Simulation des pertes par frottement visqueux et conduction

Un modèle du conduit sans frottement visqueux n’a pas de sens physique (Wilhelms et ai, 2004 ; Abel et al. 2003). Même si l’écoulement de l’air dans le conduit vocal peut être supposé sans frottement, il y aura toujours une couche limite pariétale de faible épaisseur et dans laquelle les effets de la viscosité seront importants. Dans cette sous-section, nous présentons le modèle des pertes par frottement visqueux et conduction thermique ainsi que son effet sur la réponse impulsionnelle du conduit. Calliope (1989) considère que les pertes par frottement visqueux introduisent un amortissement de nature résistive dont l’équivalent électrique est exprimé en (2.57) où /j. est la viscosité de l’air, p est la densité de l’air, ^y est la pulsation, C est la circonférence d’un tube et Sq est sa section.

Les pertes par conduction thermique introduisent un effet de nature dissipative dont l’équivalent électrique est une conductance donnée par (2.58) où rj est la constante adiabatique de l’air, c est la vitesse du son, Cp est la chaleur spécifique à chaleur constante de l’air et

X est son coefficient de conductivité thermique.

(2.57)

(2.58)

Les expressions de et G,;,^,. sont fonctions de 4co ce qui rend la discrétisation très difficile à réaliser.

Approximation des pertes visqueuses et thermiques dans un tube

Nous remarquons que les impédances et admittances acoustiques des équations (2.57) et (2.58) dépendent de la racine carrée de la fréquence. Une méthode d’approximation, proposée par Abel, tient compte de la distribution des pertes visqueuses et thermiques tout au long du conduit vocal. Dans un conduit cylindrique de section S, les parois contribuent à une traînée de frottement visqueux. Cette traînée dépend de la fréquence

0) et s’exprime dans (2.59) par le paramètre où ju est la viscosité et

P est la densité de l’air dans le conduit.

1

(2.59)

En plus, des échanges thermiques se produisent entre l’air et la paroi du tube et qui s’expriment par le paramètre r, tel que ;

(Ope P y

(2.60)

où xrest la conductivité thermique et C^est réchauffement spécifique de l’air à une pression constante. Les deux expressions sont reliées par la racine carrée du nombre de Prandtl tel que :

r,=\r^\v

K

(2.61)

L’effet des pertes visqueuses et thermiques se traduit par une atténuation dans la propagation de l’onde acoustique tout au long du conduit vocal. La constante de propagation est donnée par l’équation (2.62).

Y{(o) = a{(û) + j-^ (2.62)

où a{û)) est le paramètre d’affaiblissement où d’atténuation en Nepers par mètre (ldB=0.1151 Np), ryest la fréquence angulaire et v(<y)est la vitesse de phase. La constante de propagation L(û;) donne le facteur d’atténuation par unité de longueur d’une onde se propageant dans un tube infini comme c’est le cas pour les lignes de transmission. L’expression (2.63) donne une approximation de l’atténuation et du déphasage le long d’un seul tube de longueur / :

-a{cû)l-j{

---^ ---^ v(ty)^)/

(2.63) Retirant un pur délai l/c dans un tube, on obtient le filtre de pertes visqueuses et thermiques dans un tube suivant (2.64)

À{co) = e

<y (O

-a{û})l-j{———)/ v{û)) c

(2.64) Une approximation uniforme du paramètre de phase, déduite à partir des approximations de Benade (1968), est proposée par Abel (2003). L’expression du paramètre de phase est donnée par (2.65) avec les paramètres et donnés par (2.65).

4^v(l+-) v{û)) = C--- ---\+amb.+^) K (2.65) Avec A.. -24r ,5^=1 + 1 +(7-1) 42k - ei Y = ■^K

De la même manière, une approximation uniforme du paramètre d’atténuation est donnée par (2.66).

a{co) =

(

2

.

66

)

1 +

-où les paramètres A^ et Basant donnés par :

A = ^4r et 5, ^V

4i

La figure 2.22 montre la caractéristique passe-bas du filtre analogique dont l’expression est donnée par (2.67) où / est la longueur d’un tube (/=0.39 cm). Nous observons que la réponse fréquentielle dépend du rayon du tube choisi.

\à{coJ = (2.67)

Vu que la longueur du tube est suffisamment faible, nous pouvons utiliser l’approximation du (2.68) suivante (Hanquinet, 2005 ; Abel et al., 2003) :

a{co)=2.\Q-\

où a est le rayon du tube.

(

2

.

68

)

Figure 2.22 : Réponses fréquentielles du filtre analogique pour différents rayons a d’un tube élémentaire de longueur /=0.39 cm Pour simuler numériquement cette fonction de filtrage dont l’expression dépend de la racine carrée de co, nous allons utiliser une approximation au moyen d’une cascade de filtres numériques élémentaires.

Finalement, nous modélisons les pertes par frottements visqueux et conductions thermiques en filtrant les ondes de pression progressives et régressives dans chaque tube élémentaire. La fonction de filtrage remplacera donc le simple délai unitaire.

Filtre numérique équivalent

On considère, pour la simulation numérique des pertes visqueuses et thermiques, une cascade de filtres élémentaires du premier ordre de la manière suivante (Abel et al., 2003) :

Mz) = n Sn (0) ^(2.69) avec, pour chaque filtre élémentaire, un gain unitaire en régime continu, un gain égal à à la fréquence de transition /, , mesurée en radian par ;r, et un gain égal à à la fréquence de Nyquist. La fonction de transfert d’un filtre élémentaire <r{z-,f,g^) du l®"^® ordre est donnée par (2.70).

+ è|Z“‘

1 + a,z-1 (2.70)

En régime continu, le système à un gain unitaire. Les coefficients du filtre sont donnés par (2.71), (2.72) et (2.73).

^ _ Po+ PP\ b^ = 1 + pa^ P\ + pP^ 1 + (2.71) (2.72) «1 P + «i 1 + yoa, ^(2.73) g _ (1 + gJ I ^“2 2 a _ 0-gJ I 0 + g.M ^'2 2

„ 1“

ÛTj = -1 [t] - sign{7^){ij^-\y V et le paramètre p -sin(^ - -) 2 4 * /^\ sin(—+ —) 2 4

Un choix judicieux des fréquences de transition et des gains permet d’approcher d’une manière très efficace la caractéristique fréquentielle des pertes visqueuses. Les différentes valeurs des gains et fréquences de transition sont données par (2.74) et (2.75). ~N est l’ordre de la mise en cascade choisi égal à 3 dans l’implémentation.

La figure 2.23 montre que le filtre numérique, obtenu par la mise en cascade de trois filtres élémentaires du ordre, constitue une bonne

approximation du filtre analogique. Nous observons également que l’effet de ce filtrage est relativement faible.

1 2 i — __ 2 N g^(0 =

exp-I

]_ 2 •log|WJl ’ ^(2.74) (2.75)

Figure 2.23 : Approximation du filtre analogique (en bleu) par un filtre numérique (en rouge) pour un tube de longueur 0.39 cm de rayon 0.95 cm. Le filtre numérique est la mise en cascade des filtres élémentaires de

premier ordre représentés avec leurs réponses en fréquence (en vert, violet et cyan).

35

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Fréquence (hfe)

Figure 2.24 : En bleu : réponse fréquentielle du conduit vocal sans pertes visqueuses pour la voyelle [a]. En rouge : réponse fréquentielle

du conduit vocal avec pertes visqueuses pour la même voyelle. Formants de la voyelle fai ^{Fl F2 F3 F4 F5} sans pertes visqueuses et thermiques 806 1205 2877 3417 4563 avec pertes visqueuses et thermiques 802 1201 2871 3392 4550

Tableau 2.4 : Les valeurs des fréquences des formants en Hz pour la voyelle [a] dans les cas sans et avec pertes visqueuses.

La figure 2.24 ainsi que le tableau 2.4 montrent l’effet des pertes visqueuses sur la réponse fréquentielle du conduit vocal pour la voyelle [a]. Dans ce cas, nous avons utilisé, pour chaque tube, une mise en cascade de trois filtres en tenant compte de la section du tube. Nous constatons que les fréquences des formants diminuent de quelques Hz seulement. L’effet des pertes dues aux frottements visqueux et conductions thermiques est faible par rapport à l’effet des pertes dues aux vibrations des parois.

Dans le document Disponible à / Available at permalink : (Page 80-87)