Les résultats nous ont montré que globalement, la réduction de modèle avec des ondelettes de Haar ont permis un gain de temps sans perte d'information importante. Nous avons pu voir que dans le cas d’une géométrie parallélépipédique simple, sans zone absorbante, les ondelettes n’apportaient pas beaucoup d’amélioration par rapport à un maillage grossier défini par le logiciel : les résultats sont qualitativement très proches, mise à part une reconstruction plus fine dans le sens vertical avec les ondelettes. Par contre, dans le cas d’une géométrie plus complexe (demi-cylindre) et avec l’insertion d’une zone absorbante ou du bruit de mesure, la finesse des capillaires est généralement meilleure dans le sens horizontal avec les ondelettes, malgré une déformation plus marquée aux échelles grossières. L’expérience a permis de montrer une certaine robustesse de l’algorithme vis-à-vis d’une situation réelle, bien que la simulation du demi-cylindre avec bruit de mesure et zone absorbante ait donné des résultats non convaincants.
Le meilleur compromis semble être atteint lorsque l'on utilise l'échelle 22 : le gain de temps est assez conséquent, et les résultats restent bons, voire meilleurs dans certains cas que ceux obtenus sans réduction de modèle et avec un maillage fin, à temps de calcul 20 fois plus court. L'échelle 23 permet de réduire efficacement le nombre d'opérations, mais les résultats obtenus après reconstruction sont grossiers et souvent déformés.
Cependant, les résultats avec ondelettes ont montré souvent des reconstructions dégradées, en particulier un capillaire reconstruit moins intensément que l’autre. La plupart du temps, ces dégradations amènent à conclure que l’utilisation d’un maillage grossier sans réduction de modèle apporte, avec un temps de calcul identique et une méthode plus simple, une reconstruction suffisante.
À partir de ces résultats, nous avons deux remarques importantes au sujet des méthodes utilisées :
- La méthode de reconstruction utilisée n'est pas optimale, et le fait de comparer les résultats obtenus après cette reconstruction n'est peut-être pas suffisamment représentatif de l'amélioration apportée avec les ondelettes dans le problème direct. L'implémentation d'une autre méthode de reconstruction plus robuste serait sûrement profitable à la réduction de modèle. Nous en rediscuterons dans la Partie 3.
- Les ondelettes de Haar que nous avons utilisées sont certes faciles à implémenter et rapides à manipuler, mais la réduction de modèle pourrait peut-être gagner en qualité si nous utilisions d'autres ondelettes, comme celles de Daubechies par exemple (qui ont une meilleure localisation fréquentielle et seraient donc plus adaptées à des variations importantes dans les valeurs des coefficients de la matrice de rigidité). L'objectif initial était l'utilisation des ondelettes de Daubechies (certains essais ont d'ailleurs été effectués au tout début de l'étude), mais nous avons préféré finalement nous focaliser sur les fonctions de Haar afin de justifier au mieux et plus rapidement la réduction de modèle proposée. De plus, cet aspect de « moyennage » nœud par nœud, grâce à Haar, nous permet de mieux cerner le problème et les avantages d’une telle méthode, en particulier en ce qui concerne l’aliasing.
Cette projection en ondelettes est jugée applicable à n’importe quelle méthode d’Eléments Finis. Le point-clé de cette méthode est l’aspect « renumérotation » du maillage : en effet, pouvoir disposer les éléments d’une certaine façon de manière à rendre optimale la forme de la matrice de rigidité est un aspect important dans la résolution d’EDPs en Eléments Finis, et il serait intéressant de l’approfondir. La méthode proposée pour renuméroter n’est sûrement pas optimale, des améliorations pourraient être apportées, par exemple avec des algorithmes de type algorithmes génétiques, tels que le problème du voyageur de commerce [Biggs1976].
Conclusion de la Partie 2
Nous avons proposé dans cette partie une méthode de réduction de modèle, où les ondelettes de Haar sont insérées dans un algorithme d’Eléments Finis. Des résultats issus de plusieurs simulations et d’une expérience ont été exposés.
Nous avons mis en place un système de renumérotation des nœuds du maillage, qui a permis d’améliorer la structure de la matrice afin de lui appliquer une décomposition en ondelettes. En conclusion de ces travaux, nous avons montré la faisabilité d’une réduction de modèle en utilisant les ondelettes et leur propriété de multirésolution, sur un modèle formulé dans une base d’Eléments Finis. Plusieurs améliorations sont à apporter, en particulier au niveau de la normalisation en énergie et des calculs trop fastidieux effectués par des logiciels commerciaux, ainsi qu'au niveau des méthodes utilisées concernant la numérotation des Eléments Finis. Nous avons pu gagner du temps de calcul, sans trop détériorer la qualité de la reconstruction. Cependant, nous avons pu nous rendre compte que, malgré une amélioration en ce qui concerne la finesse des données reconstruites, cette méthode de réduction de modèle n’apportait qu’un intérêt limité en comparaison d’une méthode de maillage grossier.
C’est pourquoi nous proposons, dans la Partie suivante, une méthode alternative à la MEF, qui nous permettra tout d’abord d’être indépendants du logiciel COMSOL Multiphysics, et également de gagner du temps de calcul sur l’ensemble du problème direct, c’est-à-dire sur la résolution de l’équation, mais aussi sur l’étape du maillage.
PARTIE 3
Une méthode de Galerkin-ondelettes
pour résoudre le problème direct en
tomographie optique diffuse de
fluorescence
Le but de cette Partie est de résoudre l’équation de diffusion, impliquée dans le problème direct en tomographie optique, par une méthode de Galerkin-ondelettes. Il s’agit d’une alternative avantageuse à la Méthode des Eléments Finis standard. De nombreux travaux théoriques ont été faits dans le domaine de la résolution d’EDPs par les ondelettes. Nous présentons ici les développements qui nous ont permis de les appliquer à l’équation de diffusion (Chapitre 1). Plusieurs simulations ont été effectuées pour valider l’algorithme (Chapitre 2).
Sommaire de la Partie 3
Chapitre 1
La méthode de Galerkin-ondelettes appliquée à l'équation de diffusion ... 123 1.1 Motivation pour le choix des ondelettes dans la résolution d’EDPs... 123 1.1.1 Introduction ... 123 1.1.2 Intérêts des ondelettes dans la résolution d’EDPs ... 128 1.1.3 Limitations des ondelettes dans la résolution d’EDPs... 132 1.2 Résolution de l’équation de diffusion par la méthode de Galerkin-ondelettes ... 133 1.2.1 Expression de l’équation matricielle ... 133 1.2.2 La méthode des domaines fictifs ... 136 1.2.3 Définition et calcul des coefficients de connexion ... 136 1.2.4 Choix des ondelettes de Daubechies... 142 1.2.5 Les conditions aux limites ... 144 1.3 Conclusion sur la méthode et généralisation... 150 Chapitre 2
Simulations en 2D et 3D : résultats et comparaison avec la MEF polynomiale... 153 1.4 Description et paramètres... 153 1.4.1 Géométries... 153 1.4.2 Simulation des mesures et paramètres physiques ... 154 1.4.3 Maillage et résolution du problème direct ... 155 1.4.4 Résolution du problème inverse ... 156 1.5 Simulation d’un rectangle simple ... 157 1.6 Simulation avec une irrégularité simple... 162 1.7 Simulation se rapprochant du demi-cercle... 166 1.8 Simulation d’un simple cube... 170 1.9 Discussion ... 171 Conclusion de la Partie 3 ... 173