Simulation du SOA

Présentation

La simulation de la propagation d'un signal dans le SOA reviendra à simuler

numé-riquement la réponse du système d'équations constitué des équations couplées régissant

la propagation d'enveloppes (2.23), et de l'équation d'évolution du gain (2.22). Comme

nous l'avons présenté dans la Section 2.2, le problème s'avère plus complexe que dans la

propagation dans une bre. En eet, pour bien modéliser le dispositif représenté par la

Fig. 2.1, il nous est nécessaire de simuler la traversée du SOA par des signaux

contra-propagatifs. Comme l'indique la Fig. 2.12, deux signaux de sens de propagation opposé,

transitent simultanément dans le SOA. L'un d'eux est le signal externe se propageant

de la droite vers la gauche (signal contra-propagatif), son enveloppe dans le SOA sera

représentée par le signalA

⁻

. L'autre signal désigne le signal piégé dans la cavité laser

se propageant dans le sens horaire (Fig. 2.1). Il est généré par blocage de modes suite

à la circulation d'un bruit initialement présent dans la cavité. Le seul composant actif

présent dans la cavité est le SOA, donc ce bruit initial ne peut provenir que du SOA. Ce

signal est à l'origine de l'émission spontanée ampliée (ESA). Ce signal se propageant

de gauche à droite dans le SOA sera représenté par l'enveloppeA

⁺

.

Fig. 2.12 Illustration de la propagation bidirectionnelle dans le SOA.

Les enveloppes lentement variables A

⁺

(z, t) et A

⁻

(z, t) se propagent en +z et−z

respectivement. Leur intensité est notée |A

^±

(z, t)|

²

. Ainsi nous pouvons exprimer de

manière triviale, à partir de l'équation (2.23), les équations couplées des enveloppes

A

^±

(z, t)correspondant respectivement aux propagations dans le sens +z et−z dans le

guide :

∂A

+

(z, t)

∂z ⁺

1

v

g

∂A

+

(z, t)

∂t ⁼

1

2^g(1−jα

^H

^)A

+

(z, t) (2.25a)

−^∂A

−

(z, t)

∂z ⁺

1

v

g

∂A

⁻

(z, t)

∂t ⁼

1

2^g(1−jα

^H

^)A

−

(z, t) (2.25b)

Le gain g(z,t) est décrit par l'équation d'évolution issue de l'équation (2.22) :

∂g

∂t ⁼

g

0

−g

τ

_c

^−g

P

E

_sat

(2.26)

avecP(z, t) =|A

⁺

(z, t)|

²

+|A

⁻

(z, t)|

²

. Nous pouvons observer au travers de l'expression

deP(z, t)que les signauxA

⁺

etA

⁻

partagent le même "réservoir" de porteurs. La mise

en commun de porteurs est à l'origine de la XGM.

Notons qu'en régime statique (

∂

∂t

= 0), la solution de l'équation d'évolution donne :

g(z)

_statique

= ^g

⁰

1 +

^P_P^(z)

sat

(2.27)

où la puissance de saturation P

sat

=E

sat

/τ

c.

Méthode de résolution dans le domaine temporel

Bien que l'équation d'évolution du gain se traduise en une équation diérentielle

ordinaire (ODE) facile à résoudre, les équations de propagation (2.25a) et (2.25b)

re-quièrent une attention particulière. La propagation dans le SOA sera modélisée par un

algorithme établi par J. Chi [123]. Il s'agit d'un algorithme de résolution dans le

do-maine temporel, connu sous le nom de modèle TEM (Time Evolution Method). Cette

méthode doit son ecacité à son élégance et à sa stabilité. Décrivons cette méthode et

démontrons son ecacité.

La stabilité est la contrainte majeure associée à une méthode numérique, elle

déter-mine si la solution calculée par l'algorithme est vouée à osciller de façon aléatoire et de

ne jamais converger au sens mathématique.

De nombreuses méthodes de résolution basées sur la diérence nie existent. Elles

traitent fréquemment le problème d'une manière bi-dimensionnelle(z, t) traitant

sépa-rément les dérivées partielles (∂/∂t, ∂/∂z) par une méthode diérentielle nie. Bien que

les équations diérentielles ordinaires présentent de nombreux schémas numériques à

diérents ordres d'approximation (Euler, Leapfrog, Crank-Nicolson, Adams-Bashfort,

Runge Kutta...), leur extension directe pour le traitement bi-dimensionnel est souvent

intrinsèquement instable d'après le critère de stabilité proposé par Von-Neuman [124].

À l'inverse, la méthode TEM revient à suivre l'évolution étape par étape du système

dans le temps, ce qui revient à transformer la propagation 2D en une propagation 1D,

annulant ainsi tout problème d'instabilité. Commençons par introduire de nouvelles

variablesu etv dénies par les relations :

u= (T +z)/2 (2.28a)

v= (T−z)/2 (2.28b)

T ≡ v

_g

t désigne le temps normalisé, de même dimension que z, u et v (longueur).

Inversement,

z=u−v (2.29a)

T =u+v (2.29b)

Les équations couplées (2.25a) et (2.25b) peuvent ainsi être exprimées dans le nouveau

système (u,v) selon une seule dimension :

∂A

⁺

(u, v)

∂u ⁼

1

2^g(1−jα

^H

^)A

+

(u, v) (2.30a)

∂A

⁻

(u, v)

∂v ⁼

1

2^g(1−jα

^H

^)A

−

(u, v) (2.30b)

Nous voyons que toute dépendance des paramètres en (z, t) ont été transcrites selon

(u, v). Remarquons que les équations (2.30) sont formellement des ODE dans les

présence d'instabilité liée aux dérivées partielles.

La méthode TEM est illustrée graphiquement dans la Fig. 2.13. L'idée de base

consiste à suivre l'évolution temporelle du système étape par étape (comme si l'on

prenait un cliché du SOA à chaque étape temporelle). Selon les équations (2.30a) et

(2.30b), on reconnaît immédiatement que l'enveloppe propagatrice A

⁺

évolue dans le

sens horizontal de gauche à droite (+u), et l'enveloppe contra-propagatrice A

⁻

évolue

dans le sens vertical de bas en haut (+v). Le gaing(T)évolue dans la direction orientée

à +45

^◦

(+T) selon l'équation (2.26). En l'absence de couplage entre A

⁺

, A

⁻

etg, les

enveloppes se propagent sans aucun changement dans leurs directions respectives.

Les ODE redénies par le système d'équations (2.30), seront résolues de la manière

suivante :

A

⁺

(u+ ∆u, v) =A

⁺

(u, v)exp

1

2^{g(u, v)(1−jα}

^H

^)∆u

(2.31a)

A

⁻

(u, v+ ∆v) =A

⁻

(u, v)exp

1

2^{g(u, v)(1−jα}

^H

^)∆v

(2.31b)

g(z, T + ∆T) =g(z, T) + ∆T

"

g

₀

−g(z, T)

τ

_c

^{−g(z, T)}

|A

⁺

(z, T) +A

⁻

(z, T)|

²

E

_sat

#

(2.31c)

De l'instant T à l'instant T + ∆T, les enveloppes A

⁺

et A

⁻

se propagent

respecti-vement dans le SOA d'une distance ∆z et −∆z. Ce déplacement en deux dimensions

dans le repère(z, T)se traduit dans le repère(u, v), par un déplacement∆uselon l'axe

u deA

⁺

et∆v selon l'axe v deA

⁻

.

Pour plus de clarté, désignons par (m, n), les coordonnées de chaque point

(z = m, T = N) dans le domaine d'intégration. Rappelons que ce déplacement ∆u

selonu correspond à la distance diagonale d'un petit carreau entre les points(m, N)et

(m+ 1, N + 1) équivalent à ∆u = (∆T + ∆z)/2 selon l'équation (2.28), et non ^√2∆

d'après la représentation géométrique donnée par la Fig.2.13. Le raisonnement est le

même pour∆v= ∆u.

Ainsi, comme l'indique la Fig. 2.13, l'état du système à l'instant T = N + 1 est

entièrement déni par l'état du système à l'état à l'instant T =N. Au point

d'espace-temps (m, N + 1), les valeurs complexes de A

⁺

et A

⁻

ainsi que le gain sont calculés

à partir de la valeur de A

+

au point (m−1, N) (équation (2.31a)) ; du gain et des

enveloppes A

^±

au point (m, N) (équation (2.31c)) ; et de la valeur de A

⁻

au point

(m+ 1, N) (équation (2.31b)).

Les états au niveau des facettes du SOA (z=0 et L), seront calculés en fonction de

la valeur de l'onde incidente.

Fig. 2.13 Illustration de la méthode TEM (Time Evolution Method) dénie par le système

d'équations (2.31). La propagation de signaux contra-propagatifs est décrite simultanément

dans les repères (z,T) et (u,v).

Dans le document Étude théorique et expérimentale des impulsions optiques générées par un amplificateur optique à semi-conducteurs (SOA) en blocage de modes. (Page 54-59)