6.2.1 Outils numériques
Tous les calculs présentés dans ce chapitre ont été réalisés avec le code de calcul AVBP [53] and [8] du CERFACS. Il s’agit d’un code de calcul volumes finis qui résout les équations de Navier-Stokes compressibles sur des maillages structurés ou non pour les variables conservatives (masse volumique, moments et énergie totale). La thermochimie utilisée dans le code de calcul AVBP est une thermochimie intermédiaire entre celles utilisées dans les codes de calcul NTMIX3D et NTMIX_CHEMKIN. Ainsi, les équations qui gouvernent le transport des espèces sont les mêmes que celles de NTMIX_CHEMKIN. Elles sont donc basées sur les fractions molaires des espèces. Par contre, les coefficients de diffusion laminaire des espèces sont simplement calculés avec un nombre de Schmidt laminaire comme dans NTMIX3D. Le code AVBP est dédié aux simulations numériques directes (DNS) et aux simulations numériques aux grandes échelles (LES) et dispose de plusieurs schémas numériques. Toutes les DNS montrées dans ce chapitre ont été réalisées avec le schéma numérique TTGC [20] d’ordre 3 en espace et en temps.
6.2.2 Configuration
La configuration choisie pour effectuer nos DNS est similaire à celle du ’minimum channel’ de Jiménez et Moin [32]. Un schéma du domaine de calcul et du système de coor- données est représenté sur la figure 6.1. Il s’agit d’un canal périodique selon les directions x et z, de longueur πh, de largeur 0.3πh et de hauteur 2h. Les conditions limites en haut et en bas de la boîte de calcul sont soit des parois isothermes avec des conditions d’adhérence, soit les surfaces libres d’un film liquide. L’écoulement gazeux est constitué d’un mélange inhomogène d’air et d’heptane (voir la figure 6.47 de la section 6.7 par exemple) avec une pression moyenne d’environ un bar alors que le film liquide est constitué d’heptane pur. Par ailleurs, dans toutes nos simulations la vitesse moyenne de l’écoulement principal (selon la direction x) sur l’axe central du canal Uc est proche de 50m.s−1 (valeur variant légèrement selon les DNS réalisées).
Fig.6.1 – Domaine de calcul et système de coordonnées. Les conditions limites sont périodiques selon les directions x et z.
Le nombre de Reynolds du canal Re basé sur Uc, la viscosité cinématique du gaz sur l’axe central νc et la demi hauteur du canal h et défini par :
Re = Uch
νc
(6.1) Il varie entre 2600 et 3300 suivant les cas alors que le nombre de Reynolds pariétal Reτ basé sur h, la viscosité cinématique du gaz à la surface de la paroi (ou du film liquide selon les simulations) νg,s et la vitesse de frottement uτ =pτg,s/ρg,s est défini par :
Reτ = uτh νg,s
(6.2) Il est supérieur à 100 dans tous les calculs effectuées. τg,s = νg,sρg,s ∂u∂y
s et ρg,s désignent respectivement la contrainte de cisaillement et la masse volumique du gaz à la surface de la paroi (ou du film liquide selon les cas). u représente le profil de vitesse moyenne de l’écoulement selon la direction x.
Les unités pariétales classiques sont définies par : x+ = uτx νg,s ; y+ = uτy νg,s ; z+ = uτz νg,s (6.3)
La configuration ’minimum channel’ que nous avons choisie pour effectuer nos DNS d’évaporation de film liquide présente l’avantage d’être beaucoup plus simple et beaucoup moins coûteuse en temps de calcul qu’une configuration complète de canal. Jiménez et Moin [32] ont prouvé que les statistiques de la turbulence pour les moments d’ordre peu élevés obtenues dans cette configuration sont en bon accord avec les mesures expérimen- tales dans la région de proche paroi à condition que le domaine de calcul soit suffisamment grand. En particulier, ils ont montré que pour un écoulement isotherme la boîte doit être plus large et plus longue que respectivement 100 et 350 unités pariétales. Les nombres de Reynolds pariétaux utilisés dans nos calculs correspondent à des dimensions du domaine exprimées en unités pariétales L+
x, L+y et L+z vérifiant :
L+x ≥ 314 ; L+y ≥ 200 ; L+z ≥ 94 (6.4)
Les valeurs du nombre de Reynolds pariétal Reτ conduisant aux valeurs exactes de L+x, L+y et L+z seront précisées dans les sections suivantes pour chacune des DNS présentées dans cette étude. Bien qu’ils n’en soient pas très éloignés, on constate que tous nos domaines de calcul ne respectent pas rigoureusement ce critère. Nous verrons néanmoins qu’ils sont toujours suffisamment larges pour contenir un nombre de structures turbulentes garantis- sant des moments statistiques d’ordre peu élevé en bon accord avec les expériences. Cela n’est pas vraiment surprenant dans la mesure où l’évaporation et les gradients de densité et de viscosité affectent la structure de la couche limite turbulente et donc probablement la largeur de boîte nécessaire pour effectuer un calcul pleinement turbulent correct.
Dans toute la suite de ce chapitre, on notera que toutes les quantités avec exposant + sont exprimées en unités pariétales alors que celles affectées d’une barre − au dessus représentent une moyenne à la fois temporelle et spatiale dans le plan (x, z).
Les maillages utilisés dans chacun des cas traités dans ce chapitre sont tous différents. Cependant, la grille de calcul est toujours régulière dans les directions x et z avec une résolution ∆x+ ≈ 35 et ∆z+ ≈ 5 afin de résoudre la structure allongée de la turbulence. Par ailleurs, un facteur d’étirement est utilisé dans la direction y afin de réduire la taille des mailles près de la paroi ou de la surface du film et ainsi résoudre la sous-couche visqueuse de la couche limite. Les maillages sont générés de manière à avoir ∆y+
w compris
entre 0.3 et 1 à la surface de la paroi ou du film liquide et ∆y+
c ≈ 5 au voisinage de l’axe central du canal.
6.2.3 Termes sources
Afin de comprendre l’écoulement turbulent et établir des statistiques, on cherche à établir une solution stationnaire. Ainsi, comme le calcul est périodique dans la direction de l’écoulement, des termes sources sont ajoutés aux équations de la quantité de mouvement, de l’énergie et de la masse volumique de l’heptane gazeux afin de compenser le frottement et le flux de chaleur à la surface de la paroi ou du film liquide ainsi que la masse d’heptane évaporée par le film liquide. Le tableau 6.1 fournit un résumé de ces différents termes sources. Eint,F et Ec représentent respectivement l’énergie interne de l’heptane et l’énergie cinétique.
Le terme source constant S assimilable à une force est ajouté à l’équation de quantité de mouvement selon la direction de l’écoulement principal. Il est donné par :
S = Kρg,sU 2 max
Terme source Terme source Terme source
compensant compensant compensant
le frottement le flux de chaleur l’évaporation
à la surface de à la surface de à la surface du
la paroi ou du film la paroi ou du film film liquide
Equation de la quantité de mouvement selon x S SM.u Equation de la quantité de mouvement selon y SM.v Equation de la quantité de mouvement selon z SM.w Equation de l’énergie
totale du gaz S.u SE SM.[Eint,F + Ec]
Equation de la masse
volumique de l’heptane SM
Tab. 6.1 – Termes sources ajoutés aux équations de transport du gaz.
où Umax = 50m.s−1 et K est une constante ajustée dans le but d’obtenir Uc = Umax. De manière consistante, un terme source S.u associé à S est ajouté à l’équation de l’énergie totale du gaz.
Le terme source de chaleur SE ajouté à l’équation de l’énergie totale du gaz est défini par rapport à la température cible Ttarget :
SE = hρCvi
(Ttarget− hT i)
τs
(6.6) où Cv est la capacité calorifique massique à volume constant du gaz. hi est une moyenne spatiale sur tout le domaine de calcul. τs ≈ 12uhτ est un temps caractéristique de la diffusion turbulente.
Le terme source de masse SM ajouté à l’équation de la masse volumique d’heptane gazeux est également défini par rapport à une valeur cible YF,target :
SM = hρi YF,target− hρYFi hρi τs (6.7) De façon consistante, les termes sources de quantité de mouvement SM.ui et d’énergie
SM. [Eint,F F + Ec] sont ajoutés respectivement à chacune des équations de quantité de
mouvement et à l’équation d’énergie totale du gaz. On notera que le terme SM est tou- jours négatif puisqu’il doit compenser la masse introduite dans le domaine de calcul par l’évaporation du film liquide.
6.2.4 Modélisation du film liquide
La figure 6.2 montre une représentation schématique du domaine de calcul avec condi- tions limites de film liquide. Puisque l’objectif principal des calculs DNS est d’aider à éta- blir des lois de paroi, il est nécessaire que les simulations atteignent un état stationnaire.
Fig. 6.2 – Domaine de calcul avec conditions limites de film liquide.
Pour cela, le film liquide est modélisé comme une condition limite d’interface isotherme et infiniment mince et non pas explicitement résolu. De plus, la composition chimique à la surface du film est imposée à la valeur de saturation d’un mélange d’air et d’heptane à un bar. Le tableau 6.2 fournit une synthèse de la condition limite de film liquide utilisée pour les DNS de ce chapitre. Cette représentation du film est nécessaire et suffisante pour établir des lois de paroi quasi-stationnaires. Il convient dès lors de préciser que la DNS n’est valable que pour l’écoulement gazeux.
Ts= Cste YFs = Cste YOs2 = 1−Ys F 4.29 YNs2 = 1 − Y s F − YOs2 vs= ˙ M ρg,s us= ws= 0
Tab.6.2 – Condition limite de film liquide.
Le débit de masse de fuel évaporé a été calculé au chapitre 4 (Eq 6.8) et est reporté ici : ˙ M = ρg,sY s FVFs 1 − Ys F = ρg,sY s F 1 − Ys F " − D s F WsYFs . ∂W YF ∂y s + Nspec X k=1 Ds k Ws . ∂W Yk ∂y s # (6.8) où Vs
F est la vitesse de diffusion de l’heptane à l’interface liquide-gaz selon la direction y. Nspec et W désignent respectivement le nombre d’espèces et la masse molaire du mé- lange gazeux. Le coefficient de diffusion Dk de l’espèce k dans le mélange est donné par l’approximation suivante :
Dk = νg Sc,k
(6.9) où le nombre de Schmidt Sc,k pour chacune des espèces k est supposé constant à la fois en espace et en temps. Sa valeur dépend du cas traité comme nous le verrons dans les sections suivantes.