Simulations analytiques

Calculs analytiques

L’objectif de cette partie est d’´evaluer analytiquement le nombre de photons qui vont pouvoir ˆetre d´etect´es par le photomultiplicateur. Pour cela, on va consid´erer le nombre total d’ions de charge q `a l’instant t = 0, not´e N_q+(0), parmi ces ions on note N_q^∗+(0) le nombre d’ions qui sont dans un ´etat m´etastable et N_q⁰+(0) le nombre d’ions qui sont dans un ´etat fondamental. On note α la proportion d’ions qui se trouvent dans un ´etat excit´e. On veut calculer dans la suite l’´evolution temporelle des populations N_q^∗+ et N0

q+ en tenant compte des processus de perte d’ions I, II et III. On note λq+

∗

l’inverse de la dur´ee de vie de l’´etat m´etastable relatif `a un ion de charge q. On exprime ainsi les diff´erentes populations d’ions `a l’instant t = 0

N_q+(0) = αN_q+(0) + (1− α)Nq+(0) (5.14)

N_q^∗+(0) = αN_q+(0) (5.15)

N_q⁰+(0) = (1− α)Nq+(0). (5.16) L’´equation qui r´egit l’´evolution temporelle de la population d’ions dans un ´etat m´etastable s’´ecrit en tenant compte du fait que l’ion peut ˆetre perdu

Figure 5.6: Taux de neutre ´evacuant le pi`ege mesur´e avec le d´etecteur MCP pour un courant inject´e fort (107 ions, courbe du haut) et un courant inject´e faible 5× 106 ions. Ces r´esultats ont ´et´e moyenn´es sur 100 injections.

par un des trois processus I,II,III et qu’il peut aussi se d´esexciter:

dN_q^∗+ = (−λ^qI⁺ − λII^q+ − λ^qIII⁺ − λq+

∗ )N_q^∗+dt. (5.17) Pour la population des ions dans un ´etat fondamental il faut consid´erer la perte des ions par les processus I,II et III et tenir compte des ions qui se sont d´esexcit´es.

dN_q⁰+ = (−λ^qI⁺ − λ^qII⁺− λIII^q+ )N_q⁰+dt + λ^q_∗⁺N_q^∗+dt. (5.18) On r´esout ce syst`eme de deux ´equations coupl´ees et l’on obtient :

N_q^∗+(t) = αN_q+(0)exp(−(λ^qI⁺ + λ_II^q+ + λ^q_III⁺ + λ^q_∗⁺)t) (5.19)

N_q⁰+(t) = N_q+(0)exp(−(λq⁺

I + λ^q_II⁺ + λ^q_III⁺ )t) (5.20) ×[1 − (1 − α)exp(−λq+

∗ t)].

On utilise ce r´esultat pour exprimer le signal S(t) qui est le nombre de photons ´emis par les ´etats m´etastables, on note δ la constante temporelle

Simulations analytiques 125 d’int´egration. S(t) =− ^λ q+ ∗ λ^q_∗⁺+ λ^q_I⁺ + λ^q_II⁺ + λ^q_III⁺ Z t+δ t dN_q^∗+ dt ^{dt (5.21)} S(t) =− ^λ q+ ∗ λ^q_∗⁺ + λ^q_I⁺ + λ^q_II⁺ + λ^q_III^{+ (N} ∗ q+(t + δ)− Nq^∗+(t)). (5.22) Pour exprimer le bruit B(t), on fait l’hypoth`ese que seul le processus (I) `

a savoir la capture d’´electron donne lieu `a l’´emission d’un photon parasite.

B(t) = − ^λI λ^q_∗⁺ + λ^q_I⁺ + λ^q_II⁺ + λ^q_III⁺ Z t+δ t dN_q^∗+ dt ^{dt (5.23)} − ^λI λ^q_I⁺ + λ^q_II⁺ + λ^q_III⁺ Z t+δ t dN0 q+ dt ^dt. Ce qui se r´eecrit : B(t) = − ^λI λ^q_∗⁺+ λ^q_I⁺ + λ^q_II⁺ + λ^q_III^{+ (N} ∗ q+(t + δ)− Nq^∗+(t)) (5.24) − ^λI λ^q_I⁺+ λ^q_II⁺ + λ^q_III^{+ (N} 0 q+(t + δ)− N0 q+(t)).

R´esultats

Je vais pr´esenter dans ce paragraphe les r´esultats obtenus `a partir des ex-pressions analytiques calcul´ees. Je traiterai ici de mani`ere plus d´etaill´ee les r´esultats pour la transition (M1) de l’Ar13⁺ car notre dispositif de d´etection a ´et´e optimis´e pour la longueur d’onde associ´ee (voir le tableau r´ecapitulatif 5.6). Puis je d´ecrirai bri`evement les r´esultats pour l’argon fluoro¨ıde et b´erylliumo¨ıde. Je n’ai consid´er´e dans mes calculs que les temps de vie li´es `

a la capture d’´electron et aux ´etats m´etastables.

Cas de l’argon borono¨ıde Ar¹³⁺ Dans mon ´etude, il a fallu tenir compte des diff´erents ´el´ements de la chaˆıne de d´etection. J’ai fait l’hypoth`ese que le hublot de la chambre du pi`ege, par lequel on observe les photons, avait un taux de transmission dans la gamme des longueurs d’ondes qui nous int´eressent de 80% [8]. J’ai fait la mˆeme hypoth`ese pour ce qui concerne la lentille optique. Je n’avais en effet pas d’informations pr´ecises sur la composition de ces deux verres. J’ai de plus pris en compte la taille de

l’image du faisceau apr`es passage par la lentille. Pour cela, j’ai consid´er´e que vu du hublot le faisceau d’ions avait une forme rectangulaire de surface 8 mm× 15 cm (largeur du faisceau× diam`etre du hublot) et qu’il couvrait une surface totale dans le pi`ege de 8× 350 mm2 (la longueur effective du pi`ege ´etant de 350 mm). J’ai aussi pris en compte le taux de transmission du filtre (60%), la surface du photomultiplicateur (8×24 mm2), son efficacit´e quantique `a 440 nm (20%) et l’angle au solide entre le d´etecteur et le faisceau d’ions.

Je me suis tout d’abord int´eress´ee `a l’´evolution temporelle de la popula-tion d’ions dans un ´etat fondamental et de la population d’ions dans un ´etat excit´e pour diff´erentes pressions dans la chambre du pi`ege. J’ai consid´er´e 106 ions dans le pi`ege `a t = 0 et un rapport α = 0.3 entre le nombre d’ions dans un ´etat excit´e et le nombre d’ions dans un ´etat fondamental. Ce rap-port α a ´et´e estim´e `a 2/3 par Moehs et Church [21]. La figure 5.7 montre les r´esultats obtenus pour des pressions allant de 5× 10−9 `a 1× 10−10 mbar. Le nombre d’ions dans un ´etat fondamental augmente au fur et `a mesure que les ions dans un ´etat m´etastable se d´esexcitent.

La figure 5.8 montre le nombre de photons d´etect´es par le photomul-tiplicateur en fonction de la pression dans le pi`ege avec une constante d’int´egration temporelle δ = 0.01s (voir Eq. (5.21) et Eq. (5.24)).

La figure 5.9 montre le nombre de coups mesur´es par le photomultipli-cateur en fonction du rapport α avec 106 ions dans le pi`ege `a t = 0 et une pression de 5× 10−10 mbar.

La figure 5.10 montre le nombre de coups mesur´es par le photomultipli-cateur en fonction du nombre d’ions dans le pi`ege `a l’instant t = 0 avec 106

ions avec un rapport α = 0.3 et une pression de 5× 10−10 mbar. Cas de l’argon fluoro¨ıde Ar9+

et de l’argon b´erylliumo¨ıde Ar14+

Je pr´esente ici les r´esultats obtenus pour l’argon fluoro¨ıde et l’argon b´erylliumo¨ıde avec un nombre d’ions initial de 106 ions, un rapport α = 0.3 et une pression dans le pi`ege de 5×10−10mbar. Le tableau 5.6 r´ecapitule les caract´eristiques du filtre et du photomultiplicateur pour ces deux cas. Les figures 5.11 et 5.12 montrent les r´esultats obtenus.