evidence ces deux fr´equences, l’une est rapide, du mˆeme ordre de grandeur que la fr´equence longitudinale fX et est not´ee ff ast, l’autre est plus lente et est not´ee fslow. J’ai effectu´e des simulations en tra¸cant la trajectoire d’un ion avec un pas de 0.01 µs. La figure 3.13 montre l’´evolution temporelle de la trajectoire transversale pour des ions Ar+ avec diff´erentes vitesses transverses initiales. On voit que la fr´equence d’oscillation lente est tr`es d´ependante des conditions initiales. Le tableau 3.1 r´ecapitule les fr´equences longitudinales et transverses pour diff´erents ´etats de charge de l’argon.
3.2 Vers un mod`ele en trois dimensions du
potentiel ´eletrostatique du pi`ege
Sch´ematisation du pi`ege par deux paires de deux
´
electrodes
Ici, notre objectif est de trouver un mod`ele 3D simple du potentiel qui existe `
a l’int´erieur du pi´ege afin de pouvoir r´esoudre les ´equations du mouvement des ions num´eriquement. Ce mod`ele devra respecter la sym´etrie du pi´ege, i.e., cylindrique et devra aussi satisfaire l’´equation de Poisson. Pour cela, on sch´ematise le pi´ege par deux paires d’´electrodes dispos´ees de mani´ere sym´etrique par rapport `a l’axe (Ox) (voir la figure 3.14). Les ´electrodes internes sont soumises au potentiel V0, les ´electrodes externes sont elles soumises au potentiel positif V1. Les ´electrodes sont des disques perfor´es au centre d’un trou de rayon ro.
Expression g´en´erale d’un potentiel harmonique
On cherche une distribution de potentiel dans l’espace ayant une sym´etrie cylindrique et ne d´ependant donc que des variables x et r. L’origine de l’axe (Ox) est d´efinie au centre du pi´ege, r repr´esente la distance `a l’axe (Ox) d’un point dans l’espace. On peut alors penser `a d´evelopper le potentiel en s´erie enti´ere par rapport `a r. L’´equation de Laplace nous am`ene alors `a ´
ecrire le potentiel sous la forme
Φ(x, r) = ∞ X n=0 = (−1)n n!222nr2nΦ(2n)(x)
Figure 3.13: Position transversale Y en fonction du temps de vol pour des ions l’Ar+ avec diff´erentes conditions transverses initiales, (Y (0) = 0.5 mm et Vy(0) = 0.2 mm/µs) en rouge, (Y (0) = 0.5 mm et Vy(0) = 1 mm/µs) en bleu et (Y (0) = 0.5 mm et Vy(0) = 1.7 mm/µs) fX (kHz) ff ast (kHz) fslow (kHz) Ar8+ 454 434 72 Ar10+ 487 483 80 Ar13+ 518 456 91
Tableau 3.1: Estimation de la fr´equence longitudinale fX, de la fr´equence transversale rapide ff ast et de la fr´equence lente associ´ee fslow
Vers un mod`ele en trois dimensions du potentiel ´eletrostatique du pi`ege 73
Figure 3.14: On mod´elise le pi´ege par deux paires d’ ´electrodes soumises re-spectivement au potentiel V0et V1, les deux paires sont dispos´ees de mani´ere sym´etrique par rapport `a l’axe de (0x)
Application au pi´ege ´electrostatique
Il nous faut maintenant calculer la distribution du potentiel le long de l’axe (Ox). Le potentiel cr´e´e par une ´electrode en forme de disque perfor´e par un trou de rayon r0 s’´ecrit en r´esolvant l’´equation de Laplace comme suit :
Φ(x) = a + bx + cx arctan(x r0)
Revenons `a notre cas, tout d’abords nous pouvons consid´erer trois r´egions dans le pi`ege, la r´egion sans champ comprise entre les ´electrodes internes, et les deux autres r´egions situ´ees r´espectivement `a droite et `a gauche de la r´egion sans champ.
Consid´erons la r´egion situ´ee `a droite de la r´egion sans champ et calculons le potentiel dans cette r´egion sur l’axe Ox. Le th´eor`eme de superposition, nous permet d’´ecrire le potentiel comme une combinaison lin´eaire des po-tentiels cr´ees par les deux ´electrodes, que nous noterons Φo(x) et Φ1(x).
Φo(x) = ao+ bo(x + xo) + co(x + xo) arctan(x + xo ro )
Φ1(x) = a1+ b1(x + x1) + c1(x + x1) arctan(x + x1 ro
)
On recherche alors une distribution de potentiel pour la r´egion de droite Φd sous la forme
Φd(x) = C1Φo(x) + C2Φ1(x) soit Φd(x) = A + Bx + C(x + xo) arctan(x + xo ro ) + D(x + x1) arctan( x + x1 ro )
On remarque imm´ediatement, que la distribution de potentiel doit ˆetre sym´etrique par rapport `a (Ox),donc B = 0. De plus pour x tendant vers l’infini le potentiel doit ˆetre constant.
A + Cxπ 2 + Dx
π
2 = cste donc D =−C. Notre distribution se r´eduit `a
Φd(x) = A + C((x + xo) arctan(x + xo
ro )− (x + x1) arctan(x + x1 ro ))
Maintenant, nous allons exploiter d’une part le fait qu’en x = xo on a un potentiel nul et d’autre part qu’en x = x1 on a un potentiel ´egal `a V1
A + 2Cxoarctan(2xo ro )− C(xo+ x1) arctan(xo+ x1 ro ) = 0 A + C(xo+ x1) arctan(xo+ x1 ro )− 2Cx1arctan(2x1 ro ) = V1 Si l’on soustrait les deux ´equations on a
2C((xo+ x1) arctan(xo+ x1 ro )− x1arctan(2x1 ro )− xoarctan(2xo ro )) = V1 Ce qui donne C = V1 2((xo+ x1) arctan(xo+x1 ro )− x1arctan(2x1 ro )− xoarctan(2xo ro )) et A = CV1 2 (xoarctan( 2xo ro )− x1arctan(2x1 ro ) o`u encore A = V 2 1(xoarctan(2xo ro )− x1arctan(2x1 ro )) 4((xo+ x1) arctan(xo+x1 ro )− x1arctan(2x1 ro )− xoarctan(2xo ro ))
Conclusion 75
En conclusion la distribution de potentiel `a droite de la r´egion sans champ peut s’´ecrire
Φd(x) = A + C((x + xo) arctan(x + xo ro )− (x + x1) arctan(x + x1 ro )) et Φ(x, r) = ∞ X n=0 = (−1)n n!222nr2nΦ(2n)d (x)
La figure 3.15 repr´esente le potentiel obtenu pour V0 = 1650 et V1 = 6500V. Le r´esultat a ´et´e obtenu avec le logiciel Mathematica, n´eanmoins les simulations de trajectoire des ions en r´esolvant les ´equations de mouve-ment se sont av´er´ees trop lentes pour ˆetre exploitables. N´eanmoins, nous pr´esentons dans la figure 3.16 une simulation du potentiel dans le pi`ege obtenue avec le logiciel simion pour une comparaison qualitative.
3.3 Conclusion
Dans ce chapitre, j’ai pr´esent´e les r´esultats de simulations de la cin´ematique des ions dans le pi`ege. J’ai d´etermin´e tout d’abord l’espace des phases stables et j’ai d´ecrit l’´evolution temporelle de cet espace des phases. Ces ´
etudes nous ont amen´e `a nous int´eresser aux sections de Poincar´e en faisant r´ef´erence `a la th´eorie du chaos. Par la suite, j’ai d´etermin´e les zones de stabilit´e du pi`ege et je me suis int´eress´ee `a la fr´equence longitudinale des ions dans le pi`ege. Pour terminer, j’ai mis en ´evidence le fait que le mouve-ment transversal des ions est p´eriodique, nous avons nomm´e ces oscillations les oscillations betatron. Le chapitre 4 abordera la comparaison entre les r´esultats exp´erimentaux et les r´esultats de ces simulations.
Conclusion 77
Figure 3.16: Potentiel ´electrostatique dans le pi`ege obtenu avec le logiciel simion
Chapitre 4
Pi´egeage des ions tr`es charg´es
dans le pi`ege ´electrostatique
4.1 Description Technique
L’objectif de cette partie est de d´ecrire d’un point de vu technique ce qu’il a fallu mettre en place pour faire fonctionner le pi`ege. Dans un premier temps, je d´ecrirai la nouvelle ligne de transport qui inclut le pi´ege `a ions et qui est utilis´ee `a 4.2 keV. Dans un second temps, je d´evelopperai les aspects m´ecanique et ´electronique du pi`ege.