Disposition

Pour la disposition des motifs sur la surface du cylindre, deux approches ont ´et´e retenues :

1. disposition r´eguli`ere, `a l’aide d’une maille ´el´ementaire contenant le motif volu- mique ; deux g´eom´etries de maille seront utilis´ees : rectangulaire et hexagonale. 2. disposition al´eatoire, en pla¸cant les motifs de fa¸con al´eatoire sur la surface du cy-

lindre ; quelques contraintes seront n´eanmoins respect´ees, telles que les contraintes fonctionnelles ou des contraintes technologiques.

3. disposition semi-al´eatoire, en choisissant de fa¸con al´eatoire seulement certains pa- ram`etres de la simulation.

3.3.2.1. Disposition r´eguli`ere

Dans cette disposition, les contraintes taux de cavit´es Ts et volume d’huile par unit´e de surface Vhs seront appliqu´ees au niveau local, c’est `a dire dans la maille ´el´ementaire. Si Ss d´esigne la surface du motif et Sm celle de la maille, nous pouvons ´ecrire :

Ts= Ss Sm , (3.12) et Vhs= fpSsp Sm , (3.13)

fp ´etant la fonction volumique d´efinie pr´ec´edemment. A partir de ces expressions, en faisant le rapport Vhs/Ts, nous obtenons :

Vhs Ts

= fpp. (3.14)

Cette expression est tr`es importante. Vhs et Ts sont des donn´ees d’entr´ee connues ; si on veut respecter ces contraintes au niveau local de la maille et une fois le choix du motif et du profil3 fait, l’expression3.14permet d’obtenir automatiquement la profondeur des motifs p, pour une disposition r´eguli`ere.

3

3.3. Mod´elisation Maille rectangulaire

Cette g´eom´etrie de maille a ´et´e retenue en premier lieu pour pouvoir g´en´erer (en com- binaison avec le motif croix) les surfaces stri´ees interrompues. Il permet g´en´eralement de cr´eer des alignements de motifs et de structures. Une illustration de la disposition r´eguli`ere en maille rectangulaire est pr´esent´ee dans la figure 3.6.

Fig. _{3.6.: Disposition r´eguli`ere de motifs en maille rectangulaire}

La surface du cylindre est partitionn´ee en rectangles. Les dimensions lm et hm de la maille rectangulaire sont calcul´ees en fonction de la g´eom´etrie du motif et doivent respecter d’une part les contraintes fonctionnelles

Sm= lmhm= Ss Ts

, (3.15)

et d’autre part des contraintes g´eom´etriques li´ees `a la sym´etrie de r´evolution du cylindre

Ncirc_{· l}m = πφchemise, (3.16)

Ncirc´etant le nombre de motifs dispos´es sur une circonf´erence du cylindre. Maille hexagonale

C’est la maille qui permet la r´epartition des motifs la plus isotrope. Un sch´ema de cette disposition est donn´ee dans la figure3.7.

Fig. _{3.7.: Disposition r´eguli`ere de motifs en maille hexagonale}

Si a d´esigne l’arrˆete de la maille hexagonale, la distance inter-motifs est alors D = a√3 et la surface de la maille Sm = 3

√

3a2/2. Comme pour ce type de disposition les contraintes fonctionnelles sont respect´ees au niveau de la maille, Ts = Ss/Sm, et nous obtenons donc la contrainte suivante sur l’arrˆete a de la maille :

Ss Ts = √ 3 2 D 2 _=⇒ 3 √ 3 2 a 2 ₌ Ss Ts . (3.17)

L’arrˆete de la maille hexagonale a doit ´egalement respecter des contraintes g´eom´e- triques li´ees `a la sym´etrie de r´evolution de la surface du cylindre, analogue `a celle impos´ee pour la maille rectangulaire :

Ncirca √

3 = πφchemise. (3.18)

3.3.2.2. Disposition al´eatoire

Dans ce cas nous allons placer les motifs de fa¸con al´eatoire possible, sans recouvrement, sur la surface d´evelopp´ee de la chemise, tout en respectant les contraintes fonctionnelles de la section3.2page54. La figure3.8 illustre la mod´elisation de ce type de disposition des motifs.

Fig. _{3.8.: Disposition al´eatoire des motifs}

L’avantage principal de cette disposition r´eside dans le placement al´eatoire qui permet notamment d’´eviter l’alignement des motifs ou la cr´eation de structures qui peuvent avoir une influence n´efaste sur la cin´etique du segment, pouvant entraˆıner par la suite des ph´enom`enes d’usure anisotrope des segments ou de la surface du cylindre.

Soit N le nombre de motifs `a disposer, St l’aire de la surface d´evelopp´ee de la chemise et Ssl’aire du motif ´el´ementaire. Contrairement `a la disposition r´eguli`ere, les contraintes fonctionnelles ont cette fois-ci un caract`ere global et non plus local, en s’appliquant `a la totalit´e de la surface de la chemise. L’expression du taux de cavit´es est alors

Ts= N Ss

St

, (3.19)

et celui du volume par unit´e de surface Vhs =

N fpSsp St

. (3.20)

En faisant le rapport des deux nous obtenons Vs Ts

3.3. Mod´elisation De la mˆeme mani`ere que pour la disposition r´eguli`ere, nous pouvons remonter, `a partir des contraintes fonctionnelles et de la g´eom´etrie du motif, `a la profondeur du motif.

Nous pouvons ´ecrire ´egalement que N Ss= TsSt= const. ; ceci veut dire que le nombre de motifs `a placer, la surface d´evelopp´ee de la chemise et la contrainte Ts d´eterminent de fa¸con exacte la surface du motif Ss.

Un autre aspect dont il faut tenir compte est la distance inter-motifs. Le caract`ere al´eatoire du placement des motifs peut g´en´erer de motifs tr`es rapproch´es, voire qui se recouvrent ; pour ´eviter cela on peut imposer une distance Dmin entre les motifs lors du placement al´eatoire. Plus le param`etre Dmin est grand, plus la distribution des motifs sera proche d’une distribution r´eguli`ere homog`ene en maille hexagonale ; le param`etre Dmin doit ˆetre tout naturellement inf´erieur `a distance inter-motifs D correspondant `a la maille hexagonale.

3.3.2.3. Disposition semi-al´eatoire

Soit St la surface d´evelopp´ee du cylindre de largeur l = πφchemise et de hauteur h. Dans un premier temps, cette disposition pr´evoit de placer de fa¸con r´eguli`ere un nombre constant de motifs n, ´equidistants et align´es sur la circonf´erence du cylindre. Ensuite, chaque deux rang´es successives de motifs sont d´ecal´ees l’une par rapport `a l’autre d’une distance a = αφchemise/2, α ´etant un angle al´eatoirement choisi `a chaque fois. L’illustration de la mod´elisation de cette disposition est donn´ee dans la figure3.9.

Fig. _{3.9.: Disposition semi-al´eatoire des motifs}

De mˆeme que pour la disposition al´eatoire, l’al´ea qui intervient au niveau du d´ecalage entre les rang´ees successives de motifs permet d’´eviter la cr´eation de structures sur la hauteur du cylindre.

Cette disposition pr´esente n´eanmoins un avantage significatif par rapport `a la pr´ec´e- dente, compl`etement al´eatoire. En effet, le placement ´equidistant des motifs dans une rang´ee r´eduit consid´erablement certaines composantes des forces et des moments induits par les motifs sur le segment lors de sont passage sur la surface de la chemise ; ce type de texture permet donc un meilleur ´equilibre du segment, tout en ´evitant les alignements de motifs.

Soit N le nombre de motifs `a disposer, St l’aire de la surface d´evelopp´ee de la chemise et Ssl’aire du motif ´el´ementaire. De mˆeme que pour la disposition al´eatoire, l’expression du taux de cavit´es est alors

Ts= N Ss

St

, (3.22)

et celui du volume par unit´e de surface Vhs=

N fp· Ssp St

. (3.23)

En faisant le rapport des deux nous obtenons Vs Ts

= fpp, (3.24)

ce qui permet de remonter `a la profondeur p des motifs.

Soit nl le nombre de rang´ees `a placer ; nous avons N = nln. Si D = l/n = h/nl alors nous obtenons N = St/D2 et Ts = Ss/D2.

Dans les deux cas de disposition al´eatoire il faut travailler sur des hauteurs h faibles pour garder l’aspect le plus local possible de la pression de contact maximale Pc max et donc du Ts. Celle-ci varie fortement avec la position du segment entre le point-mort-bas et le point-mort-haut car la pression sur le segment varie aussi fortement. Ceci veut dire que si l’on veut avoir une contrainte de pression de contact constante sur toute la surface du cylindre, la densit´e des motifs devra ˆetre variable entre le point-mort-bas et le point-mort-haut.