Simulations par éléments finis

Nous utiliserons le logiciel COMSOL Multiphysics© pour nos simulations par éléments finis qu’on peut séparer en deux types : les simulations fréquentielles (en régime permanent ou harmonique) et les simulations temporelles (en régime transitoire).

L’interaction fluide/structure prise en compte par notre modèle sera d’abord validée par des simulations fréquentielles car leurs résultats sont facilement comparables à ceux de la théorie. Ceci nous permettra d’utiliser le même modèle en temporel pour valider nos méthodes de mesure (FFT2D et STFT) qui seront ensuite appliquées sur l’expérimentation.

II.1.2.1 Validation du modèle par éléments finis en comparant les

simulations fréquentielles à la théorie

Les simulations fréquentielles permettent de faire un calcul en régime permanent à une fréquence donnée. Le calcul à une unique fréquence est généralement plus rapide que pour une simulation temporelle potentiellement très longue. De plus, les résultats sont plus faciles à comparer à ceux de la théorie, car ils sont directement accessibles pour chaque fréquence. Nous allons donc utiliser cette fonctionnalité pour valider l’utilisation du logiciel COMSOL Multiphysics© et nos choix de modélisation.

Le domaine étudié présenté sur la Figure 22.a. Les caractéristiques mécaniques de la plaque sont définies par la masse volumique et les vitesses des ondes longitudinales (ondes L) et transverses (ondes T). La plaque a la même épaisseur que celle qui sera

utilisée pour l’expérience, c’est-à-dire 7,8 mm. L’eau est définie par sa masse volumique et la vitesse des ondes L. Il n’y a pas d’ondes T dans l’eau puisque sa viscosité est négligée. Ces données sont identiques à celles utilisées à la section I.3.2 comme entrée du modèle théorique.

Comme indiqué sur la Figure 22.a, les ondes de Lamb sont excitées à l’extrémité gauche de la plaque (𝑥 = 0) : les déplacements en direction de l’axe X (parallèle à la plaque) et Y (normal à la plaque) y sont imposés en chaque point de l’épaisseur. On utilise les déplacements calculés en fonction du mode et de la fréquence (voir section I.2.3).

Les réflexions sur les bords du domaine sont annulées par l’utilisation des PML (Perfeclty Matched Layers) qui absorbent les ondes et évitent qu’elles soient réfléchies. Les PML sont utilisées autour des domaines en eau et à l’extrémité droite de la plaque. Elles sont maillées avec des éléments rectangulaires ordonnés, afin que le maillage soit le plus uniforme possible (recommandation aux utilisateurs de COMSOL).

En raison de sa forme rectangulaire, la plaque est également maillée avec des éléments rectangulaires ordonnés. Les éléments sont plus petits que 𝜆/6 dans les deux matériaux, avec 𝜆 la longueur d’onde dans le matériau considéré. Cette condition impose des éléments plus petits dans l’eau que dans la plaque. L’eau est donc maillée avec des éléments triangulaires libres pour s’adapter rapidement à la taille des mailles dans la plaque.

La simulation est répétée en excitant les modes A0, S0, A1 et S1 sur une large plage de fréquences. La propagation du mode A1 à 4 MHz.mm est affichée sur la Figure 22.a. On observe bien la réémission des ondes dans le fluide environnant et son atténuation au fur et à mesure de la propagation.

a) _b)

Figure 22: Présentation du modèle par éléments finis en fréquentiel pour A1 à 4 MHz.mm (a) : la pression est affichée dans l’eau et les déplacements selon l’axe Y dans la plaque (décrits par l’échelle de couleur en

mètre). L’amplitude des déplacements est affichée et ajustée par une exponentielle décroissante par la méthode des moindres carrés (b) pour mesurer l’atténuation par réémission

Pour quantifier l’atténuation par réémission, les amplitudes à la surface de la plaque sont affichées sur la Figure 22.b et une régression exponentielle est effectuée pour mesurer l’atténuation par réémission. L’opération est faite pour les deux composantes en déplacement 𝑢𝑥 et 𝑢𝑦.

La vitesse de phase est calculée par une régression linéaire sur la phase des déplacements. Les résultats (avec un 𝑅2 de régression supérieur à 0,999) sont comparés aux vitesses de phases théoriques des ondes de Lamb sur la Figure 23.a. La correspondance est parfaite quand les modes A0, A1 et S1 sont excités. En revanche, quand S0 est excité au-dessus de 4 MHz.mm, on mesure également la propagation des modes S2 et S3 : il y a propagation multimodale.

L’atténuation mesurée sur la Figure 22.b est comparée à l’atténuation par réémission théorique des ondes de Lamb sur la Figure 23.b. La superposition entre théorie et simulation est là aussi excellente pour les deux composantes de déplacements 𝑢𝑥 et 𝑢𝑦.

a) b)

Figure 23: Comparaison des vitesses de phase (a) et des atténuations par réémission (b) déterminées par le modèle aux éléments finis frequentiel superposés à la théorie (en noir). L’atténuation est valable pour

une plaque d’épaisseur 7,8 mm

Notre modélisation par éléments finis est donc bien capable de simuler la propagation des LLW. Nous allons maintenant utiliser ce résultat pour valider l’implémentation de post-traitements fréquentiels.

II.1.2.2 Validation des méthodes de mesure en les appliquant sur

des simulations temporelles

Pour les simulations temporelles, les ondes de Lamb sont toujours excitées en imposant le déplacement adéquat à l’extrémité gauche de la plaque (𝑥 = 0). Le signal temporel envoyé est choisi avec une large bande passante pour comporter le plus d’informations possibles : trois cycles de sinusoïde sont fenêtrés temporellement par une gaussienne.

dans l’eau, afin d’éviter la zone de transition dans le maillage de l’eau à la frontière de la plaque. À cet endroit, on pouvait localement observer une rangée d’éléments triangulaires de taille plus grande que le critère 𝜆/6 dans l’eau : cette rangée était nécessaire pour pouvoir diminuer la taille des éléments sans discontinuités dans le maillage. Ainsi le modèle entier a été maillé avec des éléments rectangulaires, tous à la taille minimum (celle dans l’eau). L’extrémité droite du domaine « eau » est devenue aussi rectangulaire pour faciliter le maillage. Enfin, pour pouvoir atténuer efficacement toutes les composantes fréquentielles qui possèdent des longueurs d’onde parfois très différentes, la PML à l’extrémité droite de la plaque a été allongée. Hormis ces deux améliorations, le modèle est resté le même.

Quatre simulations sont effectuées pour A0, S0, A1 et S1. La propagation de A1 autour de 3 MHz.mm est affiché sur la Figure 24 : on observe bien l’étalement du paquet d’onde initial (3 cycles de sinusoïde) dû à une propagation très dispersive.

Figure 24: Simulation de la propagation du mode A1 autour de 3MHz.mm. La pression est affichée dans l’eau et les déplacements verticaux dans la plaque

Les signaux temporels sont enregistrés chaque millimètre dans la plaque et dans l’eau (les résultats sont identiques dans les deux domaines). La vitesse de phase et l’atténuation par réémission sont ensuite calculées par FFT2D. La vitesse de groupe et à nouveau l’atténuation par réémission sont calculées par transformée de Fourier à fenêtre glissante (STFT) avec les mêmes données. Les résultats finaux sont comparés à ceux de la théorie et des expériences (présentées juste après) sur les Figure 28.a et b. On verra dans le paragraphe suivant que l’accord est excellent et permet de valider l’implémentation de la FFT2D et de la STFT pour mesurer les vitesses et l’atténuation par réémission. Ces deux méthodes ont été détaillées dans le chapitre I.2.7 pour les mesures de vitesse, et on expliquera dans la section suivante comment elles sont utilisées pour calculer l’atténuation.

II.1.3 Expérimentation et méthodes de mesure de