1.1 Motivation pour le choix des ondelettes dans la résolution d’EDPs
1.1.2 Intérêts des ondelettes dans la résolution d’EDPs
Rappelons les méthodes numériques principales pour la résolution des EDPs (cf. Partie 1) : - les Différences Finies ;
- les Eléments Finis ;
- les Eléments de Frontière ; - les méthodes spectrales. Nous avons déjà vu (Partie 1) que :
• Les Différences Finies définissent une grille discrète régulière.
• Les Eléments Finis, (ainsi que les Eléments de Frontière), comme on a pu le voir dans la Partie 1, font intervenir des polynômes à support compact.
• Les Eléments de Frontière est une méthode adaptée à des objets dont les surfaces sont complexes ; les éléments considérés étant uniquement sur la surface, cette méthode est mal adaptée lorsque l’on a une source à l’intérieur de l’objet, comme dans notre cas.
• Quant aux méthodes spectrales, les fonctions inconnues sont développées le long d’une base de fonctions à support global, c'est-à-dire infini [Vasilyev2005] : l'EDP est transformée dans le domaine fréquentiel par une transformée de Fourier spatiale [Doyle1999].
La Méthode des Différences Finies n’est pas adaptée à des frontières irrégulières ni à des raffinements de maillage dans les régions intéressantes (ROIs) ; on préfère donc généralement la MEF standard et les méthodes spectrales, surtout dans le cas d'une géométrie complexe.
1.1.2.1 Intérêt des ondelettes pour une localisation optimale
Comment placer les ondelettes par rapport à la MEF standard et aux méthodes spectrales ? Deux critères sont à prendre en compte pour résoudre une EDP [Chiavassa2001] :
- l’espace d’approximation, c’est-à-dire la base composée des fonctions d’interpolation choisies dans (3-2), doit être adapté à la solution ; pour cela, les fonctions d’interpolation doivent être localisées dans l’espace physique (ce doit donc être des fonctions à support compact, comme dans les Eléments Finis) ;
- on doit avoir une bonne approximation des opérateurs dans l’espace engendré par les fonctions d’interpolation ; celles-ci doivent pour cela être localisées dans l’espace de Fourier, ce qui permet une représentation efficace des opérateurs différentiels (ce qui est le cas avec les méthodes spectrales) ; en particulier, ceci permet souvent une meilleure analyse des fonctions présentant des discontinuités.
D’une part, les bases spectrales sont infiniment différentiables, mais leur support global donne une mauvaise localisation spatiale en contrepartie d’une bonne localisation spectrale. D’autre part, les bases polynomiales de la MEF ont un petit support compact, mais de pauvres propriétés de continuité qui créent une mauvaise localisation spectrale en contrepartie d’une bonne localisation spatiale. Les ondelettes, quant à elles, sont localisées en temps et en fréquence [Mallat1999], c’est-à-dire dans l’espace physique et dans l'espace de Fourier. Elles combinent donc les avantages des deux autres méthodes, spectrales et spatiales, et peuvent se placer comme un compromis entre les méthodes spectrales et la MEF standard.
Les méthodes numériques à base d'ondelettes atteignent donc à la fois une bonne localisation spatiale et spectrale, ce qui permet d'implémenter très facilement des techniques simples de raffinement local.
1.1.2.2 Intérêt des ondelettes pour un gain de temps sans perte de précision
Les Eléments Finis à base de polynômes exigent la plupart du temps une étape de maillage assez coûteuse en temps, surtout en 3D. Les problèmes de raffinement local sont également assez coûteux, si l'on veut par exemple une précision plus importante dans une zone définie. Par exemple, dans notre cas, la précision du résultat est d’autant meilleure que le maillage est fin autour de la source. mais cela nécessite du temps de calcul supplémentaire. L'avantage important du choix des ondelettes par rapport à la MEF classique est leur facilité à raffiner le quadrillage autour des zones d'intérêt de façon rapide et très simple, grâce à leurs qualités multi-échelles (Annexe D) : en effet, il suffit de définir des fonctions d’interpolation à l’échelle plus fine dans la ROI, et les propriétés de la base sont inchangées :
Figure 3.2. Illustration du raffinement du quadrillage dans le cas d’une base d’ondelettes.
Cependant, cette méthode n’a pas été appliquée dans cette thèse : les résultats obtenus avec un maillage régulier, à la même échelle dans tout le domaine, sont comparables à ceux obtenus avec la MEF standard, même sans raffiner autour de la source (voir le Chapitre 2). Des résultats sans doute meilleurs pourraient cependant être obtenus, en particulier dans le cas d’une échelle très grossière : en effet, utiliser un quadrillage grossier sauf au niveau des ROIs (donc en particulier autour de la source) permettrait de gagner du temps de calcul par rapport à un maillage fin défini partout, avec une même qualité de reconstruction.
Notons que dans notre problème, comme nous l'avons explicité dans les deux premières Parties, les positions de la source et les détecteurs sont nombreux, et nous avons donc un nombre conséquent d'équations de diffusion à résoudre : l'absence de remaillage à chaque nouvelle source est alors un gain de temps très important par rapport à la MEF standard. La Méthode des Différences Finies (MDF) utilise aussi une grille régulière, mais paye la rapidité de son implémentation et de ses calculs par le fait qu’elle n’est pas adaptée aux géométries dont les frontières sont irrégulières, contrairement à la MEF et à la méthode de Galerkin-ondelettes présentée ici. De plus, la MDF n’est pas adaptée au raffinement du quadrillage dans les ROIs.
Les ondelettes permettent d’avoir la rapidité de calcul des Différences Finies, avec une qualité comparable à celle obtenue par la MEF standard. Elles combinent donc les avantages des deux méthodes, MDF et MEF, tout en supprimant leurs inconvénients.
Notons également une autre propriété importante des ondelettes : on montre en effet que la décomposition d’une fonction en ondelettes voit ses termes se focaliser automatiquement autour des singularités [Mallat1999], c’est-à-dire que les termes les plus forts se rapportent à
espace d’approximation de faible dimension suffit, et cela nous permet de gagner du temps de calcul.
1.1.2.3 Séparabilité
Lorsque nous sommes dans un espace 2D ou 3D, nous avons pu voir que la définition de la matrice de rigidité dans le cas de la MEF classique était un point délicat (Annexe B). En effet, en 2D par exemple, les polynômes d’interpolation (si l’on choisit des polynômes de Lagrange de degré 2) s’écrivent sous la forme (pour un nœud k donné) :
2 2
( , )
k
I x y = + + +a bx cy dx +exy+ fy (3-9)
L’intégrale ℑ(2)kℓ par exemple, définie par (3-8), s’écrit, sachant que l’on est dans une méthode
de Galerkin et donc que Pk = Ik :
(2) k k k k I I I I I I dxdy dxdy x x y y Ω ∂ ∂ ∂ ∂ ℑ = = ∂ ∂ + ∂ ∂
∫
∫∫
ℓ∫∫
ℓ ℓ ∇ ∇∇ ∇∇ ∇∇ ∇ ℓ (3-10)Au vu de l’expression (3-9), les intégrales ne sont pas séparables, c’est-à-dire que l’on ne peut pas séparer les termes en x des termes en y, ce qui implique des calculs assez complexes. Par contre, dans le cas des ondelettes séparables, les produits tensoriels, très simples à mettre en place, nous permettent de séparer les termes ; en effet, nous avons :
2 , , , , ( , ) , , ( , ) ( ) ( ) 2 (2 ) (2 ) x y x y x y j k k j k j k j j j x y k k j x y x y x k y k − − − ∀ ∈ ∀ ∈ Φ = Φ Φ = Φ − Φ − ℤ ℤ (3-11)
Ainsi les intégrales de (3-10) sont séparables et beaucoup plus simples à calculer. Le principe est le même en 3D. Une méthode de Galerkin-ondelettes a ainsi l’avantage d’être beaucoup plus simple à implémenter que la MEF polynomiale, en particulier dans des systèmes 2D et 3D.
Remarque : les termes (3-10), ainsi que les autres intégrales intervenant dans le calcul de L et
de Q, sont à calculer pour chaque élément dans le cas de la MEF standard ; tandis que dans la
méthode de Galerkin-ondelettes, ces termes sont calculés en une seule fois sur tout le domaine.
1.1.2.4 Continuité
L’utilisation des ondelettes amène une autre propriété intéressante par rapport à la MEF standard, celle de la continuité inter-élément. En effet, lors du calcul des coefficients de la matrice de rigidité L, il faut assurer la continuité de la solution entre chaque élément défini
par le maillage. Cela est délicat pour la MEF, surtout en 2D et 3D ([Burnett1987] et Annexe B). Dans le cas de la méthode de Galerkin-ondelettes, cette continuité est naturellement assurée. En effet, la solution approchée de (3-1) s’écrit uɶ=u I1 1+u I2 2+ +... u IN N (3-2). Dans le cas de la MEF classique, il faut la définir élément par élément (Annexe B) ; dans le cas des ondelettes, il s’agit de la solution globale définie sur tout le quadrillage. Si les fonctions d’interpolation Ik sont continues sur tout le domaine Ω, une combinaison linéaire de ces fonctions est aussi continue dans tout l’objet. Dans le cas des ondelettes de Daubechies (schématisées sur la figure 3.1 b)), la continuité de la fonction est assurée par un algorithme de cascade, qui permet de générer les valeurs de la fonction en tout point grâce à la relation d’échelle présentée dans l’Annexe D (équation(D-9)).
La figure 3.1 illustre ce problème de continuité : dans le cas de la MEF, nous avons vu qu’il fallait assurer la continuité entre 2 éléments, c’est-à-dire avoir une valeur u2 commune aux 2
éléments (figure 3.1 a)), et donc définir les polynômes I2(1) (pour l’élément 1) et I2(2) (pour
l’élément 2) de façon adéquate. Dans le cas des ondelettes, on ne se préoccupe pas de la continuité inter-élément, on écrit la solution globale k k
k
uɶ=