Effet de la pression de l’air ambiant sur une structure en silicium

La caractérisation expérimentale de la structure en silicium est également réalisée entre le VP et la PA. La variation fréquentielle ∆F de l’ordre de 8 Hz engendrée par la variation de pression est quasi-indépendante du niveau d’excitation RMS (Fig. II.13a). La variation de pression au sein de l’enceinte engendre une variation quasi-constante de l’amortissement d’environ 0,018 % (Fig. II.13b), correspondant à une variation de cœfficient de qualité d’environ 12 % (312 ± 20). Fig. II.13 : Evolution des paramètres modaux de la structure en silicium en fonction du niveau

d’excitation RMS en accélération 1.3. Analyse et discussion

Une identification des paramètres modaux (fréquence propre et amortissement modal) de chacune des poutres (quartz, niobate de lithium et silicium) excitée en bruit blanc a été présentée.

A pression d’air constant, tous les résultats obtenus confirment le comportement dynamique faiblement non linéaire des structures étudiées car les paramètres modaux varient avec le niveau d’excitation RMS en accélération et donc avec l’amplitude des vibrations. Même si le contrôle de l’amplitude des excitations RMS à l’encastrement de la poutre n’engendre pas le même niveau de vibration à son extrémité pour le silicium, le quartz et le niobate de lithium, on se permettra de comparer les résultats entre eux à même pression d’air. Ainsi la non-linéarité est nettement plus marquée pour le cas du quartz et du niobate de lithium que pour le silicium (les

P P

écarts en fréquence propre moyenne ∆Fmoy au tab. II.2). Cette différence est attribuée principalement à la rugosité des poutres en quartz et en niobate de lithium et qui est beaucoup plus elévée que celle de la poutre en silicium. Les amortissements modaux ξmoy et leurs écarts

∆ξmoy au tab. II.2).

Silicium Quartz Niobate de lithium

ξmoy (%) 0,18 0,49 0,65

∆ξmoy (%) 0,02 0,15 0,4

Fmoy (Hz) 6000 4495 4427

A la pression atmosphérique

| ∆F|moy (Hz) 24 40 70

Tab. II. 2 : Valeurs, moyenne et écart de l’amortissement et de la fréquence propre à la PA pour les différents niveaux RMS d’excitation en accélération.

De même, à niveau RMS d’excitation constant, tous les résultats obtenus confirment dans une moindre mesure le comportement dynamique faiblement non linéaire des structures étudiées en fonction de la pression de l’air ambiant. Toutefois, si l’amortissement change avec la pression de l’air (Tab. II.3), cette variation reste relativement faible.

Silicium Quartz Niobate de lithium ξ moy à PA (%) 0,16 0,45 0,65

∆ξ moy (%) 0,017 0,046 Négligeable Variations à même niveau

RMS entre les pressions

PA et VP | ∆F| moy (Hz) 8 23 36,5

Tab. II. 3 : Variations à même niveau RMS entre les pressions PA et VP de l’amortissement et de la fréquence propre.

Lorsque la pression augmente progressivement du VP à la PA, les fréquences propres diminuent de 8 Hz pour le silicium et de 36,5 Hz pour le niobate de lithium. Le rapport de masse entre les poutres en silicium et en niobate de lithium est de 2. Le silicium s’avère donc moins affecté par l’effet de masse lié à la présence de l’air.

En conclusion de cette première partie sur la caractérisation expérimentale, on constate que l’effet de l’air est secondaire dans le cas de ces trois structures bridées par vissage. Pour s’en rendre compte, il suffit de comparer l’écart de l’amortissement dû à la variation de pression entre la PA et la VP par rapport à l’amortissement sous VP ou moyen à PA (tab. II.3).

2. Caractérisation du comportement dynamique non linéaire à partir d’un lâcher dynamique et d’une analyse en Ondelettes

La caractérisation menée à partir d’une excitation en bruit blanc et d’une identification des paramètres modaux par la technique classique de lissage linéaire demande beaucoup de temps pour dépouiller les mesures et obtenir une évolution discrète des paramètres modaux. Par conséquent, une autre technique de caractérisation beaucoup plus rapide sera exploitée dans cette partie : il s’agit à partir d’un essai de lâcher dynamique de la poutre d’extraire les paramètres équivalents en employant une analyse des signaux par ondelettes.

2.1. Introduction

La mise au point des modèles de prévision du comportement des structures assemblées nécessite d’établir une caractérisation du comportement dynamique de l’assemblage. Cette caractérisation doit satisfaire quelques critères spécifiques comme la capacité d’évaluer qualitativement et quantitativement la non-linéarité du comportement (estimation du niveau et du type de non-linéarité). Le comportement vibratoire d’un système est caractérisé par les évolutions des fréquences propres et des amortissements modaux en fonction de l’amplitude de vibration. Le niveau de variation de ces paramètres est considéré comme un indicateur du degré de non-linéarité du système alors que l’allure de ces paramètres renseigne sur le caractère de cette non-linéarité. Il est important de préciser que cette méthode de caractérisation est limitée aux systèmes faiblement non linéaires. Le développement de cette méthode, permettant d’identifier les paramètres équivalents, réalisé dans le cadre de la thèse de Heller [HEL 05], est détaillé en Annexe 3. La démarche d’identification s’effectue dans le domaine temps-fréquence grâce à la TO appliquée à la réponse enregistrée suite à des essais de lâcher dynamique.

L’extraction des paramètres modaux équivalents à partir de la réponse libre est fondée sur la méthode asymptotique élaborée par Krylov et Bogoljubov [HUS 70 et BOG 61].

2.2. Description de l’analyse en ondelettes à partir d’une expérience de lâcher dynamique Le lâcher dynamique est assuré par un circuit électrique appelé « commande relais optocouplé » permettant deux fonctions simultanées. La première consiste à couper le signal d’excitation et à arrêter le pot vibrant. La seconde consiste à déclencher automatiquement la chaîne d’acquisition SigLab afin d’enregistrer la réponse libre de la structure. Les lâchers dynamiques sont réalisés sur les trois poutres encastrées-libres bridées décrites précédemment.

Chaque poutre est excitée par une force sinusoïdale à sa première fréquence de résonance acquise via un régulateur basses fréquences. Une fois que l’excitation en sinus est interrompue, l’amplitude de vibration de l’axe du pot vibrant s’amortit en un temps très court (équivalent à quelques oscillations) (Fig. II.14a) alors que l’extrémité libre de la poutre continue de vibrer sur un temps plus long visible en Fig. II.14b.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 -0.1

Fig. II.14 : Signaux temporels des vitesses de l’axe du pot vibrant (a) et de l’extrémité libre d’une poutre en niobate de lithium (b) pendant un essai de lâcher dynamique.

L’essai de lâcher dynamique est enclenché à l’instant t = 0 s, alors que, la chaîne d’acquisition SigLab est programmée avec un temps de retard d’environ 6 ms. A partir des développements présentés en Annexe 3, le squelette et l’arête de la TO sont obtenus à partir des réponses libres.

Un exemple est présenté en Fig. II.15.

Temps [s]

Fréquence [Hz]

Amplitude de la transformée en ondelette

Arête de la transfomée

(a) Analyse de la poutre en silicium

Temps [s]

Fréquence [Hz]

Amplitude de la transformée en ondelette

Arête de la transfomée

(b) Analyse de la poutre en niobate de lithium Fig. II.15 : Modules de la TO d’un lâcher dynamique dans le plan

« fréquence-temps ».

Les arêtes identifiées montrent la présence de trois zones différentes. La première zone montre une évolution rapide et correspond à l’excitation forcée en sinus qui influe sur les quelques 1/1000^e de seconde suivant le lâcher à t = 0 s (Fig. II.14). Une deuxième zone apparaît ensuite plus durablement, correspondant à la réponse libre de la poutre et présentant un léger comportement non linéaire. Enfin, une dernière zone courte dans le temps est observée en fin de la réponse libre de la structure. Elle correspond à des perturbations dues principalement aux

effets de bord de la fenêtre d’observation. Il est à noter que lors du traitement des signaux de lâcher dynamique, seule la deuxième zone est prise en compte et il est pratiqué un changement d’origine.

Il est rappelé que dans le cas d’un système linéaire en raideur, l’arête de la TO est constante en fonction du temps. La non-linéarité en raideur est mise en évidence par l’évolution en fonction du temps de l’arête dans le plan « fréquence-temps ». Néanmoins, comme l’arrête varie très peu en fonction du temps (Fig. II.15a), la non-linéarité en raideur observée dans le cas d’une poutre en silicium reste faible. Dans le cas du quartz, la non-linéarité en raideur est plus visible, toutefois la non-linéarité en raideur du niobate de lithium reste la plus élevée (Fig. II.15b).La présence de la non-linéarité en raideur dans le système est signalée aussi par la non-linéarité de l’argument de l’arête de la TO (Fig. II.16).

-10 -8 -6 -4