Voici maintenant les détails et les résultats obtenus pour chacune des simulations.
La première simulation effectuée met en jeu un simple rectangle, de taille 43 cm2. On choisit 14 positions de source (points noirs sur la figure 3.14) et 14 détecteurs (points gris), placés sur la frontière supérieure de l’objet (on simule une barette de détecteurs située au- dessus). Deux zones elliptiques de fluorescence, orientées de façon différente, sont intégrées au cœur de l’objet.
Figure 3.14. Schéma de la simulation d’un simple rectangle ; 2 zones elliptiques : fluorophores simulés ; points noirs : sources ; points gris : détecteurs ; rectangle extérieur : domaine fictif à l’échelle 2-3 ; quadrillage : maillage régulier à l’échelle 2-3 (8 nœuds par cm) ; en rouge : coupes effectuées (y = 0.75 cm et y = 1.25 cm)
pour le résultat du problème direct.
Le problème direct est résolu par deux méthodes différentes en parallèle : Galerkin-ondelettes et MEF standard (COMSOL Multiphysics). Trois niveaux d’approximation dans le choix de la finesse du quadrillage ou du maillage (j = -2, -3 et -4 dans le cas de Daubechies, le nombre de nœuds choisi est à peu près équivalent dans le cas de COMSOL Multiphysics).
Le nombre de nœuds à l’intérieur du rectangle est déterminé par NxNy, avec Nx = 42-j+1 le nombre de nœuds selon la direction x, et Ny = 32-j+1 le nombre de nœuds selon y. Ainsi, pour j = -4, le quadrillage est très fin, et pour j = -2, il est grossier. Comme on travaille sur le domaine fictif, il faut rajouter Nxf = Nyf = 2×4 nœuds dans les 2 dimensions.
Les trois échelles du quadrillage nous permettent d’obtenir le nombre de mailles suivant dans le domaine fictif (ce sont les mêmes valeurs pour les 2 autres simulations, puisque ce domaine fictif est commun) :
y x 4 0 0 3 y = 0.75 cm y = 1.25 cm
j Nx+Nxf Ny+Nyf Ntotal
-2 17+8 13+8 525
-3 33+8 25+8 1353
-4 65+8 49+8 4161
Tableau 3.1. Nombre de nœuds dans le quadrillage selon l’échelle choisie.
Afin de comparer les modèles directs obtenus par la MEF de COMSOL Multiphysics et les ondelettes de Daubechies d’autre part, nous avons choisi de tracer des coupes selon y = 0.75 cm et 1.25 cm, c’est-à-dire à 0.5 cm et à 1 cm de la source. En effet, l’approximation de la diffusion que l’on a faite ici ne nous permet pas de comparer directement la valeur de ux tout près de la source, assimilée à une fonction de Dirac. Nous présentons donc figure 3.15 des exemples de résultats du problème direct obtenus par ces deux méthodes, tout d’abord pour un niveau d’approximation de j = -2 (quadrillage et maillage grossiers), puis dans un 2e temps pour j = -4 (maillage fin), où l’on superpose également le modèle analytique, obtenu en supposant avoir un milieu semi-infini (voir la Partie 1 équation (1-41) qui peut être résolue à un milieu semi-infini en 2D [Arridge1992]) : en effet, on observe le résultat pour une source placée en plein milieu de la base inférieure de l’objet (la source n°8), ce qui permet de faire l’hypothèse de bords verticaux éloignés, et donc d’un milieu supposé semi-infini.
a) b)
c) d)
Figure 3.15. Exemples de modèle direct : valeurs de ux obtenues pour la 8ème position de la source : courbe
noire : résultat obtenu avec un modèle analytique ; courbe rouge : résultat obtenu avec Daubechies ; courbe bleue : résultat obtenu avec COMSOL Multiphysics à maillage équivalent ; a) y = 0.75 cm, j = -2; b) y = 1.25
cm, j = -2 ; c) y = 0.75 cm, j = -4; d) y = 1.25 cm, j = -4.
La figure 3.15 montre que plus le quadrillage choisi pour les ondelettes est fin, plus les résultats obtenus avec Daubechies sont proches de ceux de COMSOL Multiphysics et du modèle analytique. Avec un quadrillage grossier, Daubechies se rapproche plus du modèle analytique lorsque l’on est assez proche de la source (y = 0.75, figure 3.15. a)) que lorsque l’on s’en éloigne (y = 1.25, figure 3.15. b)).
La reconstruction est effectuée également par deux méthodes en parallèle : ART et SVD. Nous aurons donc au total 4 figures de résultats à comparer, pour chacun des niveaux d’approximation.
Les reconstructions de la distribution du paramètre β sont représentées sur les 3 jeux de figures suivantes en niveaux de gris :
Figure 3.16. j = -2. Résultats après reconstruction : a) modélisation par une méthode de Galerkin-ondelettes, reconstruction par ART ; b) modélisation par la MEF standard (COMSOL Multiphysics), reconstruction par ART ; c) modélisation par une méthode de Galerkin-ondelettes, reconstruction par SVD ; d) modélisation par la
MEF standard (COMSOL Multiphysics), reconstruction par SVD. Galerkin-ondelettes / ART MEF / ART
Figure 3.17. j = -3. Résultats après reconstruction : a) modélisation par une méthode de Galerkin-ondelettes, reconstruction par ART ; b) modélisation par la MEF standard (COMSOL Multiphysics), reconstruction par ART ; c) modélisation par une méthode de Galerkin-ondelettes, reconstruction par SVD ; d) modélisation par la
MEF standard (COMSOL Multiphysics), reconstruction par SVD.
Figure 3.18. j = -4. Résultats après reconstruction : a) modélisation par une méthode de Galerkin-ondelettes, reconstruction par ART ; b) modélisation par la MEF standard (COMSOL Multiphysics), reconstruction par
Galerkin-ondelettes / ART MEF / ART
Galerkin-ondelettes / SVD MEF / SVD Galerkin-ondelettes / ART MEF / ART
ART ; c) modélisation par une méthode de Galerkin-ondelettes, reconstruction par SVD ; d) modélisation par la MEF standard (COMSOL Multiphysics), reconstruction par SVD.
Nous remarquons dans ces reconstructions que le fluorophore de droite est moins bien reconstruit que celui de gauche ; cela est dû au fait que la résolution dans la direction y, c’est- à-dire la direction perpendiculaire à l’axe source-détecteur, est moins bonne que dans la direction x : il y a une moins bonne sensibilité en profondeur, c’est-à-dire que les fluorophores placés trop loin des sources et des détecteurs sont mal reconstruits. Cet effet est d’ailleurs confirmé dans la reconstruction à l’échelle grossière 2-2, avec un modèle calculé par la méthode de Galerkin-ondelettes, figure 3.16 a) et c) : le fluorophore de gauche est mal reconstruit au centre, c’est-à-dire dans la partie la plus éloignée des sources et détecteurs. En revanche, avec un modèle calculé par la MEF, la reconstruction est meilleure pour cette échelle grossière. Nous voyons dans ce cas la limitation de la méthode avec Daubechies. En dernier lieu, nous présentons une estimation du temps mis pour la résolution du problème direct, dans les 6 cas :
j=-2 j=-3 j=-4
Daubechies3 0.6 2 13
COMSOL Multiphysics 160 140 180
Tableau 3.2. Temps estimé (en secondes) pour le calcul du modèle direct.
Cette estimation est faite de façon assez grossière par les fonctions tic et toc de MATLAB. Contrairement à la méthode présentée en Partie 2, il est difficile de faire une estimation du nombre d’opérations (en termes informatiques) : en effet, l’étape importante que l’on a dans COMSOL Multiphysics et qui est absente dans la méthode de Galerkin-ondelettes, est la création du maillage triangulaire, et il est difficile d’estimer le nombre d’opérations réelles impliquées dans cette étape…