Simulation de surfaces stri´ees

L’analyse des images men´ee donne les ´el´ements de base pour construire un mod`ele de chemise stri´ee. L’id´ee consiste `a tirer des stries au hasard suivant deux directions donn´ees et de les imprimer sur une surface lisse, le plateau.

Mais avant de d´ecrire le mod`ele, id´ealement il faudrait supprimer des images originales tous les ´el´ements qui ne sont pas `a prendre en consid´eration. Dans ce but, une m´ethode de filtrage, qui s’inspire du calcul des profils int´egr´es, a ´et´e mise au point.

2.3.1. Filtrage

Le but est d’´eliminer le bruit des images originales, de fa¸con `a ne garder que ce que l’on veut effectivement mod´eliser. La proc´edure est d´ecrite ci-dessous :

1. Pour la premi`ere direction de stries, calculer le profil int´egr´e p, puis le filtrer comme d´ecrit dans la section pr´ec´edente pour obtenir p2.

2. A partir de p2, construire une image R1 telle que pour tout point de coordonn´ee u de D′, et pour tout point M de D(u) on ait : R1(M ) = p2(u).

3. Recommencer les deux ´etapes pr´ec´edentes pour la deuxi`eme direction de stries pour obtenir une deuxi`eme image reconstruite R2.

4. L’image finale R est ´egale `a l’infimum entre R1 et R2. La figure2.8page suivante illustre la m´ethode de filtrage.

Il faut noter qu’`a cause du calcul de moyenne, cet outil a tendance `a faire baisser la hauteur du plateau des chemises, ce qui indirectement induit une l´eg`ere sous-estimation des profondeurs des stries. N´eanmoins, cette m´ethode de filtrage pr´esente deux avantages. D’une part ces images filtr´ees aideront `a caler les simulations, les mesures effectu´ees sur celles-ci seront consid´er´ees comme la r´ef´erence (cf. tableau2.3 page36) :

– Ra moyen des chemises filtr´ees : 0.28 µm, – Densit´e moyenne : 0.024 µm−1_,

2.3. Simulation de surfaces stri´ees

Fig. _{2.8.: Simulation de surfaces stri´ees : illustration de la m´ethode de filtrage des che-} mises

– Largeur moyenne : 27 µm, – Profondeur moyenne : 0.25 µm. Navette 12 13 17 18 Angle (˚) 15 15 50 50 Point de mesure pm pmh pm pmh pm pmh pm pmh Ra (µm) 0.23 0.19 0.32 0.18 0.35 0.38 0.23 0.35 Densit´e stries (µm−1_{) 0.021 0.021 0.020 0.021 0.026 0.026 0.026 0.024} Larg. moy. (µm) 30 32 34 29 23 27 28 25 Prof. moy. (µm) 0.21 0.28 0.30 0.20 0.23 0.42 0.34 0.27 Navette 19 20 21 22 Angle (˚) 50 50 75 75 Point de mesure pm pmh pm pmh pm pmh pm pmh Ra (µm) 0.37 0.48 0.26 0.45 0.22 0.20 0.13 0.13 Densit´e stries (µm−1) 0.030 0.026 0.027 0.024 0.024 0.024 0.024 0.022 Larg. moy. (µm) 22 23 24 25 26 29 24 28 Prof. moy. (µm) 0.29 0.21 0.14 0.42 0.20 0.30 0.12 0.16 Tab. _{2.3.: Mesures effectu´ees sur les navettes filtr´ees}

D’autre part ce filtrage permet de distinguer entre la contribution des stries et celle du bruit `a l’´etat de surface. Ainsi en comparant les Ra avant et apr`es filtrage on constate qu’il est nettement plus faible apr`es le lissage

Simulation 0 1 2 3 4 5 6 7 Angle (˚) 14 14 14 14 14 14 14 14 Ra (µm) 0.17 0.26 0.16 0.23 0.16 0.18 0.23 0.19 Densit´e stries (µm−1) 0.020 0.016 0.021 0.016 0.017 0.021 0.016 0.015 Larg. moy. (µm) 24 35 27 35 28 24 35 30 Prof. moy. (µm) 0.12 0.19 0.14 0.22 0.14 0.12 0.22 0.15 Tab._{2.4.: Mesures effectu´ees sur les simulations de chemises avec un angle de 14˚}

2.3.2. Mod´elisation

Les chemises vont ˆetre mod´elis´ees par une fonction al´eatoire bool´eenne de type va- ri´et´e [46]. Les ´etapes de la mod´elisation, d´ecrites en d´etail plus loin, sont les suivantes : 1. On donne `a tous les pixels de l’image I, support de la simulation, une valeur

constante.

2. Pour chacune des deux directions de stries : – Tirage du nombre de stries et de leur position.

2.3. Simulation de surfaces stri´ees Simulation 0 1 2 3 4 5 6 7 Angle (˚) 50 50 50 50 50 50 50 50 Ra (µm) 0.17 0.11 0.15 0.14 0.14 0.17 0.16 0.18 Densit´e stries (µm−1_{) 0.018 0.013 0.019 0.018 0.017 0.016 0.014 0.016} Larg. moy. (µm) 24 33 32 26 27 36 33 33 Prof. moy. (µm) 0.11 0.16 0.14 0.12 0.13 0.17 0.16 0.16 Tab. _{2.5.: Mesures effectu´ees sur les simulations de chemises avec un angle de 50˚}

Simulation 0 1 2 3 4 5 6 7 Angle (˚) 70 70 70 70 70 70 70 70 Ra (µm) 0.16 0.20 0.14 0.14 0.18 0.14 0.18 0.19 Densit´e stries (µm−1) 0.019 0.019 0.021 0.019 0.019 0.017 0.018 0.018 Larg. moy. (µm) 20 26 25 19 27 30 29 23 Prof. moy. (µm) 0.10 0.14 0.12 0.10 0.12 0.16 0.16 0.12 Tab. _{2.6.: Mesures effectu´ees sur les simulations de chemises avec un angle de 70˚}

– Gravure de la strie sur l’image I.

Tirage du nombre de stries et de leur position

Au vu des images, il a ´et´e suppos´e que les stries peuvent ˆetre consid´er´ees comme des r´ealisations de fonctions al´eatoires bool´eennes [41, 42]. Le nombre et la position des stries sont alors donn´es par un processus de Poisson de densit´e d. Pour les premi`eres simulations, d = 0.02 µm−1_.

Afin de valider le mod`ele choisi, des tests statistiques ont ´et´e effectu´es. Les r´esultats obtenus confirment les hypoth`ese faites (cf. Decenci`ere et Jeulin [29]).

Tirage de la largeur des stries

Dans un premier temps l’histogramme cumul´e des largeurs de toutes les stries pr´esentes sur nos ´echantillons bruts a ´et´e utilis´e pour tirer une largeur al´eatoire. Les r´esultats n’´etaient pas satisfaisants `a cause du biais d´ej`a ´evoqu´e. En particulier les petites valeurs de largeur ´etaient sous-repr´esent´ees. Donc, dans un deuxi`eme temps, il a ´et´e essay´e de corriger de fa¸con empirique cet histogramme en adoptant un tirage gaussien. Les param`etres sont choisis de fa¸con `a ce que la largeur moyenne tir´ee soit ´egale `a la largeur moyenne de stries exp´erimentales.

Tirage de la profondeur

Id´ealement la profondeur aurait dˆu d´ependre uniquement de la largeur des stries, mais en pratique ce n’est pas le cas. Cependant, pour construire ce premier mod`ele il a ´et´e consid´er´e que le rapport entre la profondeur et la largeur est constant. Le param`etre de la simulation choisi est 2P/L, o`u P correspond `a la profondeur d’une strie et L `a sa largeur. Par cons´equent la profondeur est calcul´ee de fa¸con d´eterministe `a partir de la

largeur. Ce param`etre, qui est ´egal `a la tangente de l’angle au fond des stries, est choisi `

a partir des valeurs exp´erimentales.

2.3.3. R´esultats

Des simulations ont ´et´e effectu´ees avec des angles de stries de 15˚, 50˚ et 70˚. Les param`etres utilis´es ´etaient les suivants :

– Densit´e des stries : 0.02 µm−1, – Largeur moyenne des stries : 30 µm, – Angle au fond des stries : 1.2˚.

La figure2.9 montre un exemple de simulation ainsi obtenue. On pourra remarquer la similarit´e `a premi`ere vue avec l’image filtr´ee de la figure 2.8page35.

Fig. _{2.9.: Exemple de simulation de texture avec des stries `a 50˚}

Les tableaux 2.4 page 36, 2.5 page pr´ec´edente et 2.6 page pr´ec´edente donnent les r´esultats de l’analyse des chemises ainsi simul´ees. On retrouve des valeurs similaires aux valeurs exp´erimentales, mais les profondeurs des stries simul´ees sont l´eg`erement inf´erieures aux profondeurs exp´erimentales.

Dans la figure 2.10 page ci-contre des exemples de granulom´etries r´esultantes sont donn´ees. Celles-ci doivent ˆetre compar´ees avec les granulom´etries des images filtr´ees. On constate que dans les deux cas le cˆot´e n´egatif des courbes est tr`es irr´egulier, alors que le cˆot´e positif est plutˆot r´egulier. Cependant, les granulom´etries de simulations sont en g´en´eral plus aplaties. Quelle en est la raison ? Deux explications sont envisageable. Premi`erement, il se peut que les param`etres du mod`ele ne soient pas encore bien choisis. Deuxi`emement, le mod`ele ne refl`ete pas le fait que l’usinage des chemises est obtenu en deux passes : un premier usinage cr´ee une texture fine, et un deuxi`eme cr´ee les stries profondes. Ceci expliquerait le d´eficit en petites tailles not´e sur les granulom´etries.

2.3.4. Conclusion

Le mod`ele que nous avons construit et les simulations qui en d´ecoulent constituent un outil compl´ementaire qui aidera d’une part `a mieux comprendre l’´etat de surface des chemises et d’autre part `a tester simplement des surfaces avec des param`etres diff´erents.