermodynamique 0.504 obtenue par DMRG21.

La premi`ere remarque est que l’utilisation des conditions aux bords p´eriodiques acc´el`ere nettement la convergence en fonction de la taille. En effet, dans un syst`eme poss´edant un gap_{Δ fini, les effets de} taille donnent des corrections :

– en_{exp(−LΔ) avec des conditions aux bords p´eriodiques,} – en a/L avec des conditions aux bords ouvertes.

Or, on sait que le DMRG est surtout adapt´e au deuxi`eme cas, ce qui oblige donc `a simuler de plus grands syst`emes pour avoir une pr´ecision ´equivalente.

Le deuxi`eme point concerne la convergence en fonction de la port´ee des interactions effectives. Nous observons une am´elioration constante des r´esultats et, dans le cas r= 4, l’erreur relative est de 10−4 pour l’´energie et inf´erieure `a 1% pour le gap de spin. Cette convergence rapide est due `a la faible longueur de corr´elation de ce syst`eme (typiquement 3 ou 4 pas de r´eseau) et permet de valider l’approche utilisant un hamiltonien effectif.

3.2.2 Tore `a trois montants

Nous consid´erons maintenant une ´echelle de spin `a trois montants poss´edant des conditions aux bords p´eriodiques selon les barreaux (voir Fig. I.7(b)). La frustration est `a l’origine de l’existence d’un gap de spin pour tous les couplages J_⊥22,23. D’apr`es le th´eor`eme de Lieb-Schultz-Mattis24, cela signifie que le syst`eme doit briser la sym´etrie du r´eseau et effectivement, une dim´erisation spontan´ee apparaˆıt. Ce comportement diff`ere fortement du cas avec conditions aux bords ouvertes selon les barreaux, dont la physique est similaire `a la chaˆıne de spins<sub>1/2 et qui donc ne poss`ede pas de gap de spin. En th´eorie des</sub> perturbations, valable lorsque J_⊥ J, il existe un gap de spin fini ΔS = 0.28 J et un ´etat fondamental

dim´eris´e22,23.

Afin de tester l’approche CORE, nous allons nous concentrer sur le cas isotrope J _{= J⊥} qui est tr`es difficile `a traiter par la th´eorie des perturbations. Le bloc ´el´ementaire consiste en un triangle (voir la Fig. I.7 (b)) et les ´etats que nous conservons sont les deux doublets d´eg´en´er´es, ´etats fondamentaux d’un triangle, qui peuvent ˆetre repr´esent´es par un pseudo-spin τ associ´e `a leur chiralit´e ainsi qu’un vrai spin 1/2 not´e σ. Avec des ´etats, nous calculons les interactions effectives `a plusieurs port´ees afin de tester la convergence de la m´ethode.

Sur la Fig. I.10, nous voyons que les valeurs du gap de spin convergent en oscillant vers les va- leurs exactes. Cet effet provient d’une propri´et´e de parit´e : afin de calculer les interactions de port´ee r, on doit r´esoudre alternativement des r´eseaux avec un nombre pair ou impair de sites, ce qui frustre le syst`eme. Toutefois, les valeurs sont relativement pr´ecises mˆeme avec des interactions `a courte port´ee et nous retrouvons que la frustration induit un gap de spin de 0.11 J dans ce syst`eme. Il s’agit d’une borne inf´erieure car nous n’avons pas atteint le r´egime de convergence exponentielle avec la taille, et ce r´esultat est compatible avec les ´etudes par DMRG22.

Afin de d´ecrire cette phase gapp´ee, nous calculons le gap avec la premi`ere excitation singulet S<sub>= 0.</sub> Il s’agit d’un ´etat d’impulsion π qui tombe sur le fondamental avec une loi en <sub>1/L</sub>2. Dans la limite thermodynamique, le syst`eme va combiner ces deux ´etats singulets, ce qui r´esulte en une dim´erisation spontan´ee et un fondamental doublement d´eg´en´er´e, en accord avec le th´eor`eme de Lieb-Schultz-Mattis et les ´etudes ant´erieures faites dans la limite perturbative23.

En conclusion, la m´ethode CORE permet de travailler dans le mˆeme sous-espace que celui de la th´eorie des perturbations, mais, grˆace aux interactions effectives, il est possible de calculer un hamilto- nien effectif fiable dans la limite isotrope. Cette am´elioration majeure par rapport au calcul perturbatif

I.3 ´Etude de syst`emes magn´etiques isolants 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 1/L 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Δ (S=1) / J // ED r=2 r=3 r=4 r=5

FIG. I.10 – : Gap de spin pour un tore de Heisenberg `a trois montants avec des interactions isotropes J = J⊥. Ces valeurs sont obtenues `a partir des hamiltoniens effectifs de port´ee variable r et compar´ees

aux r´esultats obtenus par diagonalisation exacte (ED). Cette figure est extraite de la publication [21]. ne n´ecessite qu’un effort minime (diagonalisation de quelques sites) pour un r´esultat bien meilleur (les ´energies sont obtenues `a 1% pr`es). Dans le cadre de cette technique, il est ´egalement tr`es facile d’am´eliorer les mod`eles effectifs en incluant des interactions `a plus longue port´ee et nous avons observ´e une rapide convergence en fonction de cette port´ee.