Coefficients d’atténuation par réémission

Les équations de dispersion des LLW sont modifiées par rapport au cas de la plaque libre. Elles sont données dans (Merkulov 1964) et écrites ici dans les équations (1.14) et (1.15) en conservant les notations déjà utilisées précédemment :

Pour les modes symétriques :

tan (𝑞. 𝑒₂ ) tan (𝑝. 𝑒₂ ) + 4𝑘2_{𝑝. 𝑞} (𝑞2_{− 𝑘}2₎2− 𝑖. 𝜌0𝑘𝑇4𝑝. tan (𝑞. 𝑒₂ ) 𝜌√𝑘02− 𝑘2(𝑞2− 𝑘2)2 = 0. _(1.14)

Pour les modes antisymétriques : tan (𝑝. 𝑒₂ ) tan (𝑞. 𝑒₂ ) + 4𝑘2_{𝑝. 𝑞} (𝑞2_{− 𝑘}2₎2+ 𝑖. 𝜌0𝑘𝑇4𝑝 𝜌√𝑘02− 𝑘2(𝑞2− 𝑘2)2. tan ( 𝑞. 𝑒 2 ) = 0, _(1.15)

avec 𝑖 le nombre imaginaire unité, 𝑝2 = 𝑘_𝐿2− 𝑘2 _{et 𝑞}2 _{= 𝑘} 𝑇

2 _{− 𝑘}2_{, 𝑘}

0 =2𝜋𝑓⁄ le nombre 𝑐₀

d’onde des ondes volumiques dans le fluide, 𝑐0 la vitesse des ondes longitudinales dans le

fluide, 𝜌 et 𝜌0 les masses volumiques respectives de la plaque et de l’eau. Le fluide est

considéré non visqueux.

On remarque que la partie réelle de ces équations correspond aux équations de dispersion sans couplage (équations (1.1) et (1.2)). Le couplage est pris en compte dans la partie imaginaire, qui est proportionnelle au rapport des masses volumiques 𝜌0/𝜌. Si le fluide est

très peu dense par rapport à la plaque (comme c’est le cas de l’air et de l’acier), 𝜌0/𝜌 tend

vers zéro et l’impact du fluide environnant tend à être négligeable. Dans le cas de l’acier et de l’air, la réémission de la plaque dans l’air est faible mais peut être observée par laser en laboratoire (Zhao et al. 2008).

L’application numérique est faite ici pour une plaque en acier inoxydable (𝜌 = 7⁡950⁡𝑘𝑔/𝑚3) plongée dans l’eau (𝜌0 = 1⁡000⁡𝑘𝑔/𝑚3 et 𝑐0 = 1⁡490⁡𝑚/𝑠). La résolution des

nouvelles équations de dispersion dans le cas immergé utilise les solutions du cas sans couplage comme initialisation de la partie réelle de 𝑘. L’initialisation de sa partie imaginaire est faite à zéro pour la fréquence la plus proche de la fréquence de coupure, et à partir de la troisième fréquence l’initialisation est obtenue par extrapolation linéaire des deux dernières parties imaginaires calculées. La partie réelle finale de 𝑘 amène aux vitesses de phase et groupe présentées sur la Figure 15 :

a) b)

Figure 15: Vitesses de phase (a) et de groupe (b) dans le cas d'une plaque d'acier inoxydable immergée dans de l'eau. Les vitesses dans le cas sans couplage sont superposées en noir pointillé

l’immersion a peu d’impact sur les valeurs de vitesses dans notre cas (Chimenti et Rokhlin 1990). Pour calculer la vitesse de propagation du paquet d’onde de manière tout à fait rigoureuse, il faudrait passer par l’intégration du vecteur de Pointing comme décrit dans (Bernard, Lowe, et Deschamps 2001). En effet, l’équation (1.8) utilisée pour calculer la vitesse de groupe n’a pas de sens physique pour un nombre d’onde complexe. La vitesse de l’énergie peut différer significativement de la vitesse de groupe lorsque l’atténuation est élevée. Toutefois, dans cette étude, on considère que l’atténuation reste d’un ordre de grandeur suffisamment bas pour que l’utilisation de la vitesse de groupe soit satisfaisante. La partie imaginaire de 𝑘 correspond au coefficient d’atténuation des ondes de Lamb. Plus précisément à l’atténuation due à la réémission d’énergie dans le fluide. Cette atténuation (en Np/cm) est inversement proportionnelle à l’épaisseur de la plaque (Merkulov 1964) : plus la plaque est épaisse, et moins elle réémet dans le fluide. Nous avons donc normalisé les coefficients d’atténuation sur la Figure 16 en les multipliant par l’épaisseur (en mm) comme dans (Merkulov 1964; Wilcox, Lowe, et Cawley 2001a).

Figure 16: Atténuation par réémission des ondes de Lamb dans le cas d'une plaque en acier inoxydable immergée dans de l'eau. L'atténuation (en Np/cm) est multipliée par l'épaisseur de la plaque (en mm) L’atténuation calculée est due aux déplacements normaux à la plaque (selon 𝑦) en surface de plaque : plus le coefficient est élevé, plus le mode considéré réémet de l’énergie dans le fluide et plus le mode de Lamb qui se propage dans la plaque s’atténue. Notons que les coefficients d’atténuation par réémission calculés confirment les tendances observées sur les structures en déplacement calculées section I.2.3. Le mode S0 ne réémet quasiment pas en dessous de 1 MHz.mm avant d’être le mode qui réémet le plus autour de 2.5 MHz.mm. Le mode A0 réémet de manière relativement constante entre 1 et 4 MHz.mm. Le mode A1 réémet peu autour de 2 MHz.mm, a un pic de réémission autour de 4.5 MHz.mm et réémet ensuite de moins en moins. Le mode S1 ne réémet pas autour de 4 MHz.mm avant de se comporter comme A1 avec un pic à 6.5 MHz.mm. Enfin S2 réémet bien jusqu’à 5

MHz.mm avant de ne plus réémettre à 8 MHz.mm.

I.3.2.1 Comparaison de l’atténuation due au matériau par rapport

à l’atténuation par réémission

L’atténuation due au matériau est prise en compte pour des plaques à forte atténuation par absorption (composite ou polymère) dans (Bernard, Lowe, et Deschamps 2001; Pavlakovic et al. 1997) mais pas pour des plaques peu atténuantes (métal homogène isotrope) dont l’atténuation peut être évaluée à 1/10 de dB/cm vers 1 MHz (M. A. Ploix 2006). Il semble donc raisonnable de considérer l’atténuation par réémission comme prépondérante dans le cas acier/eau, et de négliger dans un premier temps les autres mécanismes d’atténuation. Cette hypothèse sera confirmée par des mesures d’atténuation effectuées dans le chapitre suivant.

I.3.2.2 Application : maîtriser la réémission pour le contrôle de

grandes structures immergées

On remarque que, à l’exception de S0 et A0, chaque mode a une atténuation par réémission quasiment nulle peu après sa fréquence de coupure. Ce comportement a été étudié dans (Pilarski, Ditri, et Rose 1993) et vient du fait que la vitesse de phase des modes à ces fréquences est égale à la vitesse des ondes longitudinales dans le matériau de la plaque. Cette correspondance de vitesse induit une structure des modes à ces endroits qui est majoritairement longitudinale, c’est-à-dire qui est principalement composée de déplacements parallèles à la plaque. On peut ainsi prédire assez facilement les fréquences et les modes où la réémission est quasiment inexistante en analysant simplement les courbes de vitesse de phase (sans calcul des courbes d’atténuation par réémission).

Ces endroits précis permettent donc de propager des ondes de Lamb dans une structure immergée sans perte d’énergie dans le fluide, et donc sans atténuation par réémission. On peut ainsi inspecter des structures plus longues que dans le cas où les ondes de Lamb s’atténuent fortement à cause du fluide (Wilcox, Lowe, et Cawley 2001a).