En simulation

Du point de vue de la simulation la prise en compte de telles flexibilités passe par la modélisation et la simulation de corps déformables. Les premiers travaux sur la simulation de corps déformables ont été réalisés dans le domaine de l’animation graphique [Terzopoulos et Fleischer, 1988]. Depuis, l’animation graphique propose un panel de méthodes intéressantes pour la simulation des déformations mais dans le but de la synthèse d’images réalistes et de l’animation virtuelle, mais pas nécessairement à finalité d’ingénierie. Certaines applications portent également sur la simulation dans le domaine médical, comme le propose le logiciel SOFA [Allard et al., 2007], qui inclut les modèles de déformation présentés ci-dessous et la possibilité d’interagir avec l’environnement virtuel.

4.1.2.1 Masse-ressort

Pour simuler des corps déformables, l’approche classique et la plus utilisée en synthèse d’image est le modèle masse-ressort. Un corps est maillé en nœuds représentés par des masses et reliés entre eux par des ressorts. L’équation de mouvement du système est alors représentée de la manière suivante :

M¨x + C ˙x + Kx = F (4.1)

où M, C et K sont respectivement les matrices de masse, d’amortissement et de rigidité, M et C sont diagonales. L’avantage, comme pour la résolution du contact par des méthodes par pénalités, est sa facilité d’implémentation et sa rapidité de calcul. En particulier, cette approche est adaptée pour des applications interactives temps-réel et on retrouve beaucoup d’applications dans le domaine médical. Comme le traitement des interactions entre les nœuds se fait de manière locale, le calcul peut être parallélisé. Récemment, cette méthode a été implémentée sur des cartes graphiques qui offrent une puissance de calcul accrue par rapport à une implémentation sur des processeurs clas- siques, permettant la réalisation de simulations interactives temps-réel sur des exemples appliqués à la médecine [Altomonte et al., 2008]. Les inconvénients sont toujours le choix des paramètres à partir des caractéristiques physiques des matériaux. Cette approche n’est pas utilisée dans la conception et l’ingénierie de produits. Par ailleurs, la déformation du système va dépendre du maillage choisi : en particulier les efforts seront dirigés dans la direction des arêtes du maillage. Enfin, une grande raideur des ressorts peut donner lieu à des divergences numériques et une autre résolution nécessite de redé- finir les paramètres. Dans notre situation, nous désirons obtenir des simulations réalistes et robustes numériquement de systèmes complexes dans lesquelles nous pouvons être amenés à réaliser du contrôle et dont le but est aussi d’atténuer les vibrations. Par conséquent cette approche n’est pas adaptée à notre cas.

4.1.2.2 Eléments finis

La deuxième approche est d’utiliser des solutions empruntées aux méthodes numériques des mi- lieux continus, typiquement les éléments finis. Cette approche donne une approximation de fonctions

continues réalisant l’équilibre du système. Le système est découpé en éléments reliés entre eux par des nœuds. Le choix du type d’élément (triangle, rectangle, tétraèdre...) dépend de la précision désirée. En appliquant des efforts sur un système, celui-ci se déforme. On calcule alors la déformation par l’équation de mouvement suivante :

M ¨U + C ˙U + KU = F (4.2)

Ici les éléments M, C et K résultent de l’assemblage des matrices élémentaires de chaque élément. Contrairement à l’approche précédente, l’état du système est représenté par l’intégration sur le vo- lume de tous les éléments. Cette méthode présente l’avantage d’être beaucoup plus précise que l’ap- proche de masse-ressort mais est très coûteuse en temps de calcul car, en particulier dans le cas de grandes déformations, il est nécessaire de réévaluer les matrices de masse et de raideur à chaque pas de temps. Puisque le système est discrétisé, l’influence de la méthode d’intégration sur la sta- bilité, mais aussi sur la rapidité, n’est pas négligeable. On a vu dans le premier chapitre que les méthodes implicites sont particulièrement efficaces et sont couramment utilisées pour l’animation graphique [Galoppo et al., 2006, Sifakis et al., 2007]. Longtemps inappropriée pour des applications temps-réel, l’approche "éléments finis" est de plus en plus utilisée grâce aux progrès réalisés dans la performance des ordinateurs.

Dans la pratique, si on considère des déformations petites par rapport à la taille du système, les matrices seront constantes et donc pré-calculées au début de la simulation. Par ailleurs, pour accélérer le calcul, il n’est pas nécessaire de prendre en compte tous les éléments comme nous le montrerons plus loin.

4.1.2.3 Méthodes hybrides

Une approche hybride a été proposée par [Terzopoulos et Witkin, 1988] et permet de représenter le mouvement d’un système mécanique en séparant en deux composantes la configuration du sys- tème [Duriez, 2004, Moissenet, 2007] : une composante de référence et une composante de déformation du système par rapport à celle de référence. De cette configuration sont calculées les déformations du système. Cette méthode a été proposée en particulier dans le cas où l’élasticité du matériau est non- linéaire, une partie de cette non-linéarité étant due aux rotations de l’objet et entraînant un mauvais conditionnement des équations lorsque l’objet tend à être de plus en plus rigide. L’intérêt de cette mé- thode est de pouvoir considérer un modèle de déformation en élasticité linéaire et de garder un modèle rigide dans le cas où il n’y a pas de déformation, ce qui permet de réaliser de grands mouvements dans l’espace. La condition à cela est que dans le repère de l’objet les déformations doivent rester pe- tites. Une approche locale de cette méthode, nommée corotationnelle, propose de séparer les rotations de chaque élément du maillage des déformations réelles [Hauth et Strasser, 2004]. Le modèle obtenu est intégré implicitement. Cette méthode hybride s’applique exclusivement à des corps déformables. Dans notre cas, nous simulons des corps aussi bien rigides que déformables, nous ne pouvons donc pas appliquer cette méthode telle quelle. Nous pouvons néanmoins l’adapter, ce que nous montrons plus

loin.

Le lecteur pourra se référer à [Gibson et Mirtich, 1997, Duriez, 2004] pour une description plus détaillée de ces méthodes.

Nous présentons dans ce chapitre les développements théoriques et pratiques pour intégrer ces flexibilités à la simulation dynamique. Ces flexibilités seront intégrées au simulateur du robot HRP-2. Dans un premier temps, nous effectuons une comparaison entre les deux méthodes pré- sentées auparavant. Nous nous attachons ensuite à améliorer notre modèle et nous nous intéres- sons à la marche du robot avec une semelle sur un sol plat. Une partie des résultats a été publiée dans [David et al., 2008, Chardonnet et al., 2008a].