Le pi` ege ´ electrostatique ` a faisceaux d’ions

++ p²₊)−^ω− 2 ^ω 2 0(q₋² + p²₋). (2.30)

Cette derni`ere expression met en ´evidence le fait que la contribution du mouvement magn´etron `a l’´energie totale du syst`eme est n´egative. Cela traduit la nature particuli`ere de ce mouvement et sp´ecialement son insta-bilit´e. Cependant, il est plus appropri´e de consid´erer ce mouvement comme m´etastable car il est relativement lent (voir ´equation 2.25) vis `a vis du mouvement axial et du mouvement cyclotron.

2.3 Le pi`ege ´electrostatique `a faisceaux d’ions

Dans cette partie nous allons d´ecrire en d´etail le pi`ege `a ions que nous utilisons pour nos exp´eriences. Ce pi`ege est un r´esonateur ´electrostatique qui a ´et´e d´evelopp´e par D. Zajfman et son ´equipe `a l’Institut Weizmann en Isra¨el en 1997 [41]. C’est un nouveau type de pi`ege qui se situe `a mi-chemin entre les grands anneaux de stockage et les pi`eges de taille plus r´eduite comme le sont les pi`eges de Paul et de Penning.

Introduction aux r´esonateurs ´electrostatiques

Il est bien connu des physiciens que le mouvement de particules charg´ees dans un champ ´electrostatique est similaire `a la propagation de la lumi`ere dans un milieu d’indice de r´efraction proportionnel `a la racine carr´ee du potentiel ´electrique. Cette analogie est souvent exploit´ee pour la descrip-tion du transport de faisceaux d’ions dans divers acc´el´erateurs. Se basant sur cette analogie, D. Zajfman et son ´equipe ont d´evelopp´e un pi`ege `a ions ´electrostatique dont le principe de fonctionnement est similaire `a un r´esonateur optique Fabry Perot. Dans un r´esonateur optique, un faisceau de photons peut ˆetre pi´eg´e entre deux miroirs (voir Fig. 2.6) si certaines conditions portant sur les rayons de courbure sont satisfaites.

Figure 2.6: R´esonnateur optique avec des rayons de courbures R₁ et R₂

Figure 2.7: Coordonn´ees d’un rayon lumineux

Mettons en ´evidence ces conditions en utilisant l’optique matricielle. Dans le cadre de l’approximation paraxiale (qui suppose une faible diver-gence du faisceau par rapport `a son axe), le transport de faisceau est d´ecrit `

a l’aide de matrices de transfert, c’est la th´eorie des matrices ABCD. Un rayon lumineux peut ˆetre d´efini par deux coordonn´ees : sa position r et son angle par rapport `a l’axe l’optique θ (voir Fig. 2.7). La matrice de transfert permet d’exprimer les caract´eristiques finales du faisceau (r<sub>out</sub>, θ<sub>out</sub>) `a partir de ses caract´eristiques initiales (r_in, θ_in). On exprime alors les coefficients A,B,C,D de la matrice de transfert. Les d´eplacements ´etant suppos´es petits, on utilise les d´eriv´ees partielles pour exprimer ces coefficients.

r_out θ_out ! = ^{A B} C D ! r_in θ_in ! (2.31) avec A = ^∂rout ∂r_in ^{, B =} ∂r_out ∂θ_in^{, C =} ∂θ_out ∂r_in ^{et D =} ∂θ_out ∂θ_in ^. (2.32) Dans le cadre de cette th´eorie, on peut d´ecrire le d´eplacement d’un rayon lumineux sur une distance d `a travers un milieu homog`ene par la matrice:

r_out θ_out ! = ^{1 d} 0 1 ! r_in θ_in ! (2.33)

De la mˆeme mani`ere, on calcule la matrice de transfert pour une lentille de longueur focale f : rout θ_out ! = ^{1 0} −1 f 1 ! rin θ_in ! . (2.34)

Le pi`ege ´electrostatique `a faisceaux d’ions 47

Appliquons ce r´esultat `a un r´esonateur optique constitu´e de deux miroirs de rayon de courbure respectifs R1 = 1/f1 et R2 =−1/f2 s´epar´es par une distance d. Alors la matrice de transfert pour un rayon lumineux traversant ce syst`eme optique se calcule en multipliant les matrices de transfert de chaque ´el´ement de ce syst`eme. Ce qui nous donne, pour un rayon lumineux effectuant un aller-retour entre les deux miroirs la matrice de transfert ci-dessous, (on note n le nombre de r´evolution effectu´ees dans le r´esonateur optique) : rn+1 θ_n+1 ! = ^{1 0} −1 f1 1 ! 1 d 0 1 ! 1 0 −1 f2 1 ! 1 d 0 1 ! rn θ_n ! . (2.35)

Ce qui s’´ecrit encore:

r_n+1 θ_n+1 ! = ¹− d f2 d(2− d f2) −[1 f1 +_f¹ 2(1− d f1)] −[d f1 − (1 − d f2)(1− d f1)] ! r_n θ_n ! . (2.36) En posant A = 1−_f^d 2 , B = d(2− _f^d 2 ) , (2.37) C = −[¹ f₁ ⁺ 1 f₂⁽¹− ^d f₁^{)] et D =}−[^d f₁ − (1 − ^d f₂⁾⁽¹− ^d f₁^{)]. (2.38)} On trouve l’´equation de r´ecurrence suivante:

r_n+2−2brn+1+r_n= 0 avec b = ¹ 2^{(A+D) = (1}−^d f₂−^d f₁⁺ d² 2f₁f₂^{). (2.39)}

Cette ´equation poss´ede une solution de type oscillant [18] qui peut s’´ecrire r_n = r₀e^∓nθ+φ avec cosθ = b. Ceci nous donne une condition sur b `

a savoir que son module doit ˆetre inf´erieur ou ´egal `a 1:

−1 ≤ (1 − ^d f2 − ^d f1 + ^d 2 2f1f2 )≤ 1 (2.40) ou encore 0≤ (1 − ^d 2f₁⁾⁽¹− ^d 2f₂⁾≤ 1 (2.41) Dans le cas d’un r´esonateur sym´etrique c’est `a dire dans le cas o`u R1 = R₂ = 1/f , on obtient :

0≤ (1 − ^d 2f⁾

Ainsi, la condition de stabilit´e fait intervenir la longueur focale des deux lentilles et la distance qui les s´epare. Physiquement, cela revient `a dire que la distance qui s´epare les deux lentilles ne doit pas d´epasser une certaine limite et cette limite d´epend du pouvoir de focalisation des lentilles. Nous utiliserons ces r´esultats dans le chapitre 3 et 4.

Pour cr´eer un pi`ege ´electrostatique, on cr´ee deux miroirs ´electrostatiques `

a l’aide de deux barri`eres de potentiel. Les ions rebondissent entre les deux miroirs et la mˆeme condition de stabilit´e portant sur la longueur focale des miroirs s’applique. Pour d´eterminer la longueur focale dans le cas d’un miroir ´electrostatique on introduit la notion de lentille ´electrostatique plus commun´ement appel´ee lentille de Einzel.

Lentilles de Einzel

Une lentille de Einzel est un ensemble de trois ´electrodes permettant de focaliser un faisceau d’ions. Pour cela, les deux ´electrodes des extr´emit´es sont port´ees au mˆeme potentiel, alors que l’´electrode centrale est port´ee `a un potentiel diff´erent. Il existe deux sortes de lentille Einzel: les lentilles `

a ´electrodes cylindriques et les lentilles `a disques trou´es. L’avantage des lentilles cylindriques est qu’elles d´evient le faisceau moins brutalement et ont une capacit´e moins importante, n´eanmoins elles ont le d´esavantage d’ˆetre encombrantes.

Figure 2.8: Lentille Einzel cylin-drique constitu´e de trois ´electrodes de 4 cm de diam`etre et de 3 cm de longueur

Figure 2.9: Lentille Einzel `a dis-ques trou´es de diam`etre int´erieur 2cm et de diam`etre externe 6 cm

Dans la pratique, les deux ´electrodes extr´emales sont mises `a la masse alors que l’´electrode centrale est soumise `a un potentiel du mˆeme ordre de grandeur que celui de l’´energie cin´etique des ions que l’on veut focaliser. On peut ainsi d´efinir la notion de longueur focale pour cette lentille. En faisant

Le pi`ege ´electrostatique `a faisceaux d’ions 49

varier la tension appliqu´ee sur l’´electrode centrale, on fait varier la longueur focale de ce miroir ´electrostatique. Sur les figures 2.10 et 2.11, on a simul´e la trajectoire des ions dans le potentiel ´electrostatique cr´ee par les lentilles pour deux tensions diff´erentes sur la lentille centrale. On remarque que le point de focalisation des ions d´epend fortement de la tension appliqu´ee. La figure 2.12 repr´esente la longueur focale du miroir ´electrostatique en fonction de la tension que l’on applique sur l’´electrode centrale d’une lentille Einzel.

Figure 2.10: Focalisation d’un faisceau d’ions Ar⁺ d’´energie cin´etique 4.2 keV en appliquant une tension de 3800V sur l’´electrode centrale

Figure 2.11: Focalisation d’un faisceau d’ions Ar+ d’´energie cin´etique 4.2 keV en appliquant une tension de 4600V sur l’´electrode centrale

Le pi`ege ´electrostatique, dont nous allons aborder en d´etail le fonction-nement dans le prochain paragraphe, utilise deux lentilles de Einzel pour assurer le confinement radial des ions dans le pi`ege.

Figure 2.12: Longueur focale de la lentille en fonction de la tension appliqu´ee sur la lentille Einzel pour des ions d’une ´energie de 4.2 keV.

Principe de fonctionnement du pi`ege

Pour pouvoir pi´eger des particules charg´ees entre deux miroirs ´electrostatiques deux conditions doivent ˆetre satisfaites. La premi`ere condition porte sur le confinement radial des particules et est donn´ee par l’´equation qui suit, que nous avons d´emontr´ee dans le paragraphe consacr´e aux r´esonateurs ´electrostatiques :

L

4 ≤ f ≤ ∞. (2.43)

La seconde condition qui est li´ee au confinement longitudinal des particules impose que la barri`ere de potentiel dans la direction du mouvement des ions soit sup´erieure `a leur ´energie cin´etique. Pour plus de simplicit´e dans la conception du syst`eme, il a ´et´e choisi de d´ecoupler ces deux conditions dans le design du pi`ege. La figure 2.13 montre un sch´ema du pi`ege. Le confinement longitudinal est assur´e `a l’aide de 4 ´electrodes soumises `a des hautes tensions, ces ´electrodes sont d´esign´ees V<sub>1</sub>, V<sub>2</sub>, V<sub>3</sub>, V<sub>4</sub>. La premi`ere

Le pi`ege ´electrostatique `a faisceaux d’ions 51

Figure 2.13: Repr´esentation sch´ematique du pi`ege mettant en ´evidence les deux miroirs ´electrostatiques, les deux lentilles Einzel et la zone sans champ du pi`ege

´

electrode V1est soumise `a un potentiel suffisamment important pour stopper les ions, i.e., tel que

V₁ > ^Ek

q ^(2.44)

o`u E<sub>k</sub> est l’´energie cin´etique du faisceau d’ions et q la charge des ions. Le confinement radial est quant `a lui assur´e par un jeu de trois ´electrodes qui constituent une lentille Einzel. L’extr´emit´e externe de ce miroir ´electrostatique est compl´et´ee d’une ´electrode `a la masse permettant de limiter le champ `a l’ext´erieur du pi`ege. D’autre part, ´etant donn´e que l’extr´emit´e interne du miroir est constitu´e d’une lentille Einzel, le pi`ege a l’avantage de pr´esenter une r´egion sans champ, o`u les ions ont alors une trajectoire rectiligne. Ainsi pour une longueur L du pi`ege et une ´energie cin´etique E_k des ions, le pi`ege est caract´eris´e par deux param`etres qui sont la tension maximale V₁ ap-pliqu´ee sur les ´electrodes et la tension de focalisation des lentilles Einzel que l’on notera V_z.

Lors d’exp´eriences r´ealis´ees par Pedersen et al. [25], un paquet d’ions Ar+ d’une ´energie de 4.2 keV a ´et´e inject´e dans le pi`ege, le paquet ayant une largeur temporelle de d’environ 0.2 µs. L’´etude de l’´evolution au cours

du temps de ce paquet d’ions pour diff´erentes configurations du pi`ege a mis en ´evidence l’existence de deux modes distincts de fonctionnement du pi`ege. Dans le premier mode, le mode de diffusion, le paquet d’ions s’´elargit avec le temps. Dans le second mode de fonctionnement, le mode de synchroni-sation, la largeur du paquet d’ions reste essentiellement constante pendant le temps de pi´egeage.

Le pi`ege en mode de diffusion

Quatre m´ecanismes sont `a l’origine du mouvement de diffusion longitudinal du paquet d’ions. Le premier m´ecanisme r´esulte du fait que les ions ont des temps d’oscillation l´eg`erement diff´erents dans le pi`ege. Ceci s’explique par une dispersion intrins`eque ∆T_i des temps d’oscillations des ions dans le pi`ege qui d´epend de la configuration du pi`ege mais aussi des condi-tions d’injection des ions. En effet, des ions ayant des condicondi-tions initiales diff´erentes auront des trajectoires diff´erentes dans le pi`ege. Le deuxi`eme m´ecanisme vient du fait que les ions inject´es ont une dispersion en ´energie lorsqu’ils ´emergent de la source d’ions. Cela rajoute une dispersion dans les temps d’oscillation not´ee ∆T_v. L’influence de l’´energie de l’ion sur le temps d’oscillation d´epend de la trajectoire particuli`ere de l’ion et est donc ainsi directement li´ee aux conditions d’injection et `a la configuration du pi`ege. Le troisi`eme m´ecanisme regroupe les perturbations ext´erieures, par exemple le bruit des hautes tensions appliqu´ees sur les ´electrodes, ou en-core l’interaction avec les particules du gaz r´esiduel. Le dernier m´ecanisme est la r´epulsion coulombienne des ions entre eux, ce qui peut conduire `a augmenter la dispersion en ´energie.

La dynamique de la diffusion du paquet d’ions a ´et´e d´ecrite par Pedersen et al. [25] de la mani`ere suivante: on consid`ere un paquet d’ions poss´edant une largeur temporelle W₀ initialement plac´e au centre du pi`ege. Le temps d’arriv´ee de l’ion i au centre du pi`ege apr`es n oscillations est donn´e par

t⁰_n(i) = t_s(i) + t_n(i) (2.45)

o`u t_s(i) est le temps initial et t_n(i) est donn´e par

t_n(i) =

n

X

j=1

T_j(i) (2.46)

et o`u T<sub>j</sub>(i) est le temps d’oscillation de l’ion i pendant l’oscillation j. Vu que la largeur initiale du paquet d’ions est ind´ependante du processus de diffusion, la largeur temporelle W<sub>n</sub> du paquet apr`es n oscillations est donn´e

Le pi`ege ´electrostatique `a faisceaux d’ions 53 par W_n =^qW2 0 +ht2 ni − htni2 =^qW2 0 + ∆t2 n (2.47)

Les moyennes sont effectu´ees sur tous les ions pi´eg´es. La distribution des temps d’oscillation `a la ni`eme oscillation est caract´eris´ee par une moyenne < Tn > et une largeur ∆Tn. La largeur de la distribution des temps d’arriv´ee au centre du pi`ege peut s’´ecrire alors comme suit :

∆t²_n = ∆t²_n−1+ ∆T_n²+ 2 < (T_n− hTni)(tn−1− htn−1)i (2.48) Avec ∆t₀ = 0, les ´equations 2.47 et 2.48 permettent une ´evaluation it´erative de la largeur temporelle du paquet. Deux cas particuliers doivent ˆ

etre soulign´es. Sans tenir compte des interactions entre particules ni des perturbations ext´erieures, les ions sont caract´eris´es par une distribution des temps d’oscillation avec une moyenne constante hTni = T et une largeur ∆T_n = ∆T donn´e par

∆T =^q∆T2

v + ∆T2

i (2.49)

Dans ce cas l’´equation 2.48 se r´eduit `a

∆t²_n= ∆t²_n−1+ (2n− 1)∆T2

= n²∆T² (2.50) et la largeur du paquet s’´ecrit alors

W_n =

q

W2

0 + n2∆T2 (2.51) Ce type de diffusion a ´et´e qualifi´e de diffusion coh´erente, car les ions se comportent comme un syst`eme isol´e dans lequel chaque ion pr´eserve son temps d’oscillation initial et la phase initiale de chaque ion reste constante. Le deuxi`eme cas `a souligner est celui o`u l’on ne n´eglige plus les pertur-bations ext´erieures, ainsi chaque temps d’oscillation de chaque ion change de mani`ere stochastique apr`es chaque oscillation en suivant la loi de distri-bution des temps d’oscillation possible pour la configuration sp´ecifique du pi`ege. Dans ce cas, le dernier terme de l’´equation 2.48 s’annule :

∆t²_n= ∆t²_n−1+ ∆T² = n∆T² (2.52)

W_n=^qW2

0 + n∆T2 (2.53)

Ce type de diffusion est qualifi´e de diffusion non coh´erente car dans ce cas de figure la phase de chaque ion ´evolue de mani`ere stochastique. Pour finir, si la trajectoire de l’ion est sensible aux perturbations internes comme les collisions ion-ion, la valeur de ∆t<sub>n</sub> d´epend de la configuration du pi`ege, de la densit´e des ions et de la nature exacte de l’interaction.

Le pi`ege en mode de synchronisation

Dans le mode de synchronisation, la largeur du paquet reste essentiellement constante. En utilisant le formalisme statistique du paragraphe pr´ec`edent, la condition de synchronisation peut s’´ecrire ∆t2

n = ∆t2

n−1, ou de mani`ere ´equivalente (voir Eq. 2.48)

∆T_n² + C_n= 0 (2.54)

o`u C<sub>n</sub> = 2h(Tn− hTni)(tn−1− htn−1i)i. Cela implique que le coefficient de corr´elation doit prendre une valeur n´egative. Intuitivement, cela peut se comprendre ainsi: si un ion j est en tˆete du paquet d’ions `a l’oscillation n− 1 , ce qui s’´ecrit encore tn−1− htn−1i < 0, alors `a l’oscillation n il sera en bout de paquet, ce qui s’´ecrit (T<sub>n</sub>− hTni) < 0. Pour comprendre plus pr´ecis´ement le mouvement de l’ion dans ce mode de fonctionnement, on consid`ere un potentiel `a une dimension (voir Fig. 2.14) qui s’´ecrit :

U_n(x) = 0 si |x| < d et U_n(x) = A_n(|x| − d)n si |x| ≥ d (2.55) avec n > 0, c’est une g´en´eralisation du potentiel donn´e par Pedersen et al. [25]. Il est important de souligner que pour une particule dans ce potentiel, la p´eriode d’oscillation T n’est pas une fonction monotone de l’´energie de la particule E. Un moyen pratique de caract´eriser le mouvement d’un ion dans ce potentiel est d’utiliser le param`etre sans dimension α(n, E)

α(n, E) = ^E T

dT

dE ^(2.56)

On remarque que α(n, E) et ^dT_dE ont le mˆeme signe.

La p´eriode d’oscillation est la somme du temps pass´e dans la r´egion sans champ Tf et du temps pass´e dans les barri`eres de potentiels |x| > d, temps not´e T<sub>w</sub>. Pour plus de simplicit´e, on consid`ere le cas o`u d = 0, ceci donne :

T = T_w = Z tf ts dt = 2 Z xmax 0 dx_q ¹ 2_m^E(1− ^qUn(x) E ) (2.57)

o`u t<sub>s</sub> et t<sub>f</sub> sont respectivement les temps d’entr´ee et de sortie de l’ion dans le pi`ege, x_max est la profondeur de p´en´etration de l’ion dans la barri`ere de potentiel, m et q sont respectivement la masse et la charge de l’ion. Avec d = 0, α(n, E) peut s’´ecrire analytiquement, ce qui donne

α(n, E) = (¹ n − ¹

Le pi`ege ´electrostatique `a faisceaux d’ions 55

Figure 2.14: Potentiel ´electrostatique g´en´eralis´e 1D U_n avec n = 2.3 et n=0.6

Le cas n = 2 correspond `a un potentiel harmonique, dans lequel la p´eriode d’oscillation est ind´ependante de l’´energie de la particule, on obtient α(n, E) = 0 et _dE^dT = 0.

Pour n < 2, α(n, E) > 0 et donc _dE^dT > 0 (voir Eq. 2.56, α(n, E) et ^dT_dE sont de mˆeme signe): les particules les plus rapides p´en`etrent plus profond´ement dans la barri`ere de potentiel, ce qui leur donne un temps d’oscillation plus long que les particules plus lentes.

Pour d > 0, le temps pass´e dans la r´egion sans champ s’´ecrit T_f = 2d/^q2E_m et ^dTf

dE < 0. La figure 2.15 repr´esente α(n, E = 4.2keV ) pour d = 0 et d = 140 mm, le coefficient A_n a ´et´e choisi de tel sorte que x_max soit ´

egal `a 30 mm quelque soit la valeur de n. On remarque que le coefficient α(n, E) = 0 change de signe pour diff´erentes valeurs de n.

Consid´erant maintenant un paquet d’ions qui oscille dans le potentiel U_n. Pour α(n, E) < 0 et donc _dE^dT < 0 (voir Eq. 2.56, α(n, E) et ^dT_dE sont de mˆeme signe), les ions les plus rapides ont les temps d’oscillation les plus courts et seront donc situ´es en tˆete du paquet d’ions, alors que les particules les plus lentes seront en bout de paquet. La r´epulsion coulombienne agissant sur les particules entraˆınera les particules en tˆete du paquet vers l’avant, augmentant ainsi leurs vitesses, elle va de plus repousser les particules en

Figure 2.15: α(n, E = 4.2keV ) pour d = 0 et d = 140 mm

bout de paquet qui vont ainsi ralentir. La combinaison de ces deux processus va conduire `a ce que la distance moyenne entre les particules va croˆıtre plus rapidement que dans un mode de diffusion.

Pour α(n, E) > 0, les particules les plus rapides ont des temps d’oscillation les plus longs, elles vont ainsi tendre `a ˆetre en fin de paquet, alors que les particules les plus lentes se retrouveront en tˆete du paquet d’ions. La r´epulsion coulombienne agissant sur les particules va ici r´eduire la vitesse des particules les plus rapides et augmenter celle des particules les plus lentes. La combinaison de ces deux processus va propulser en avant les particules qui sont en bout de paquet et ramener les particules en tˆete de paquet en arri`ere. Ainsi la longueur du paquet d’ions restera constante.

Les simulations et exp´eriences effectu´ees par Strasser et al.[33] montrent que le crit`ere cin´ematique qui suit :

dT

dE ^{> 0 (2.59)}

est un crit`ere n´ecessaire, bien que non suffisant, pour ˆetre en mode de synchronisation. Un mod`ele analytique du mouvement de l’ion dans le pi`ege m`ene au mˆeme crit`ere de synchronisation (voir 2.59).

Conclusion 57

2.4 Conclusion

Dans ce second chapitre, j’ai pr´esent´e les diff´erentes techniques de pi´egeages ´

electromagn´etiques en ´etudiant notamment deux grands types de pi`ege: les pi`eges de Paul et de Penning. Puis, j’ai pr´esent´e de mani`ere th´eorique le pi´ege ´electrostatique `a faisceaux d’ions que nous avons construit en in-troduisant les r´esonateurs ´electrostatiques. Le pi`ege `a ions a deux modes de fonctionnement, un mode de synchronisation o`u un paquet d’ions os-cillent dans le pi`ege tout en restant group´es et un mode de diffusion o`u les ions diffusent rapidement dans le pi`ege. J’ai ´etudi´e th´eoriquement ces deux modes de fonctionnement. Plusieurs raisons nous ont amen´e `a choisir le pi`ege ´electrostatique `a faisceaux d’ions. D’une part, la pr´esence d’une r´egion sans champ dans le pi`ege est avantageuse pour des mesures de dur´ees de vie, la section de diffusion ion-ion et ion-gaz r´esiduel y sont constantes. D’autre part, le pi`ege pouvant fonctionner en mode de synchronisation, la d´etection des ions est facile en utilisant un ”pickup” (voir chapitre 4). Nous allons utiliser ce pi`ege pour pi´eger des ions multicharg´es avec des ´energies de l’ordre du keV, des temps de pi´egeage allant de 10 `a 50 ms. Ceci nous permettra par la suite d’effectuer des mesures de dur´ee de vie d’ions tr`es

Dans le document Piégeage d'ions très chargés pour la mesure de durée de vie d'états métastables. (Page 55-81)