Simulation numérique des chocs appliqués à la structure

La simulation numérique consacrée à l’application du choc sur la petite structure étudiée est effectuée en utilisant deux formes d’excitation dont la première est une excitation en demi-sinus (DS) et la deuxième une excitation en triangle (TR). Les transformées de Fourier des forces d’excitation sont calculées par Lalanne [LAL 99] et sont présentées en Fig. III.3 et Fig. III.4.Les transformées de Fourier des forces d’excitation en DS et en TR sont calculées pour deux valeurs

d’amplitude maximale (Fm = 0.05 N et Fm = 0.01 N). Pour ce calcul, la durée du choc τ est imposée à 3 × 10^-5 s. Le paramètre T correspond à la période propre de la structure (T = 1 / f0) (f0 : fréquence propre). Dans le cas d’un système à plusieurs modes propres, T correspond à la période du premier mode propre. La transformée de Fourier de la force d’excitation en DS s’annule quand le ratio de temps τ/T est égal à 1,5, 2,5, 3,5,… Son amplitude est maximale quand le ratio de temps tend vers zéro. Elle présente ensuite des maximums locaux entre chaque nœud. La transformée de Fourier de la force d’excitation en TR est calculée avec les mêmes paramètres que ceux utilisés dans le cas d’une excitation en DS. Elle s’annule quand le ratio de temps τ/T est égal à 2, 4, 6,…

Excitation en demis sinus DS [N] _F

m = 0,005 N F_m = 0,01 N

(a) Evolution temporelle de l’excitation en DS

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

(b) Amplitude de la TF de l’excitation en DS Fig. III.3 : Excitation en DS

0 1 2 3 4 5 6

(a) Evolution temporelle de l’excitation en TR

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

(b) Amplitude de la TF de l’excitation en TR Fig. III.4 : Excitation en TR

Les spectres primaires positifs et négatifs, les spectres résiduels positifs et négatifs, les spectres d’énergie cinétique primaires et résiduels et les spectres d’énergie potentielle primaires et résiduels sont calculés pour une amplitude maximale de la force de choc égale à Fm = 0.05 N.

Dans ce calcul, trois valeurs de coefficients d’amortissement sont utilisées. La résolution de l’équation différentielle (Eq. III.1) est effectuée via l’environnement de calcul numérique

« Matlab » en utilisant le « Symbolic Math toolbox ». Ce module permet le calcul formel des équations différentielles. Deux méthodes permettent de caractériser l’influence sur la réponse de la durée du choc par rapport à la période propre du système dynamique. La première méthode exploite la variation de la raideur de la structure tout en fixant la durée du choc. La deuxième méthode repose sur la variation de la durée du choc tout en fixant la raideur de la structure. Une illustration des résultats obtenus par la première méthode est présentée pour une excitation en TR et en DS et pour trois valeurs d’amortissement ζ respectivement en Fig. III.5 et 6. Les paramètres utilisés correspondent aux petites structures étudiées. La durée du choc est égale à τ = 3 × 10^-5 s, cette valeur étant cohérente avec la dynamique des petites structures étudiées. Dans ce cas, le ratio de temps varie dans l’intervalle [0 ; 1,4].

0 0.5 1 1.5

(b) : Spectre en réponse primaire

0 1 2 3 4

(c) : Spectre en réponse résiduel

0 1 2 3 4

(d) : Spectre en réponse maximax

0 1 2 3 4

(e) : Spectre primaire de l’énergie cinétique

0 1 2 3 4

(f) : Spectre résiduel de l’énergie cinétique

0 1 2 3 4

Spectre de l'énergie de déformation [J]

ζ = 0 ζ = 0.05 ζ = 0.1

(g) : Spectre primaire de l’énergie de déformation

0 1 2 3 4

Spectre de l'énergie de déformation [J]

ζ = 0 ζ = 0.05 ζ = 0.1

(h) : Spectre résiduel de l’énergie de déformation Fig. III.5 : Analyse de la réponse du système à excitation en DS

D’après la Fig. III.5b, le spectre primaire positif augmente progressivement jusqu’à un premier maximum à la valeur du ratio de temps d’environ 0,8. Un deuxième maximum apparaît à la valeur du ratio de temps d’environ 3,6. Le spectre primaire négatif est souvent nul sauf dans les intervalles du rapport de temps [0,98 ; 1,5], [1,9 ; 2,5] et [2,9 ; 3,5]. Dans ces intervalles, l’évolution de l’amplitude d’excitation passe par des minima de faibles valeurs. Les spectres résiduels positifs et négatifs sont quasi-symétriques Fig. III.5c. Lorsque l’amortissement est nul, ces spectres s’annulent pour des valeurs du ratio du temps de 1,5, 2,5, 3,5… Entre ces points, les spectres résiduels passent par des crêtes respectivement aux valeurs du ratio du temps de 0,67, 1,95, 2,9… Toutefois, le premier maximum qui apparaît est celui qui a l’amplitude la plus élevée. Au fur et à mesure que l’amortissement augmente, les amplitudes des spectres primaires et résiduels diminuent. De plus, les spectres résiduels ne s’annulent plus mais présentent plutôt des minima proches de zéro.

Les spectres des énergies cinétiques et de déformation sont également influencés par le ratio de temps. Le spectre de l’énergie cinétique primaire positif diminue progressivement en

fonction du ratio de temps jusqu’à un minimum (τ/T =0,7), puis il augmente de nouveau jusqu'à un deuxième maximum correspondant à la valeur τ /T =0,84 (Fig. III.5e). Cette forme se répète à la valeur τ/T =1,9, mais n’est pas visible dans l’illustration présentée car les amplitudes en énergie deviennent relativement faibles.

Le spectre d’énergie cinétique résiduel positif diminue progressivement pour s’annuler à la valeur τ/T =1,5 (Fig. III.5f). La valeur maximale de l’énergie est obtenue quand le rapport de temps tend vers zéro. À partir de la valeur du ratio de tempsτ/T =1,5, les valeurs de l’énergie cinétique sont négligeables. Elles présentent néanmoins des maximums périodiques en fonction du ratio du temps (Fig. III.6a).

Spectre de l'énergie de déformation [J]

ζ = 0 ζ = 0.05 ζ = 0.1

(b)

Fig. III.6 : Agrandissement des spectres résiduels de l’énergie cinétique et de déformation

L’introduction de l’amortissement dans le modèle influence les amplitudes des énergies cinétiques : les maximums diminuent et les amplitudes nulles deviennent légèrement différentes de zéro. On remarque également la présence d’une chute brusque des amplitudes de l’énergie cinétique à des valeurs du ratio de temps proches de zéro lorsque l’amortissement augmente (Fig. III.5f). Le spectre de l’énergie de déformation primaire positif augmente en fonction du ratio de temps jusqu’à un maximum, ensuite diminue progressivement (Fig. III.5g). À partir d’une valeur du ratio de temps égale à 3, les valeurs de l’énergie de déformation primaire deviennent très faibles. Le spectre de l’énergie de déformation résiduel positif présente un comportement très semblable au spectre de l’énergie cinétique résiduel.

Le calcul est effectué de nouveau avec les mêmes paramètres et conditions mais avec une excitation de choc en TR. Le spectre primaire positif augmente progressivement jusqu’à un premier maximum à la valeur du ratio de temps de 0,96 (Fig. III.7b). Il diminue ensuite progressivement jusqu’à un minimum à la valeur du ratio de temps égal à 2,2. Un deuxième maximum apparaît à la valeur du ratio de temps de 3,1.

0 0.5 1 1.5

(b) : Spectre en réponse primaire

0 1 2 3 4

(c) : Spectre en réponse résiduel

0 1 2 3 4

(d) : Spectre en réponse maximax

0 1 2 3 4

(e) : Spectre primaire de l’énergie cinétique

0 1 2 3 4

(f) : Spectre résiduel de l’énergie cinétique

0 1 2 3 4 0

1 2 3x 10^-11

Ratio de temps (τ / T)

Spectre de l'énergie de déformation [J]

ζ = 0 ζ = 0.05 ζ = 0.1

(g) : Spectre primaire de l’énergie de déformation

0 1 2 3 4

0 1 2 3x 10^-11

Ratio de temps (τ / T)

Spectre de l'énergie de déformation [J]

ζ = 0 ζ = 0.05 ζ = 0.1

(h) : Spectre résiduel de l’énergie de déformation Fig. III.7 : Analyse de la réponse du système à excitation en TR

Les spectres en réponse résiduels positifs et négatifs sont également quasi-symétriques et passent par des crêtes et des nœuds dont les amplitudes et les abscisses sont différentes de ceux identifiés avec une excitation en DS (Fig. III.7c). Les spectres d’énergies cinétique et de déformation sont également influencés par le ratio de temps de la même manière que dans le cas d’une excitation en DS (Fig. III.5e – f – g – h). Les différences notables résident dans les ordres de grandeurs des spectres en réponses et en énergie qui sont moins élevés et dans les valeurs des abscisses des noeuds.

Les résultats numériques des spectres obtenus avec deux excitations différentes en DS et en TR montrent qu’il est judicieux d’optimiser le rapport de temps entre la durée du choc et la période de la structure dans une application de récupération d’énergie. Toutefois, on remarque que le comportement change quand le type d’excitation change. Afin de choisir le modèle d’excitation adéquat pour reproduire au mieux l’excitation en choc sur les microconvertisseurs, une validation expérimentale semble nécessaire.

4. Etude expérimentale des chocs